1、【方法综述】对于临界知识问题，其命题大致方向为从形式上跳出已学知识的旧框框，在试卷中临时定义一种新知识，要求学生快速处理，及时掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力，多与函数、平面向量、数列联系考查.另外，以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，是近几年高考试卷的热点之一，常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等.【解题策略】类型一 定义新知型临界问题【例1】用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B若A1,2，Bx|(x2ax)(x2ax2)0，且A*B1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于()A 1 B 3 C 5 D
2、7【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.【举一反三】1.【北京市顺义区2019届高三第二次统练】已知集合，若对于 ， ，使得成立，则称集合是“互垂点集”给出下列四个集合：；其中是“互垂点集”集合的为( )ABCD2.【陕西省2019届高三第二次检测】已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称
3、集合是“垂直对点集”.给出下列四个集合： 其中是“垂直对点集”的序号是_.类型二 高等数学背景型临界问题【例2】设S是实数集R的非空子集，若对任意x，yS，都有xy，xy，xyS，则称S为封闭集下列命题：集合Sab|a，b为整数为封闭集；若S为封闭集，则一定有0S；封闭集一定是无限集；若S为封闭集，则满足STR的任意集合T也是封闭集其中真命题是_(写出所有真命题的序号)【举一反三】【湖南省衡阳市2019届高三二模】若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”.下列三个函数，中，与函数不是亲密函数的个数为（ ）A0B1C2D3类型三 立体几何中的临界问题立体几何的
4、高考题中，最主要考查点是几何元素位置关系及角、距离的计算、三视图等，除此之外，还有可能涉及到与立体几何相关的临界知识，如立体几何与其他知识的交汇，面对这些问题，需要有较强的分析判断能力及思维转换能力，还需要我们对这些问题作一些分析归类，加强知识间的联系，才能让所学知识融会贯通.【例3】点为棱长是的正方体的内切球球面上的动点，点满足，则动点的轨迹的长度为_【举一反三】已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于、两点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围为（ ）A B C D 【强化训练】一、 选择题1.已知集合2，3，集合是集合A的子集，若 且2，满足集合B的个数记
5、为，则A9B10C11D122【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，已知函数，则函数的值域为（ ）ABCD3【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考】定义集合运算：AB=，xA，yB，设集合A=，0，1，B=，则集合AB的所有元素之和为（ ）A1B0CD4.【广西壮族自治区柳州市2019届高三3月模拟】 定义：，如，则（ ） A0BCD15【北京市门头沟区2019年3月高三综合练习】若函数图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点对称为
6、函数的“友好点对”且点对与可看作同一个“友好点对”若函数其中e为自然对数的底数，恰好有两个“友好点对”则实数m的取值范围为ABCD6【江西省上高县第二中学2019届高三3月月考】定义：若数列对任意的正整数，都有为常数，则称为“绝对和数列”，叫做“绝对公和” 已知“绝对和数列”中，绝对公和为3，则其前2019项的和的最小值为（ ）ABCD7【四川省凉山州2019届高三二诊】我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设，表示数列的前项之和，则使不等式成立的最小正整数的值是（ ）ABCD二、填空题8【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月
7、联考】如图，已知正四棱柱和半径为的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为_9【上海市交大附中2019届高三上9月开学】由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立
8、的是_没有最大元素，有一个最小元素；没有最大元素，也没有最小元素；有一个最大元素，有一个最小元素；有一个最大元素，没有最小元素.10【江西省红色七校2019届高三第二次联考】已知函数,对函数,定义关于的“对称函数”为,满足:对任意,两个点关于点对称,若是关于的“对称函数”,且在上是减函数,则实数的取值范围是_.11【河南省郑州第一中学2019届高三第二次测评】已知二进制和十进制可以相互转化，例如，则十进制数89转化为二进制数为.将对应的二进制数中0的个数，记为（例如：，则，），记，则_12【上海市七宝中学2019届高三下学期开学】设整数，集合2，A，B是P的两个非空子集则所有满足A中的最大数小
9、于B中的最小数的集合对的个数为：_13【河北省石家庄市第二中学2019届高三上期末】定义在正实数上的函数，其中表示不小于x的最小整数，如，当时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则=_.14【上海市南洋模范中学2019届高三3月月考】任意实数，定义，设函数，数列是公比大于0的等比数列，且，则_.15【北京延庆区2019届高三一模】已知集合 ，集合 满足 每个集合都恰有7个元素 ; 集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为（），则 的最大值与最小值的和为_.16【江西省南昌市2019届高三一模】定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点在半径为1的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，则平面区域的“直径”的最大值是_17【陕西省2019届高三第二次检测】在实数集中定义一种运算“”，具有性质：（1）对任意；（2）对任意；（3）对任意 .则函数的最小值为_18【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模】定义：对于数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有成立，那么我们称数列为“摆动数列”.若，则数列_“摆动数列”，_“摆动数列”（回答是或不是）；已知“摆动数列”满足，.则常数的值为_. 6