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本文(专题3.2 复杂数列的求和问题高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版))为本站会员(hua****011)主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

专题3.2 复杂数列的求和问题高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

1、一方法综述 数列的求和问题是数列高考中的热点问题, 数列的求和问题会渗透多种数学思想,会跟其他知识进行结合进行考查.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强,但万变不离其宗,只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题,如数列求和中的新定义问题、子数列中的求和问题、奇偶性在数列求和中的应用、周期性在数列求和中的应用、数列求和的综合问题中都有所涉及,本讲就这类问题进行分析.二解题策略类型一 数列求和中的新定义问题【例1】【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考(四)】对于数列,定义为的“优值”,现已知某数列的“优值”,记数列的前项和为,则( )A2022 B1011 C

2、2020 D1010【答案】B【解析】由,得, ,-得,即,所以.故选B.【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念,对阅读理解能力有一定的要求.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.2.解决此类问题的一些技巧:(1)抓住“新信息”的特点,找到突破口;(2)尽管此类题目与传统的数列“求通项,求和”的风格不同,但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法.所以在考

3、虑问题时也要向一些基本知识点靠拢,弄清本问所考察的与哪个知识点有关,以便找到一些线索.(3)在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则,以相对简单的情况入手,可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系,或者发现一些通用的做法与思路,使得复杂情况也有章可循.【举一反三】已知数列的前项和为,定义为数列前项的叠加和,若2016项数列的叠加和为2017,则2017项数列的叠加和为( )A. 2017 B. 2018 C. D. 【答案】A故选A类型二 子数列中的求和问题【例2】已知有穷数列中, ,且,从数列中依次取出构成新数列,容易发现数列是以-3为首项,-3为公比的等比数列,记数列的所有项的和为,数列

4、的所有项的和为,则( )A. B. C. D. 与的大小关系不确定【答案】A【解析】因为, ,所以,当时, 是中第365项,符合题意,所以,所以,选A. *网【指点迷津】一个数列中某些项的求和问题,关键在于弄清楚新的数列的形式,了解其求和方法.【举一反三】已知,集合,集合的所有非空子集的最小元素之和为,则使得的最小正整数的值为( )A. B. C. D. 【答案】B=S1+S2+S3+Sn=+则 的最小正整数为13 故选B.类型三 奇偶性在数列求和中的应用【例3】【福建省2019届高三模拟】已知数列满足,且,设数列的前项和为,则_(用表示).【答案】【解析】当是奇数时,所以,是首项为1,公差为

5、6的等差数列,因此;当是偶数时,所以,是首项为4,公比为3的等比数列,因此.综上,所以,即 .【指点迷津】数列求和中遇到,都会用到奇偶性,进行分类讨论.再采用分组转化法求和或者并项求和的方法,即通过两个一组进行重新组合,将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型还有分段型(如 )及符号型(如 )【举一反三】设数列的前项和为,已知,则_【答案】240类型四 周期性在数列求和中的应用【例4】数列满足,则数列的前100项和为_【答案】5100【指点迷津】本题主要考查数列的周期性,数列是定义域为正整数集或它的子集的函数,因此数列具有函数的部分性质,本题观察到条件中有 ,于是考虑到三角函数的

6、周期性,构造,周期为4,于是研究数列中依次4项和的之间的关系,发现规律,从而转化为熟悉的等差数列求和问题.解决此类问题要求具有观察、猜想、归纳能力,将抽象数列转化为等差或等比数列问题. 【举一反三】已知数列2008,2009,1,若这个数列从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2019项之和_【答案】4018【解析】数列从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,可得2008,2009,1,2008,2009,1,即有数列的最小正周期为6,可得一个周期的和为0,由,可得故答案为:4018类型五 数列求和的综合问题【例5】【上海市青浦区2019届高三二模】等差数列,满足,则( )

7、A的最大值为50B的最小值为50C的最大值为51D的最小值为51【答案】A【解析】时,满足条件,所以满足条件,即最小值为2,舍去B,D.要使得取最大值,则项数为偶数,设,等差数列的公差为,首项为,不妨设,则,且,由可得,所以,因为,所以,所以,而,所以,故.故选A【指点迷津】先根据题意可知中的项有正有负,不妨设,根据题意可求得,根据,去绝对值求和,即可求出结果.【举一反三】1.【新疆乌鲁木齐市2019届高三一模】已知数列和的前项和分别为和,且,(),若对任意的,恒成立,则的最小值为_.【答案】【解析】,可得,解得,当时, ,化为 ,由,可得,即有,即有 ,对任意的,恒成立,可得,即的最小值为.

8、故答案为:.2.【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知数列是各项均为正数的等比数列,其前项和为,点、均在函数的图象上,的横坐标为,的横坐标为,直线的斜率为.若,则数列的前项和_【答案】【解析】由题意可知:,解得,得,所以,整理得故答案为:三强化训练1.【山东省日照一中2019届高三11月统考模拟】已知函数的定义域为,对任意R都有,则=A B C D【答案】B【解析】由,且,得,故选B.2.【四川省凉山州2019届高三二诊】我们把叫“费马数”(费马是十七世纪法国数学家).设,表示数列的前项之和,则使不等式成立的最小正整数的值是( )ABCD【答案】B【解析】,而,即,当n=8时,左边=,

9、右边=,显然不适合;当n=9时,左边=,右边=,显然适合,故最小正整数的值9故选:B3.【安徽省合肥市2019届高三第二次检测】 “垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”:自上而下,第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是件.已知第一层货物单价1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元,则的值为( )A7B8C9D10【答案】D【解析】由题意,第一层货物总价为1万元,第二层货物总价为万元,第三层货物总价为万元

10、,第层货物总价为万元,设这堆货物总价为万元,则,两式相减得,则,解得, 故选D.4己知数列满足,则数列的前2018项的和等于A B C D【答案】B【解析】由,即,当n为奇数时,可得,成等比,首项为1,公比为3当n为偶数时,可得,成等比,首项为3,公比为3那么:,前2018项中,奇数项和偶数项分别有1009项.故得故选:B5.已知等差数列an的首项为,公差为d,其前n项和为,若直线y xm与圆(x2)y1的两个交点关于直线xyd0对称,则数列的前10项和为()A B C D2【答案】B【解析】因为直线yxm与圆(x2)2+y21的两个交点关于直线xyd0对称,所以直线xyd0经过圆心,则有20

11、d0,d2,而直线yxm与直线xyd0垂直,所以1,2,则Sn2n2n(n1),所以数列的前10项和为11.故选:B.6【山东省济南市历城第二中学2019接高三11月月考】定义函数如下表,数列满足,. 若,则( )A7042 B7058 C7063 D7262【答案】C【解析】由题意,a1=2,且对任意自然数均有an+1=f(an),a2=f(a1)=f(2)=5,即a2=5,a3=f(a2)=f(5)=1,即a3=1,a4=f(a3)=f(1)=3,即a4=3,a5=f(a4)=f(3)=4,即a5=4,a6=f(a5)=f(4)=6,即a6=6,a7=f(a6)=f(6)=2,即a7=2,

12、 可知数列an:2,5,1,3,4,6,2,5,1是一个周期性变化的数列,周期为:6且a1+a2+a3+a6=21故a1+a2+a3+a2018=336(a1+a2+a3+a6)+a1+a2=7056+2+5=7063故选C7【吉林省长春市实验中学2019届高三期末】设数列中,若,则称数列为“凸数列”.已知数列为“凸数列”,且,则数列的前2019项和为( )A1 B C D【答案】C【解析】数列bn为“凸数列”,bn+1bn+bn+2,b11,b22,21+b3,解得b33,同理可得:b41,b52,b63,b71,b82,bn+6bn又b1+b2+b6=1231+2+3=0,且2019=6+

13、3,数列bn的前2019项的和b1+b2+ b3+336=1-2-3=-4,故选:C8【河北省武邑中学2019届高三(上)期中】数列中的项按顺序可以排列成如图的形式,第一行1项,排;第二行2项,从左到右分别排,;第三行排3项,依此类推设数列的前项和为,则满足的最小正整数n的值为A20 B21 C26 D27【答案】B【解析】解:根据题意,第一行,为4,其和为4,可以变形为;第二行,为首项为4,公比为3的等比数列,共2项,其和为;第三行,为首项为4,公比为3的等比数列,共3项,其和为;依此类推:第n行的和;则前6行共个数,前6项和为: ,满足,而第六行的第6个数为,则,故满足的最小正整数n的值2

14、1;故选:B二、填空题9.【宁夏银川一中2019届高三一模】已知数列的前n项和为,数列的前n项和为,满足,且.若对任意恒成立,则实数的最小值为_【答案】【解析】数列的前n项和为,满足,当时,解得,所以当时,化简得,所以当时,当时上式也成立,所以,因为,所以,若对于任意恒成立,则实数的最小值为.10在如图所示数表中,已知每行、每列中的数都构成等差数列,设表中第n行第n列的数为,则数列的前100项的和为_【答案】【解析】由题意可知,第一行的第n个数为;第二行的第n个数为;第三行的第n个数为;第n行的第n个数为;即,前100项的和为,故答案为:11【湖南省株洲市2019届高三统一检测(一)】数列的首

15、项为1,其余各项为1或2,且在第个1和第个1之间有个2,即数列为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,记数列的前项和为,则_(用数字作答)【答案】3993【解析】第个1为数列第项,当时;当时;所以前2019项有45个1和个2,因此12【湖南省湘潭市2019届高三二模】已知函数的图像在点处的切线与直线垂直,若数列的前项和为,则_【答案】【解析】由题意知,则,故,故 ,.故答案为13【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】数列的前项和为,定义的“优值”为 ,现已知的“优值”,则_.【答案】【解析】解:由2n,得a1+2a2+2n1ann2n,n2时,a1+2a2+2n2an1(n1

16、)2n1,得2n1ann2n(n1)2n1(n+1)2n1,即ann+1,对n1时,a12也成立,所以 .14【江苏省常州市2019届高三上期末】数列满足,且数列的前项和为,已知数列的前项和为1,那么数列的首项_.【答案】【解析】数列ann的前2018项和为1,即有(a1+a2+a2018)(1+2+2018)1,可得a1+a2+a20181+10092019,由数列bn的前n项和为n2,可得bn2n1,a21+a1,a32a1,a47a1,a5a1,a69+a1,a72a1,a815a1,a9a1,可得a1+a2+a2018(1+2+7)+(9+2+15)+(17+2+23)+(4025+2

17、+4031)+(a1+4033+a1)505+5055048+2504+5047+5045038+2a11+10092019,解得a1故答案为:15【广东省汕尾市普通高中2019年3月高三检测】已知数列的首项为数列的前项和若恒成立,则的最小值为_【答案】【解析】数列的首项,则:常数故数列是以为首项,3为公差的等差数列则:首项符合通项故:,由于数列的前n项和恒成立,故:,则:t的最小值为,故答案为:16【上海交通大学附属中学2019届高三3月月考】对任意,函数满足:,数列的前15项和为,数列满足,若数列的前项和的极限存在,则_【答案】【解析】,展开为,即0f(n)1,即,化为数列是周期为2的数列数列的前15项和为,7()+又,解得,由0,f(k+1),解得f(2k1)0,f(n+1),解得f(2k),又,令数列的前n项和为,则当n为奇数时,取极限得;则当n为偶数时,取极限得;若数列的前项和的极限存在,则,故答案为. 18