1、一方法综述 数列的通项公式是数列高考中的热点问题，求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数阵（数表）问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为形式的数列通项公式问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.二解题策略类型一 数阵（数表）中涉及到的数列通项公式问题【例1】如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字73在图中出现的次数为_【答案】12【指点迷津】1.本题主要考查等差数列通项与整数解问题.根据
2、每行每列都成等差数列，先从第一行入手求出第一行数组成的数列的通项公式，再把第一行的数当成首项，再次根据等差数列这一性质求出第数列组成的数列，最后根据整数解方程的解法列举所有解即可.2.数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念.横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标进行表示，其中代表行，代表列.例如：表示第行第列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据
3、数之间的规律确定是该行的第几个，即列.【举一反三】1.【河北省衡水市第二中学2019届高三上期中】数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项，以此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ）4,4,434,43,4 4,43,4 , 4 ABCD【答案】C【解析】由图可知，第n行是4为首项，以3为公比的等比数列的前n项，和为，设满足的最小正整数为，项在图中排在第行第列（且），所以有，则，即图中从第行第列开始，和大于.因为前行共有项，所以最小正整数的值为，故选C.2.【2019年3月3日每日一题】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上用小石子
4、排成多边形，从而研究“多边形数”如图甲的三角形数1，3，6，10，15，第个三角形数为又如图乙的四边形数1，4，9，16，25，第个四边形数为以此类推，图丙的五边形数中，第个五边形数为_【答案】【解析】由图可知，从第个三角形数为，第个四边形数为发现规律，归纳出第n个五边形数为1+4+7+（3n2）故答案为：类型二 点列问题中涉及到的数列通项公式问题【例2】已知点顺次为直线上的点，点顺次为轴上的点，其中.对于任意，点构成以为顶点的等腰三角形.则数列的通项公式为_.【答案】【指点迷津】对于点列问题，要根据图像上点与点之间的关系，以及平面几何知识加以分析，找出关系式即可，本题是直线上的点列，已知点列
5、的通项公式，求点列的通项公式，并研究等腰三角形是否为特殊的等腰直角三角形.【举一反三】在直角坐标平面中，已知点列，其中是正整数.连接的直线与轴交于点，连接的直线与轴交于点，连接的直线与轴交于点，.则数列的通项公式为_.【答案】 【解析】直线的斜率为，所以，.类型三 函数问题中涉及到的数列通项公式问题【例3】【河北省石家庄市第二中学2019届高三上期末】定义在正实数上的函数，其中表示不小于x的最小整数，如，当时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则=_.【答案】【解析】易知：当n=1时，因为x（0，1，所以x=1，所以xx=1，所以.当n=2时，因为x（1，2，所以x=2，所以xx（2，4，所
6、以.当n=3时，因为x（2，3，所以x=3，所以xx=3x（6，9，；当n=4时，因为x（3，4，所以x=4，所以xx=4x（12，16，所以；当n=5时，因为x（4，5，所以x=5，所以xx=5x（20，25，所以.由此类推：.故 .【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.2.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求
7、得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.【举一反三】【北京西城35中2017届高三上学期期中数学】已知是上的奇函数， ，则数列的通项公式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】是奇函数，令， ，令， ，&网令，令，同理可得，故选 类型四 由复杂递推公式求解数列通项公式问题【例4】我们把满足的数列叫做牛顿数列，已知函数，且数列为牛顿数列，设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【指点迷津】对于复杂的递推公式，关键是进行化简和变形，适当的时候需要换元，本题通过题意，可求得 即数列an是以2为公比的等比数列，又a1=2，利用等比
8、数列的通项公式即可求得答案【举一反三】定义运算：，若数列满足且()，则数列的通项公式_.【答案】4n2【解析】由题意可得，以，所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列，所以.类型五 两边夹问题中的数列通项公式问题【例5】设数列满足，且对任意的，满足， ,则_【答案】【指点迷津】解题的关键是要通过所给的不等关系找到数列的项的特征，即，然后经过恰当的变形，将求的问题转化为数列求和的问题去处理，对于求和问题要把握准数列的公比和数列的项数，这是比较容易出现错误的地方.【举一反三】已知各项都为整数的数列中， ，且对任意的，满足 ， ，则_【答案】类型六 下标为形式的数列通项公式问题【例6】已知等差数列，
9、等比数列的公比为，设， 的前项和分别为，若，则_【答案】【解析】， ，因为，所以，这是关于的恒等式，所以，解得，所以【指点迷津】本题要求等差数列的通项公式，既没有首项也没有公差，有的只是等差数列与等比数列的一个关系，这是一个关于正整数的恒等式，因此我们可把等差数列与等比数列的前项用基本量表示，并化已知等式为的恒等式，利用恒等式的知识求解【举一反三】一、选择题1.【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知数列满足，则使的正整数的最小值是（ ）A2018B2019C2020D2021【答案】C【解析】令,则,所以，从而，因为,所以数列单调递增，设当时, 当时,所以当时，从而,因此,选C.2.等差数列
10、和等比数列的各项均为正整数，且的前项和为，数列是公比为16的等比数列，.则的通项公式_.【答案】三强化训练1已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的正数，都有，若数列的前项和为，且满足，则（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，可得，又因为函数是定义在上的单调函数，所以，故，两式作差得，当时，求得，故，即数列是以2为首项，2为公比的等比数列，从而故选：A2【江西省上高县第二中学2019届高三3月月考】定义：若数列对任意的正整数，都有为常数，则称为“绝对和数列”，叫做“绝对公和” 已知“绝对和数列”中，绝对公和为3，则其前2019项的和的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】解：依题意，要使其前
11、2019项的和的最小值只需每一项的值都取最小值即可，2，绝对公和d3，1或1（舍），2或2（舍），1或1（舍），满足条件的数列的通项公式，所求值为+（+）+（+）+（+）2+（12）3025，故选：C3.【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列满足，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意得，则，等差数列的公差，.由，得， 则不等式恒成立等价于恒成立，而，问题等价于对任意的，恒成立.设，则，即，解得或.故选:A.4【福建省厦门第一中学2019届高三3月模拟】已知数列的前项和为，直线与圆交于，两点，且.若对
12、任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】圆心O（0，0）到直线yx2，即xy20的距离d2，由d2r2，且，得22+Sn2an+2，4+Sn2（SnSn1）+2，即Sn+22（Sn1+2）且n2；Sn+2是以+2为首项，2为公比的等比数列由22+Sn2an+2，取n1，解得2，Sn+2（+2）2n1，则Sn2n+12；（n2）2适合上式，设 ，所以 .所以，若对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立.设，因为，所以，故的最大值为因为，所以.故选:B5已知函数的定义域为，当时，且对任意的实数，恒成立，若数列满足（）且，则下列结论成立的是（ ）ABCD【答案】C【解析】对
13、任意的实数x，yR，f（x）f（y）f（x+y）恒成立，取xy0，则f（0）f（0）f（0），解得f（0）0或f（0）1当f（0）0时，得余题意不符，故舍去.所以f（0）1取yx0，则f（x）f（x）1，f（x），设x1x2，则f（x1x2）f（x1）f（x2）1，f（x1）f（x2）函数f（x）在R上单调递减数列满足f（an+1）f（）1f（0）0，a1f（0）1，2，1，1，2f（）1，f（）f（1）1f（）f（）而f（）f（），f（）1f（），f（）f（）f（）f（2），因此只有：C正确故选：C6.【安徽省黄山市2019届高三第二次检测】已知数列和的前项和分别为和，且，若对任意的 ，恒成
14、立，则的最小值为 （ ）ABCD【答案】B【解析】因为，所以，相减得，因为，所以，又，所以, 因为，所以,因此，,从而,即的最小值为，选B.7【河南省十所名校2019届高三尖子生第二次联合】记为数列的前项和，已知和（为常数）均为等比数列，则的值可能为（ ）ABCD【答案】C【解析】当时，令（其中为非零常数），整理得：，要使得它对任意的恒成立，则：，解得：，这与为等比数列矛盾.所以，令（其中为非零常数），则，整理得：，要使得它对任意的恒成立，则，整理得：，令，则，解得：，这与为等比数列矛盾.令，则，整理得：，此方程无解.令，则，整理得：，记，所以在上必有一零点.即至少有一个实根.令，则，整理得：
15、，解得：，这与为等比数列矛盾.故选：C.8.【浙江省杭州第十四中学2019届高三9月月考】已知数列 中， ，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题，即 由累加法可得： 即对于任意的，不等式恒成立即 令 可得且即 可得或故选B二、填空题9.艾萨克牛顿（1643年1月4日-1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：满足，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1，2，数列为牛顿数列，设，已知，则的通项公式_【答案】 10.【山东省济南市2019届高三3月模拟
16、】已知一族双曲线（，且），设直线与在第一象限内的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为，.记的面积为，则_.【答案】【解析】设，双曲线的渐近线为，互相垂直.点在两条渐近线上的射影为，则易知为直角三角形，即为等差数列，其前2019项的和为11.已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为_.【答案】【解析】数列的前项和为，且当n2时，则有，-得： ，整理得（n2），则当n3时有，解得（n3）,检验：当n=2时，满足上式，当n=1时，不满足上式，则，故答案为：12【湖南省衡阳市2019届高三联考（二)】已知数列，为数列的前项的和，且对任意，都有，则的通项公式为_【答案】【解析】当时，由 .又，是以为
17、首项，为公差的等差数列.，当时，所以.故答案为：13.【山东省济宁市2019届高三一模】将数列3，6，9，按照如下规律排列，记第行的第个数为，如，若，则_【答案】44【解析】由题意可知，数列是一个首项为3、公差为3的等差数列，令数列为数列，则有，2019是数列的第673项，再由图可知：前1列共有1个数；前2列共有个数；前3列共有个数；前4列共有个数；前36列共有个数；前37列共有个数；所以2019是第37列第7个数，故.14.【湖南省湘潭市2019届高三二模】已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则_【答案】【解析】由题意知，则，故，故 ，.故答案为15【广东省揭阳市2019届高三一模】如图，给出一个直角三角形数阵，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为,则_. 【答案】【解析】因为每一列的数成等差数列，且第一列公差为，所以，因为从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等为，所以，因此.16【安徽省宣城市2019届高三八校联考】已知数列的各项都是正数，其前项和满足，则数列的通项公式为_【答案】【解析】因为数列的各项都是正数，其前项和满足，所以当时，；当时，即，即，所以数列是等差数列，又，因此，因此,又也满足，所以，.故答案为 22