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专题3.2 复杂数列的求和问题高考数学选填题压轴题突破讲义(原卷版)

1、一方法综述 数列的求和问题是数列高考中的热点问题, 数列的求和问题会渗透多种数学思想,会跟其他知识进行结合进行考查.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强,但万变不离其宗,只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题,如数列求和中的新定义问题、子数列中的求和问题、奇偶性在数列求和中的应用、周期性在数列求和中的应用、数列求和的综合问题中都有所涉及,本讲就这类问题进行分析.二解题策略类型一 数列求和中的新定义问题【例1】【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考(四)】对于数列,定义为的“优值”,现已知某数列的“优值”,记数列的前项和为,则( )A2022 B1011 C

2、2020 D1010【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念,对阅读理解能力有一定的要求.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.2.解决此类问题的一些技巧:(1)抓住“新信息”的特点,找到突破口;(2)尽管此类题目与传统的数列“求通项,求和”的风格不同,但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法.所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢,弄清本问所考察的与哪

3、个知识点有关,以便找到一些线索.(3)在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则,以相对简单的情况入手,可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系,或者发现一些通用的做法与思路,使得复杂情况也有章可循.【举一反三】已知数列的前项和为,定义为数列前项的叠加和,若2016项数列的叠加和为2017,则2017项数列的叠加和为( )A. 2017 B. 2018 C. D. 类型二 子数列中的求和问题【例2】已知有穷数列中, ,且,从数列中依次取出构成新数列,容易发现数列是以-3为首项,-3为公比的等比数列,记数列的所有项的和为,数列的所有项的和为,则( )A. B. C. D. 与的大小关系不确定【指

4、点迷津】一个数列中某些项的求和问题,关键在于弄清楚新的数列的形式,了解其求和方法.【举一反三】已知,集合,集合的所有非空子集的最小元素之和为,则使得的最小正整数的值为( )A. B. C. D. 类型三 奇偶性在数列求和中的应用【例3】【福建省2019届高三模拟】已知数列满足,且,设数列的前项和为,则_(用表示).【指点迷津】数列求和中遇到,都会用到奇偶性,进行分类讨论.再采用分组转化法求和或者并项求和的方法,即通过两个一组进行重新组合,将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型还有分段型(如 )及符号型(如 )【举一反三】设数列的前项和为,已知,则_类型四 周期性在数列求和中的应

5、用【例4】数列满足,则数列的前100项和为_【指点迷津】本题主要考查数列的周期性,数列是定义域为正整数集或它的子集的函数,因此数列具有函数的部分性质,本题观察到条件中有 ,于是考虑到三角函数的周期性,构造,周期为4,于是研究数列中依次4项和的之间的关系,发现规律,从而转化为熟悉的等差数列求和问题.解决此类问题要求具有观察、猜想、归纳能力,将抽象数列转化为等差或等比数列问题. 【举一反三】已知数列2008,2009,1,若这个数列从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2019项之和_类型五 数列求和的综合问题【例5】【上海市青浦区2019届高三二模】等差数列,满足,则( )A的

6、最大值为50B的最小值为50C的最大值为51D的最小值为51【指点迷津】先根据题意可知中的项有正有负,不妨设,根据题意可求得,根据,去绝对值求和,即可求出结果.【举一反三】1.【新疆乌鲁木齐市2019届高三一模】已知数列和的前项和分别为和,且,(),若对任意的,恒成立,则的最小值为_.2.【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知数列是各项均为正数的等比数列,其前项和为,点、均在函数的图象上,的横坐标为,的横坐标为,直线的斜率为.若,则数列的前项和_三强化训练1.【山东省日照一中2019届高三11月统考模拟】已知函数的定义域为,对任意R都有,则=A B C D2.【四川省凉山州2019届高

7、三二诊】我们把叫“费马数”(费马是十七世纪法国数学家).设,表示数列的前项之和,则使不等式成立的最小正整数的值是( )ABCD3.【安徽省合肥市2019届高三第二次检测】 “垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”:自上而下,第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是件.已知第一层货物单价1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元,则的值为( )A7B8C9D104己知数列满足,则数列的前2018项的和等于A B

8、 C D5.已知等差数列an的首项为,公差为d,其前n项和为,若直线y xm与圆(x2)y1的两个交点关于直线xyd0对称,则数列的前10项和为()A B C D26【山东省济南市历城第二中学2019接高三11月月考】定义函数如下表,数列满足,. 若,则( )A7042 B7058 C7063 D72627【吉林省长春市实验中学2019届高三期末】设数列中,若,则称数列为“凸数列”.已知数列为“凸数列”,且,则数列的前2019项和为( )A1 B C D8【河北省武邑中学2019届高三(上)期中】数列中的项按顺序可以排列成如图的形式,第一行1项,排;第二行2项,从左到右分别排,;第三行排3项,

9、依此类推设数列的前项和为,则满足的最小正整数n的值为A20 B21 C26 D27二、填空题9.【宁夏银川一中2019届高三一模】已知数列的前n项和为,数列的前n项和为,满足,且.若对任意恒成立,则实数的最小值为_10在如图所示数表中,已知每行、每列中的数都构成等差数列,设表中第n行第n列的数为,则数列的前100项的和为_11【湖南省株洲市2019届高三统一检测(一)】数列的首项为1,其余各项为1或2,且在第个1和第个1之间有个2,即数列为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,记数列的前项和为,则_(用数字作答)12【湖南省湘潭市2019届高三二模】已知函数的图像在点处的切线与直线垂直,若数列的前项和为,则_13【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】数列的前项和为,定义的“优值”为 ,现已知的“优值”,则_.14【江苏省常州市2019届高三上期末】数列满足,且数列的前项和为,已知数列的前项和为1,那么数列的首项_.15【广东省汕尾市普通高中2019年3月高三检测】已知数列的首项为数列的前项和若恒成立,则的最小值为_16【上海交通大学附属中学2019届高三3月月考】对任意,函数满足:,数列的前15项和为,数列满足,若数列的前项和的极限存在,则_ 6