1、一、方法综述多元函数的最值问题就是在多个约束条件下，某一个问题的最大和最小值在所列的式子之中，有多个未知数求解多元函数的最值问题技巧性强、难度大、方法多，灵活多变，多元函数的最值问题蕴含着丰富的数学思想和方法解题办法常有：导数法、消元法、基本不等式法、换元法、数形结合法、向量法等二、解题策略类型一 导数法例1【2019福建三明上学期期末考】若不等式对任意恒成立，则实数的值为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C 在上单调递减，在上单调递增，即对任意恒成立，同理可证：对任意恒成立，即，故选C学#【举一反三】【2019福建福州第一学期质量抽测】已知函数，对于任意，恒成立，则的取值范围是（ ）A B
2、 C D【答案】A类型二 消元法例2【2019四川攀枝花期末考】已知函数，若方程有四个不等实根，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A B C D【答案】B【解析】当2x4时，04x2，所以f（x）f（4x）|ln（4x）|，由此画出函数f（x）的图象，由题意知，f（2）ln2，故0mln2，且x1x2x3x4，x1+x4x2+x34，x1x21，（4x3）（4x4）1，由，可知，得，设tx1+x2，则，又在上单调递增，所以，即，实数的最大值为，故选B*网【解题秘籍】题设条件中变量较多，但可以把看成整体，从而把问题转化为求一元函数的最值来源:【举一反三】1【2019合肥一模】已知函数有两个不同的
3、极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是( )A B C D【答案】A2【2018河北省廊坊市第八高级中学模拟】若对任意的实数，都存在实数与之对应，则当时，实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】D【解析】由题设有，令，则，所以，当时，在为增函数；当时，在为减函数，所以，注意到当时，故选D类型三 基本不等式法例3【2019湖北1月联考】在中，角、的对边分别是、，若，则的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解题秘籍】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数间基本关系，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想【举一反三】【2019湖南五市十校12月联考】已知正实数，满足，则当取得最大
4、值时，的最大值为（ ）A B C D【答案】C【解析】由正实数，满足，得，当且仅当，即时，取最大值，又因为，所以此时，所以 ，故最大值为1【解题秘籍】在利用基本不等式求最值时，要根据式子特征灵活变形，然后再利用基本不等式，要注意条件：一正二定三相等类型四 换元法例4【2019山东济南期末考】已知函数，若对任意，不等式恒成立，其中，则的取值范围是( )A B C D【答案】B【解析】作出函数的图象，由图像可知：函数在R上单调递减，#网即，由函数在R上单调递减，可得：，变量分离可得：，令，则，又，故选B【举一反三】【2018四川广元统考】若正项递增等比数列满足，则的最小值为（ ）A B C D【答
5、案】C当，即时，有最小值，且的最小值为故选C三、强化训练1【2019江西宜丰中学月考二】已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】C2【2019天津一中期中考】已知函数，若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】因为对任意，总存在，使得，所以，因为当且仅当时取等号，所以，因为，所以，选C3【2019浙江台州统考】已知函数，若对任意，总存在，使得，则的取值范围是（ ）来源:Zxxk.Com来源:Z*X*X*KA B C D【答案】C【解析】对x11，2，x21，4，使得f（x1）g（x2）等价于f（x）ming（x）minf（x）=+
6、，换元令t=，1，h（t）=t+t2知h（t）在（，+）上单调递增，所以f（x）min=h（）=；g（x）=log2x+m，在x1，4上为单调增函数，故g（x）min=g（1）=m，所以m，故选C4【2019广西百色摸底调研】若直线：被圆截得的弦长为4，则当取最小值时直线的斜率为（ ）A2 B C D【答案】A【解析】圆x2+y2+2x4y+1=0是以（1，2）为圆心，以2为半径的圆，学&又直线axby+2=0（a0，b0）被圆x2+y2+2x4y+1=0所截得的弦长为4，直线过圆心，a+2b=2，=（）（a+2b）=（4+）（4+4）=4，当且仅当a=2b时等号成立，k=2，故选A5【201
7、9重庆西大附中月考】已知函数，若成立，则的最小值是（ ）A B C D【答案】A6【2019湖北、山东一联】在中，角的对边分别为，若，则当取最小值时，=（ ）A B C D【答案】B【解析】因为，由正弦定理及余弦定理得：，整理得：，又，当且仅当，即时取等号，故选B7【2019新疆昌吉模拟】在1和17之间插入个数，使这个数成等差数列，若这个数中第一个为，第个为，当取最小值时，的值为（ ）A6 B7 C8 D9【答案】D【解析】由已知得，则，所以当且仅当时取等号，此时，可得故选D#网8【2019广东六校一联】抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（ ）A B C D【答案】
8、A9【2019浙江镇海中学上学期期中考】已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）来源:ZXXKA B C D【答案】B10【2019安徽皖中名校10月联考】在中，点是上一点，且，为上一点，向量，则的最小值为（ ）A16 B8 C4 D2【答案】A【解析】由题意可知：，其中B，P，D三点共线，由三点共线的充分必要条件可得：，则：，当且仅当时等号成立，来源:即的最小值为16，故选A#网11【2019山东青岛零模】已知函数在点处的切线为，动点在直线上，则的最小值是（ ）A4 B2 C D【答案】D【解析】由题得所以切线方程为即，故选D12【2019上海交大附中10月月考】定义域为的
9、函数图像的两个端点为，向量，是图像上任意一点，其中，若不等式恒成立，则称函数在上满足“范围线性近似”，其中最小的的正实数称为该函数的线性近似阈值下列定义在上函数中，线性近似阈值最小的是（ ）A B C D【答案】D 13【2019江苏南师大附中第一学期期中考】己知实数x，y，z0，4，如果x2，y2，z2是公差为2的等差数列，则的最小值为_【答案】42【解析】由于数列是递增的等差数列，故，且，故， ，而函数在上为增函数，故当时取得最大值为，所以14【2019江苏盐城、南京一模】若正实数、满足，则的最大值为_【答案】【解析】由，解得，15【2019陕西榆林一模】已知正数满足，则的最小值为_【答案】【解析】正数x，y满足x2+y21，令z0，可得z222+24，当且仅当即xy时取等号，而由题意可得1x2+y22xy可得2，当且仅当xy时取等号，z24+48，z2，当且仅当xy时取等号，的最小值为2，故答案为：学*16【2019辽宁沈阳东北育才模拟】已知对满足的任意正实数x，y，都有，则实数a的取值范围为_【答案】（，17【2019江苏清江中学二模】在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为_【答案】【解析】由题得，所以，所以因为所以 故答案为：18【2019广东深圳宝安区零模】定义在上的函数满足，且当 若任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是 _【答案】 12