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专题3.3 数列与函数、不等式相结合问题高考数学选填题压轴题突破讲义(原卷版)

1、一方法综述 数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题,难度较大,求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强,但万变不离其宗,只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题,如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及,本讲就这类问题进行分析.二解题策略类型一 数列中的恒成立问题【例1】【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列满足,数列满足,记数列的前项和为,若对于任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )ABCD【指点迷津】对于

2、数列中的恒成立问题,仍要转化为求最值的问题求解,解答本题的关键是由等差数列通项公式可得,进而由递推关系可得,借助裂项相消法得到,又,问题等价于对任意的,恒成立.【举一反三】已知数列的首项,其前项和为,且满足,若对任意恒成立,则的取值范围是( )A B C D类型二 数列中的最值问题【例2】【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知数列满足,则使的正整数的最小值是( )A2018B2019C2020D2021【指点迷津】本题利用数列的递推公式,确定数列的单调性,令,利用裂项相消法得,再根据范围求正整数的最小值.在解题时需要一定的逻辑运算与推理的能力,其中确定数列单调性是解题的关键【举一反三】【河南

3、省许昌市、洛阳市2019届高三三模】已知数列,的前项和分别为,且,若恒成立,则的最小值为( )ABC49D类型三 数列性质的综合问题【例3】【江苏省扬州中学2019届高三下学期3月月考】已知等差数列的前n项和为,若13,36,则的取值范围是_【指点迷津】1.本题先根据求出的取值范围,然后根据不等式的性质可得所求结果.2.由数列的递推公式求通项常用的方法有:(1)累加法(相邻两项的差成等差、等比数列);累乘法(相邻两项的积为特殊数列);(3)构造法,形如的递推数列求通项往往用构造法,即将利用待定系数法构造成的形式,再根据等比数例求出的通项,进而得出的通项公式.【举一反三】【广东省汕尾市2019年

4、3月高三检测】已知数列的首项为数列的前项和若恒成立,则的最小值为_类型四 数列与函数的综合问题【例4】已知函数的定义域为,当时,且对任意的实数,恒成立,若数列满足()且,则下列结论成立的是( )ABCD【指点迷津】(1)运用函数性质解决问题时,先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时,要注意用好其与条件的相互关系,结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化,周期可实现自变量大小转化,单调性可实现去“f”,即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.【举一反三】【

5、浙江省杭州第十四中学2019届高三9月月考】已知数列 中, ,若对于任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )ABCD类型五 数列与其他知识综合问题【例5】将向量组成的系列称为向量列,并定义向量列的前项和若,则下列说法中一定正确的是( )A. B. 不存在,使得C. 对,且,都有 D. 以上说法都不对【例6】斐波那契数列满足: .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里,每一小格子的边长为1,记前项所占的格子的面积之和为,每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为,则下列结论错误的是( )A. B. C. D. 【指点迷津】这类题型往往出现在在填空题最后两题,综合性较强,同学们往往因为某一

6、点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”,解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清,其次先从最有把握的命题入手,最后集中力量攻坚最不好理解的命题.【举一反三】1.如图所示,矩形的一边在轴上,另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为,记矩形的周长为,则( )A. 220 B. 216 C. 212 D. 2082.将正整数12分解成两个正整数的乘积有, , 三种,其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的,我们称为12的最佳分解.当(且)是正整数的最佳分解时,我们定义函数,例如.数列的前100项和为_类型六 数列与基本不等式结合的问题【例7】【山东省济宁市2019届高三一模】已知正项等比数列满足:

7、,若存在两项使得,则的最小值为ABCD【指点迷津】本题考查了等比数列的相关性质以及基本不等式的相关性质,等比数列的通项公式是,等比中项,基本不等式有,考查公式的使用,考查化归与转化思想.【举一反三】【甘肃省白银市靖远县2019届高三第四次联考】已知函数,若 ,则的最小值为( )ABCD三强化训练一、选择题1【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】已知正项等比数列满足 ,若存在两项,使得,则的最小值为( )ABC3D2.【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】已知数列的前项和为,且满足,若,则的最小值为( )ABCD03.【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】在正项等比数列中,则满

8、足的最大正整数的值为( )A10B11C12D134.若数列的通项公式分别为,且,对任意恒成立,则实数的取值范围是( )ABCD5已知各项均为正数的数列的前项和为,且,若对任意的,恒成立,则实数的取值范围为()ABCD6【吉林省吉林市实验中学2019届高三下学期第八次月考】已知等比数列的公比,其前n项的和为,则与的大小关系是ABCD7已知,并且,成等差数列,则的最小值为A16B9C5D48【贵州省2019年普通高等学校招生适应性】设,点,设对一切都有不等式 成立,则正整数的最小值为( )ABCD二、填空题 9.【河北省衡水中学2019届高三下学期一调】20已知数列的前项和.若是中的最大值,则实

9、数的取值范围是_10【2019届高三第二次全国大联考】已知数列的前项和为,当时,若 恒成立,则正数的取值范围为_11【云南省2019年高三第二次检测】已知数列的前项和为,若,则使成立的的最大值是_12【重庆市南开中学2019届高三第三次检测】在正项递增等比数列中,记,则使得成立的最大正整数为_13.已知数列中, ,点列在内部,且与的面积比为,若对都存在数列满足,则的值为_.14.已知函数,点O为坐标原点,点,向量,n是向量与的夹角,则使得 恒成立的实数t的取值范围为 _15.【新疆2019届高三一模】已知数列为等差数列,数列的前n项和为,若对一切,恒有,则m能取到的最大正整数是_16. 【北京师大附中2019届高三4月模拟】设数列的前n项和为,且,若,则n的最大值为_ 7