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专题4.1 复杂的三视图问题 高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

1、一方法综述三视图几乎是每年的必考内容,一般以选择题、填空题的形式出现,一是考查相关的识图,由直观图判断三视图或由三视图想象直观图,二是以三视图为载体,考查面积、体积的计算等,均属低中档题. 三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应,识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征,包括几何体的形状,平行垂直等结构特征,这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐,高平直,宽相等”.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征,熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理,才能迅速破解三视图问题,由三视图画出其直观图对于简单几何体的组合体的三视图,首先要确定正视

2、、侧视、俯视的方向,其次要注意组合体由哪些几何体组成,弄清它们的组成方式,特别应注意它们的交线的位置解题时一定耐心加细心,观察准确线与线的位置关系,区分好实线和虚线的不同. 根据几何体的三视图确定直观图的方法:(1) 三视图为三个三角形,对应三棱锥;(2) 三视图为两个三角形,一个四边形,对应四棱锥;(3) 三视图为两个三角形,一个带圆心的圆,对应圆锥;(4) 三视图为一个三角形,两个四边形,对应三棱锥;(5) 三视图为两个四边形,一个圆,对应圆柱. 对于几何体的三视图是多边形的,可构造长方体(正方体),在长方体(正方体)中去截得几何体.二解题策略类型一 构造正方体(长方体)求解【例1】【20

3、18年文北京卷】某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】由三视图可得四棱锥,在四棱锥中,由勾股定理可知:,则在四棱锥中,直角三角形有:共三个,故选C.【指点迷津】正视图、侧视图是三角形,考虑底面顶点数是四,是四棱锥【举一反三】1、某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A. B. C. D.【答案】 B【解析】在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中截得三棱锥P-ABC,其中点A为中点,所以.故选B.2、如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) 【答案】B3、【2017北京,理7】某四棱锥的三视图如

4、图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为(A)3(B)2(C)2(D)2【答案】B【解析】原几何体是四棱锥P-ABCD,如图,最长的棱长为补成的正方体的体对角线,由三视图可知正方体的棱长为2,所以该四棱锥的最长棱的长度为.故选B.&网类型二 旋转体与多面体组合体的三视图【例2】【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半径为r的圆,若该几何体的体积是则它的表面积是( )ABCD【答案】C【解析】由已知三视图可知:该几何体的直观图是一个底面半径为,高为的圆柱内挖去一个半径为的半球,因为该几何体的体积为,所以,即,解得,所以该几何体的表

5、面积为,故选C.【指点迷津】1.三视图有两个长方形含两个虚半圆,一个圆,故知该几何体是圆柱内挖去一个半径为的半球2. 三视图有两个半圆含虚三角,想到半球有挖空部分,俯视图是一个圆含实线正方形,几何体是由半径为2的半球挖去一个正四棱锥【举一反三】1、一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为()A. B. C. D.1 【答案】 C 【解析】由三视图知该四棱锥是底面边长为1,高为1的正四棱锥,结合三视图可得半球半径为,从而该几何体的体积为121.故选C.2、一几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图都是半径为的半圆,俯视图为圆内接一个正方形,则该几何体的体积为( )A B

6、 C D【答案】D【解析】分析:该几何体是由半径为2的半球挖去一个正四棱锥,四棱锥的高为2,底面为正方形,其对角线为4,分别求出2部分的体积并相减即可得到答案.解:由题意知,该几何体是由半球挖去一个正四棱锥,四棱锥的高为2,底面为正方形,其对角线为4,则该正方形边长为,故四棱锥的体积为,半球的体积为,故该几何体的体积为.故答案为D.类型三 与三视图相关的外接与内切问题【例3】已知一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的等腰三角形,腰长为3,底边长为2,俯视图是一个半径为1的圆如图,则这个几何体的内切球的体积为A B C D【答案】A【解析】由三视图知该几何体是圆锥,且底面圆的半径为1,母线长为3

7、,其正视图为等腰三角形,圆锥的内切球半径等于正视图三角形内切圆半径,且内切圆的半径满足,解得,几何体的内切球体积为,故选A【指点迷津】(1)三视图的定义正确读取图中线的位置关系和数量关系.(2)内切球球心与三棱锥各顶点连线,把原三棱锥分割成四个小三棱锥,利用等体积法求内切球半径.(3)分析外切球球心位置,利用已知的数量,求外切圆半径.【举一反三】1、如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是一个三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积是( )ABCD【答案】C【解析】由三视图可得,三棱锥为如图所示的三棱锥,其中侧面底面,在和中,取的中点,连,则为外接圆的圆心,且底面,所以球心在上设球半

8、径为,则在中,由勾股定理得,解得,所以三棱锥的外接球的表面积为故选C2、一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为()A B. C D. 【答案】 D【解析】根据三视图还原几何体为一个如图所示的三棱锥D-ABC,其中平面ADC平面ABC,ADC为等边三角形.取AC的中点为E,连接DE、BE,则有DEAC,所以DE平面ABC,所以DEEB.由图中数据知AE=EC=EB=1,DE=,AD=2=DC=DB,AB=BC=,AC=2.设此三棱锥的外接球的球心为O,则它落在高线DE上,连接OA,则有AO2=AE2+OE2=1+OE2,AO=DO=DE-OE=-OE

9、,所以AO=,故球O的半径为,故所求几何体的外接球的表面积S=4()=,故选D.3、一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为( )A B C D类型四 与三视图相关的最值问题【例4】某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则a+b的最大值为(A)2 (B)2 (C)4 (D)2【答案】 C【指点迷津】构造长方体,体对角线为已知长度的棱,长方体三个面为投影面.根据题意,用长方体的棱长表示a+b,用不等式求其最值. 【举一反三】1、

10、某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则的最大值为( )A.32 C.64 【答案】C【解析】根据三视图可以画出该几何体的直观图如图,其中,平面,.作,且、交于点,连接,则.设,根据图中的几何关系,有,两式联立消去得,再由均值不等式,得.故选C.2、若某几何体的三视图如图所示,这个几何体中最长的棱长为 ,几何体的体积为 .【答案】,3、某三棱锥的三视图如图所示()该三棱锥的体积为_()该三棱椎的四个面中,最大面的面积是_【答案】 8 【解析】三棱锥的底面积,其四个面的面积分别为,面积最大为&网三强化训练一、选择题1.【山东省泰安市高三2019年3月检测】九章算术中,将底面是直角

11、三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中间的实线平分矩形的面积,则该“堑堵”的表面积为【答案】D【解析】解:根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱,底面是一个直角三角形,两条直角边分别是、斜边是2,且侧棱与底面垂直,侧棱长是2,几何体的表面积,故选:D2.【辽宁省大连市2019届高三3月测试】我国古代数学名著九章算术中有如下问题:“今有羡除,下广六尺,上广一丈,深三尺,末广八尺,无深,袤七尺问积几何”,羡除是一个五面体,其中三个面是梯形,另两个面是三角形,已知一个羡除的三视图如图粗线所示,其中小正方形网格的边长为1,则该羡除的表面中,三个梯形的面积之和为()

12、A40B43C46D47【答案】C【解析】由三视图可知,该几何体的直现图如图五面体,其中平面平面,底面梯形是等腰梯形,高为3 ,梯形的高为4 ,等腰梯形的高为,三个梯形的面积之和为,故选C.3.【广东省梅州市2019届高三总复习质检】九章算术给出求羡除体积的“术”是:“并三广,以深乘之,又以袤乘之,六而一”,其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长,“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离,“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离,用现代语言描述:在羡除中,两条平行线与间的距离为h,直线到平面的距离为,则该羡除的体积为已知某羡除的三视图如图所示,则该羡除的体积为ABCD【答案】B【解析】由三视图还

13、原原几何体知,羡除中,底面ABCD是矩形,平面平面ABCD,AB,CD间的距离,如图,取AD中点G,连接EG,则平面ABCD,由侧视图知,直线EF到平面ABCD的距离为,该羡除的体积为故选:B4.【安徽省合肥市2018届高三三模】我国古代九章算术将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图,其中正视图及侧视图均为等腰梯形,两底的长分别为2和4,高为2,则该刍童的表面积为A B40 C D【答案】D【解析】由三视图可知,该刍童的直观图是如图所示的六面体,图中正方体棱长为, 分别是所在正方体棱的四等分点,其表面由两个全等的矩形,与四个全等的等腰梯形组成,矩形面积为,梯形的上下底分

14、别为,梯形的高为,梯形面积为,所以该刍童的表面积为 ,故选D.5如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积为( )ABCD【答案】C【解析】通过三视图还原,可知三棱锥为如下图所示的,可通过切割长方体得到所以长方体的外接球即为三棱锥的外接球又,所以外接球半径:球的表面积为:本题正确选项:6如图,一个圆柱从上部挖去半球得到几何体的正视图,侧视图都是图1,俯视图是图2,若得到的几何体表面积为,则( )A3 B4C5 D6【答案】B【解析】所得几何体的表面积等于底面圆面积加上侧面积和半球表面积,即.故选.7已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

15、( )A B C D【答案】D【解析】观察三视图发现:该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分,削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即,下方削去半个球,故几何体的体积为:,故选D.8某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A10 B20 C30 D60【答案】A【解析】根据三视图将三棱锥P-ABC还原到长方体中,如图所示, 故选A.9一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 A B C D【答案】A【解析】由题意可知几何体是一个底面半径和高都是6的圆柱,挖去一个半圆锥的几何体如图:几何体的体积为:故选:A10如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据,计算该几何体的表面积为A15 B

16、18 C22 D33【答案】D【解析】由三视图可知,该几何体是一个组合体,组合体上部为一个半径为3的半球,下部是一个圆锥,圆锥的底面半径为3.母线长为5,半球的表面积为,圆锥的侧面积为,所以该几何体的表面积为,故选D.11.榫卯(snmo)是两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫榫,凹进去的部分叫卯,榫和卯咬合,起到连接作用.代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿,山西悬空寺等,如图是一种榫卯构件中榫的三视图,则该榫的表面积和体积为()A BC D【答案】A【解析】由三视图知该榫头是由上下两部分构成:上方为长方体(底面为边长是1的正方形,高为2),下方为圆柱(底面圆半径为2,高为2

17、)其表面积为圆柱的表面积加上长方体的侧面积,所以其体积圆柱与长方体体积之和,所以故选A12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )(A) (B) (C) (D)【答案】 B 13.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )【答案】A【解析】该几何体是由两个小三棱锥和一个圆锥组成,所以体积为,故选A.14. 如图所示,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,其侧视图中的曲线为圆周,则该几何体的体积为()ABCD【答案】B【解析】结合题意,绘制图像,如图所示平面DEF的面积为,故该几何体的体积,故选B.二、填空题15.一个几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 .【答案】 16、一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,俯视图是一个等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为 【答案】