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专题3.15 探究向量关系式几何意义先分析高考数学解答题压轴题突破讲义(解析版)

1、【题型综述】探究向量关系问题解题策略:(1)“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素向量关系存在,用向量的坐标运算,转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式,利用设而不求思想,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则向量关系存在存在;否则,向量关系不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.【典例指引】类型一 探究向量式是否为定值例1 【2015高考四川,文20】如图,椭圆E:(ab0)的离心率是,点P(0,1)在短轴CD上,且1()求椭圆E的方程;()设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数,使得为定值?若存在,求的值;若不存在,

2、请说明理由. 类型二 探究向量式是否成立例2. 【2014高考湖南卷文第20题】如图5,为坐标原点,双曲线和椭圆均过点,且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求的方程;(2)是否存在直线,使得与交于两点,与只有一个公共点,且?证明你的结论.是,联立直线与椭圆可得,因为直线与椭圆只有一个交点,所以,化简可得,因此,于是,即,所以,综上不存在符合题目条件的直线.学&类型三 探究向量式成立的条件例3【2013年高考,天津卷理】设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. () 求椭圆的方程; () 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 是否

3、存在过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点,且, 若存在,求k的值,不存在,说明理由. =, 由已知得=8,解得.学&类型四 利用向量探究曲线过定点例4. (2012福建理19)如图,椭圆的左焦点为,右焦点为,离心率。过的直线交椭圆于两点,且的周长为8。()求椭圆的方程。()设动直线与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相交于点。试探究: 在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由。 (法3) 由得,动直线与椭圆有且只要一个交点,且=0,即,化简得 此时=,=,(,),由得(4,).学&假设平面内存在定点满足条件,由图形对称性知,点必在轴上,【

4、扩展链接】1. 设圆锥曲线C的焦点F在x轴上,过焦点F且斜率为的直线交曲线于两点,若,则.2. 在圆锥曲线中,过焦点F不垂直于坐标轴的弦为,其垂直平分线和焦点所在的坐标轴交于,则.3.已知椭圆的两个焦点分别为和(),过点的直线与椭圆相交于两点,若,则直线一定过或.4.如果平面内有三点不共线,设.【新题展示】1【2019湖北恩施2月质检】已知抛物线:的焦点为,其准线:与轴的交点为,过点的直线与抛物线交于两点(1)求抛物线的方程;(2)点关于轴的对称点为,证明:存在实数,使得【思路引导】(1)根据抛物线的准线为直线:,可求出,进而可得抛物线方程;(2)先设直线的方程为,联立直线与抛物线方程,由韦达

5、定理,求出直线恒过定点,进而可证明结论成立【解析】(1)因为抛物线:的准线为直线:,所以,解得所以抛物线的方程为(2)易知点的坐标为,据此可设直线的方程为,联立整理得,故因为点关于轴的对称点为,所以则直线的方程为,得,得,即令,得,得所以直线恒过定点所以点在直线上,所以不妨令因为,所以,所以,所以所以存在实数,使得,命题得证2【2019黑龙江齐齐哈尔一模】已知为坐标原点,椭圆:的左、右焦点分别为,过焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为3,直线与椭圆相切(1)求椭圆的标准方程;(2)是否存在直线:与椭圆相交于两点,使得?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由!【思路引导】(1)由题意列

6、出关于a,b的关系式,解得a,b即可(2)将直线与椭圆联立,将向量数量积的运算用坐标形式表示,利用根与系数之间的关系确定k的取值范围【解析】(1)在中,令,得,解得由垂径长(即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆相交所得的弦长)为3,得,所以因为直线:与椭圆相切,则将代入,得故椭圆的标准方程为(2)设点,由(1)知,则直线的方程为联立得,来源:则恒成立所以,因为,所以即即 ,得,得,即,解得;直线存在,且的取值范围是3【2019安徽江南十校3月检测】设是坐标原点,圆:,椭圆的焦点在轴上,左、右顶点分别为,离心率为,短轴长为4平行轴的直线与椭圆和圆在轴右侧的交点分别为,直线与轴交于点,直线与轴交于点(

7、)求椭圆的标准方程;()当时,求的取值范围【思路引导】(1)根据椭圆的几何性质,得到关于的方程,求得结果;(2)解法一:假设方程和坐标,利用得到和的坐标,从而将转化为关于的式子,求得范围;解法二:假设方程和坐标,与椭圆方程联立解出点坐标,进一步推导出坐标,将转化为关于的式子,求得范围【解析】(1)设椭圆的标准方程为由题意得,解得椭圆的标准方程为(2)解法一:设且,设,共线, 得,同理得 解法二:设,联立得:, ,令得又由,令得又轴 来源:Zxxk.Com 4【2019河北衡水中学摸底】已知点是抛物线的焦点,若点在抛物线上,且求抛物线的方程;动直线与抛物线相交于两点,问:在轴上是否存在定点其中,

8、使得向量与向量共线其中为坐标原点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由【思路引导】求得抛物线的焦点和准线方程,运用抛物线的定义可得的坐标,代入抛物线方程,解得,进而得到抛物线的方程;在轴上假设存在定点其中,使得与向量共线,可得轴平分,设,联立和,根据恒成立,运用韦达定理和直线的斜率公式,化简整理可得的方程,求得,可得结论【解析】抛物线C:的焦点为,准线方程为,即有,即,则,解得,则抛物线的方程为;在x轴上假设存在定点其中,使得与向量共线,由,均为单位向量,且它们的和向量与共线,可得x轴平分,设,联立和,得,恒成立,设直线DA、DB的斜率分别为,则由得,联立,得,故存在满足题意,来源:ZX

9、XK综上,在x轴上存在一点,使得x轴平分,即与向量共线【同步训练】1已知椭圆C:+=1(ab0)的上下两个焦点分别为F1,F2,过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M,N两点,MNF2的面积为,椭圆C的离心率为(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知O为坐标原点,直线l:y=kx+m与y轴交于点P,与椭圆C交于A,B两个不同的点,若存在实数,使得+=4,求m的取值范围【思路点拨】(1)根据已知设椭圆的焦距2c,当y=c时,|MN|=|x1x2|=,由题意得,MNF2的面积为|MN|F1F2|=c|MN|=,又,解得a、b即可(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,y0),分类讨论:当m=

10、0时,利用椭圆的对称性即可得出;m0时,直线AB的方程与椭圆的方程联立得到0及根与系数的关系,再利用向量相等,代入计算即可得出(2)当m=0时,则P(0,0),由椭圆的对称性得,m=0时,存在实数,使得+=4,当m0时,由+=4,得,A、B、p三点共线,1+=4,=3设A(x1,y1),B(x2,y2),由,得(k2+4)x2+2mkx+m24=0,由已知得=4m2k24(k2+4)(m24)0,即k2m2+40,且x1+x2=,x1x2=由得x1=3x2学&来源:Zxxk.Com3(x1+x2)2+4x1x2=0,m2k2+m2k24=0,显然m2=1不成立,k2m2+40,即解得2m1或1

11、m2学&综上所述,m的取值范围为(2,1)(1,2)02.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(ab0)的两个焦点,P(1,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知动直线l过点F2,且与椭圆C交于A、B两点,试问x轴上是否存在定点Q,使得=恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由【思路点拨】(1)根据椭圆的性质及等差数列性质得出a=c,把P点坐标代入椭圆方程列方程组解出a,b得出椭圆方程;(2)设Q(m,0),讨论直线l的斜率,求出A,B坐标,列方程解出m 3.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(ab0)的一个焦点为F

12、1(,0),M(1,y)(y0)为椭圆上的一点,MOF1的面积为(1)求椭圆C的标准方程;(2)若点T在圆x2+y2=1上,是否存在过点 A(2,0)的直线l交椭圆C于点 B,使=(+)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由【思路点拨】(1)由已知列式c=,得a2,b2即可;(2)设直线l的方程为:y=k(x2),A(x1,y1),B(x2,y2)由得(1+4k2)x216k2x+16k24=0,x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)4k=,=(+)=,得T()代入 圆C1,可得化为176k424k25=0可求得k 4.已知椭圆的两个焦点为,是椭圆上一点,若,(1)求椭圆的方程;

13、(2)直线l过右焦点(不与x轴重合)且与椭圆相交于不同的两点A,B,在x轴上是否存在一个定点P(x0,0),使得的值为定值?若存在,写出P点的坐标(不必求出定值);若不存在,说明理由【思路点拨】(1)根据椭圆的定义及勾股定理即可求得a=3,c=,b2=a2c2=4,即可求得椭圆方程;(2)方法一:设直线l:x=my+,代入椭圆方程,利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,=t 则(4x0236)m2+9x0218x0+29=t(4m2+9),比较系数,即可求得x0=,在x轴上存在一个定点P(,0),使得的值为定值();方法二:分类讨论,当直线l的斜率存在时,设直线l:y=k(x),代入椭圆方程,利

14、用韦达定理及向量数量积的坐标运算,令=t 则(9x0218x0+29)k2+4x0236=t(4+9k2),9x0218x0+29=9 t且4x0236=4t,即可求得x0=,此时t的值为解法二:当直线与x轴不垂直时,设直线l方程为:y=k(x),代入椭圆方程并消元整理得:(9k2+4)x218k2x+45k236=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则是方程的两个解,由韦达定理得:x1+x2=,x1x2=, y1y2=k2(x1)(x2)=k2( x1x2(x1+x2)+5)=,=(x1x0,y1)(x2x0,y2)=( x1x0)( x2x0)+y1y2=x1x2x0(x1+x2)+x

15、02+y1y2,=,学&令=t 则(9x0218x0+29)k2+4x0236=t(4+9k2),9x0218x0+29=9 t且 4x0236=4t,解得:x0=,此时t的值为,当直线l与x轴垂直时,l的方程为:x=,代入椭圆方程解得:A(,),B(,),=(,)(,)=,当直线l与x轴垂直时,也为定值,综上,在x轴上存在一个定点P(,0),使得的值为定值()5.如图已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r0),设圆T与椭圆C交于点M,N(1)求椭圆C的方程;(2)求的最小值,并求此时圆T的方程【思路点拨】(1)运用椭圆的离心率公式和

16、顶点坐标,结合a,b,c的关系,可得椭圆方程;(2)设M(m,n),由对称性可得N(m,n),代入椭圆方程,再由向量数量积的坐标表示,转化为关于m的二次函数,配方,结合椭圆的范围,可得最小值,进而得到M的坐标,可得圆的方程 6.已知椭圆的离心率,以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线x+y2=0相切来源:Zxxk.Com(1)求椭圆的标准方程;(2)对于直线l:y=x+m和点Q(0,3),椭圆C上是否存在不同的两点A与B关于直线l对称,且3=32,若存在实数m的值,若不存在,说明理由【思路点拨】(1)由椭圆的离心率,得b=c,写出以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程,再由点到直线的距离列式求得b

17、,c的值,结合隐含条件求得a,则椭圆方程可求;(2)由题意设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB方程为:y=x+n联立消y整理可得:3x24nx+2n22=0,由0解得n的范围再由根与系数的关系结合中点坐标公式求得直线AB之中点坐标,代入直线AB,再由点P在直线l上求得m的范围,最后由3=32求得m的值(2)由题意设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB方程为:y=x+n联立消y整理可得:3x24nx+2n22=0,由=(4n)212(2n22)=248n20,解得,学&设直线AB之中点为P(x0,y0),则,由点P在直线AB上得:,又点P在直线l上,则又,=,解得:或m=1学&

18、综合,知m的值为7.已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为A、B,且长轴长为8,T为椭圆上一点,直线TA、TB的斜率之积为(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P、Q两点,求+的取值范围【思路点拨】(1)求得直线TA,TB的斜率,由=,即可求得椭圆C的方程;(2)设直线PQ方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及向量数量积的坐标,求函数的单调性,即可求得+的取值范围 =20+(8分)20+,(10分)学&当直线PQ斜率不存在时+的值为20,综上所述+的取值范围为20,(12分)8.已知抛物线E:x2=4y的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点(1

19、)若点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值;(2)过A,B分别作抛物线E的切线l1,l2,若l1与l2交于点P,求的值【思路点拨】(1)由题意设直线AB的方程,代入抛物线方程,利用韦达定理及弦长公式,根据函数的单调性即可求得四边形OACB面积的最小值;(2)求导,利用点斜式方程,求得求得切线l1,l2的方程,联立求得P点坐标,根据向量的坐标运算,即可求得的值 9.已知点P(4,4),圆C:(xm)2+y2=5(m3)与椭圆E:+=1(ab0)有一个公共点A(3,1),F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF1与圆C相切(1)求m的值与椭圆E的方程;(2

20、)设Q为椭圆E上的一个动点,求的取值范围【思路点拨】(1)先利用点A在圆上求出m,再利用直线PF1与圆C相切求出直线PF1与的方程以及c,再利用点A在椭圆上求出2a,即可求出椭圆E的方程;(2)先把用点Q的坐标表示出来,再利用Q为椭圆E上的一个动点以及基本不等式即可求出的取值范围(2),设Q(x,y),即x2+(3y)2=18,而x2+(3y)22|x|3y|,186xy18学&则(x+3y)2=x2+(3y)2+6xy=18+6xy的取值范围是0,36x+3y的取值范围是6,6x+3y6的范围只:12,0即的取值范围是12,010.若椭圆E1:与椭圆E2:满足,则称这两个椭圆相似,m叫相似比

21、若椭圆M1与椭圆相似且过点(1)求椭圆M1的标准方程;(2)过点P(2,0)作斜率不为零的直线l与椭圆M1交于不同两点A、B,F为椭圆M1的右焦点,直线AF、BF分别交椭圆M1于点G、H,设,求1+2的取值范围【思路点拨】(1)根据题意,设椭圆M1的标准方程为,由“椭圆相似”的性质思路引导可得,解可得a2、b2的值,代入椭圆的方程即可得答案;(2)设直线l的斜率为k,以及A、B、G、H的坐标,可以表示、的坐标,分“AG与x轴不垂直”和“AG与x轴垂直”两种情况,求出直线AG的方程,联立直线与椭圆的方程,由根与系数的关系的思路引导可得1+2范围,即可得答案得,1=32x1,当AG与x轴垂直时,点

22、A的横坐标为1,1=1,2=32x1成立,同理可得2=32x2,设直线l的方程为y=k(x+2),代入椭圆方程,得(2k2+1)x2+8k2x+8k22=0,则,得,由得,即1+2范围为(6,10)学&11.已知椭圆C:(ab0)的离心率为,左、右焦点分别为圆F1、F2,M是C上一点,|MF1|=2,且|=2(1)求椭圆C的方程;(2)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于不同两点A、B时,线段AB上取点Q,且Q满足|=|,证明点Q总在某定直线上,并求出该定直线的方程【思路点拨】(1)由已知得a=2c,且F1MF2=60,由余弦定理求出c=1,即可求得a,结合隐含条件求得b,则椭圆C的方程

23、可求;(2)设直线l的方程为y=kx+(14k),代入椭圆方程,得(3+4k2)x2+(8k32k2)x+64k232k8=0,利用根与系数的关系结合已知向量等式即可证明点Q总在某定直线上,并求出该定直线方程证明:(2)由题意可得直线l的斜率存在设直线l的方程为y1=k(x4),即y=kx+(14k),代入椭圆方程,整理得(3+4k2)x2+(8k32k2)x+64k232k8=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则,设Q(x0,y0),由|=|,得:(4x1)(x0x2)=(x1x0)(4x2)(考虑线段在x轴上的射影即可),8x0=(4+x0)(x1+x2)2x1x2,学&于是,整理

24、得3x02=(4x0)k,又k=,代入式得3x0+y03=0,点Q总在直线3x+y3=0上12.如图,椭圆E:,点P(0,1)在短轴CD上,且(1) 求椭圆E的方程及离心率;(2) 设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点是否存在常数,使得为定值?若存在,求的值;若不存在,请说明理由【思路点拨】(1)由已知可得点C,D的坐标分别为(0,b),(0,b)结合=2列式求得b,则椭圆方程可求,进一步求出c可得椭圆的离心率;(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)联立直线方程和椭圆方程,利用根与系数的关系可得A,B横坐标的和与积+,可知当=2时,+=7为定值当直线AB斜率不存在时,直线AB即为直线CD,仍有+=+2=34=7,故存在常数=2,使得+为定值7 31