1、一方法综述 数列的通项公式是数列高考中的热点问题,求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强,但万变不离其宗,只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题,如数阵(数表)问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为形式的数列通项公式问题中都有所涉及,本讲就这类问题进行分析.二解题策略类型一 数阵(数表)中涉及到的数列通项公式问题【例1】如图所示的“数阵”的特点是:每行每列都成等差数列,则数字73在图中出现的次数为_【指点迷津】1.本题主要考查等差数列通项与整数解问题.根据每行每列都成
2、等差数列,先从第一行入手求出第一行数组成的数列的通项公式,再把第一行的数当成首项,再次根据等差数列这一性质求出第数列组成的数列,最后根据整数解方程的解法列举所有解即可.2.数阵:由实数排成一定形状的阵型(如三角形,矩形等),来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念.横向为“行”,纵向为“列”,在项的表示上通常用二维角标进行表示,其中代表行,代表列.例如:表示第行第列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题,解决的方法通常为先抓住选取数的特点,确定所求数的序号,再根据每行元素个数的特点(数列的通项),求出前行共含有的项的个数,从而确定该数位于第几行,然后再根据数之间的规律
3、确定是该行的第几个,即列.【举一反三】1.【河北省衡水市第二中学2019届高三上期中】数列中的项按顺序可以排列成如图的形式,第一行项,排;第二行项,从左到右分别排,;第三行项,以此类推,设数列的前项和为,则满足的最小正整数的值为( )4,4,434,43,4 4,43,4 , 4 ABCD2.【2019年3月3日每日一题】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上用小石子排成多边形,从而研究“多边形数”如图甲的三角形数1,3,6,10,15,第个三角形数为又如图乙的四边形数1,4,9,16,25,第个四边形数为以此类推,图丙的五边形数中,第个五边形数为_类型二 点列问题中涉及到的数列通项公式问题【例
4、2】已知点顺次为直线上的点,点顺次为轴上的点,其中.对于任意,点构成以为顶点的等腰三角形.则数列的通项公式为_.【指点迷津】对于点列问题,要根据图像上点与点之间的关系,以及平面几何知识加以分析,找出关系式即可,本题是直线上的点列,已知点列的通项公式,求点列的通项公式,并研究等腰三角形是否为特殊的等腰直角三角形.【举一反三】在直角坐标平面中,已知点列,其中是正整数.连接的直线与轴交于点,连接的直线与轴交于点,连接的直线与轴交于点,.则数列的通项公式为_.类型三 函数问题中涉及到的数列通项公式问题【例3】【河北省石家庄市第二中学2019届高三上期末】定义在正实数上的函数,其中表示不小于x的最小整数
5、,如,当时,函数的值域为,记集合中元素的个数为,则=_.【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.2.已知求的一般步骤:(1)当时,由求的值;(2)当时,由,求得的表达式;(3)检验的值是否满足(2)中的表达式,若不满足则分段表示;(4)写出的完整表达式.【举一反三】【北京西城35中2017届高三上学期期中数学】已知是上的奇函数, ,则数
6、列的通项公式为( )A. B. C. D. 类型四 由复杂递推公式求解数列通项公式问题【例4】我们把满足的数列叫做牛顿数列,已知函数,且数列为牛顿数列,设,则( )A. B. C. D. 【指点迷津】对于复杂的递推公式,关键是进行化简和变形,适当的时候需要换元,本题通过题意,可求得 即数列an是以2为公比的等比数列,又a1=2,利用等比数列的通项公式即可求得答案【举一反三】定义运算:,若数列满足且(),则数列的通项公式_.类型五 两边夹问题中的数列通项公式问题【例5】设数列满足,且对任意的,满足, ,则_【指点迷津】解题的关键是要通过所给的不等关系找到数列的项的特征,即,然后经过恰当的变形,将
7、求的问题转化为数列求和的问题去处理,对于求和问题要把握准数列的公比和数列的项数,这是比较容易出现错误的地方.【举一反三】已知各项都为整数的数列中, ,且对任意的,满足 , ,则_类型六 下标为形式的数列通项公式问题【例6】已知等差数列,等比数列的公比为,设, 的前项和分别为,若,则_【指点迷津】本题要求等差数列的通项公式,既没有首项也没有公差,有的只是等差数列与等比数列的一个关系,这是一个关于正整数的恒等式,因此我们可把等差数列与等比数列的前项用基本量表示,并化已知等式为的恒等式,利用恒等式的知识求解【举一反三】1.【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知数列满足,则使的正整数的最小值是( )
8、A2018B2019C2020D20212.等差数列和等比数列的各项均为正整数,且的前项和为,数列是公比为16的等比数列,.则的通项公式_.三强化训练一、选择题1已知函数是定义在上的单调函数,且对任意的正数,都有,若数列的前项和为,且满足,则( )ABCD2【江西省上高县第二中学2019届高三3月月考】定义:若数列对任意的正整数,都有为常数,则称为“绝对和数列”,叫做“绝对公和” 已知“绝对和数列”中,绝对公和为3,则其前2019项的和的最小值为( )ABCD3.【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列满足,数列满足,记数列的前项和为,若对于任意的,不等式恒成立,则实数的取值
9、范围为( )ABCD4【福建省厦门第一中学2019届高三3月模拟】已知数列的前项和为,直线与圆交于,两点,且.若对任意恒成立,则实数的取值范围是( )ABCD5已知函数的定义域为,当时,且对任意的实数,恒成立,若数列满足()且,则下列结论成立的是( )ABCD6.【安徽省黄山市2019届高三第二次检测】已知数列和的前项和分别为和,且,若对任意的 ,恒成立,则的最小值为 ( )ABCD7【河南省十所名校2019届高三尖子生第二次联合】记为数列的前项和,已知和(为常数)均为等比数列,则的值可能为( )ABCD8.【浙江省杭州第十四中学2019届高三9月月考】已知数列 中, ,若对于任意的,不等式恒
10、成立,则实数的取值范围为( )ABCD二、填空题9.艾萨克牛顿(1643年1月4日-1727年3月31日)英国皇家学会会长,英国著名物理学家,同时在数学上也有许多杰出贡献,牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列:满足,我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1,2,数列为牛顿数列,设,已知,则的通项公式_10.【山东省济南市2019届高三3月模拟】已知一族双曲线(,且),设直线与在第一象限内的交点为,点在的两条渐近线上的射影分别为,.记的面积为,则_.11.已知数列的前项和为,且,则数列的通项公式为_.12【湖南省衡阳市2019届高三联考(二)】已知数列,为数列的前项的和,且对任意,都有,则的通项公式为_13.【山东省济宁市2019届高三一模】将数列3,6,9,按照如下规律排列,记第行的第个数为,如,若,则_14.【湖南省湘潭市2019届高三二模】已知函数的图像在点处的切线与直线垂直,若数列的前项和为,则_15【广东省揭阳市2019届高三一模】如图,给出一个直角三角形数阵,满足每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为,则_. 16【安徽省宣城市2019届高三八校联考】已知数列的各项都是正数,其前项和满足,则数列的通项公式为_ 8