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专题7.3 临界知识问题高考数学选填题压轴题突破讲义(原卷版)

1、【方法综述】对于临界知识问题,其命题大致方向为从形式上跳出已学知识的旧框框,在试卷中临时定义一种新知识,要求学生快速处理,及时掌握,并正确运用,充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力,多与函数、平面向量、数列联系考查.另外,以高等数学为背景,结合中学数学中的有关知识编制综合性问题,是近几年高考试卷的热点之一,常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等.【解题策略】类型一 定义新知型临界问题【例1】用C(A)表示非空集合A中的元素个数,定义A*B若A1,2,Bx|(x2ax)(x2ax2)0,且A*B1,设实数a的所有可能取值组成的集合是S,则C(S)等于()A 1 B 3 C 5 D

2、7【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念,对阅读理解能力有一定的要求.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.【举一反三】1.【北京市顺义区2019届高三第二次统练】已知集合,若对于 , ,使得成立,则称集合是“互垂点集”给出下列四个集合:;其中是“互垂点集”集合的为( )ABCD2.【陕西省2019届高三第二次检测】已知集合,若对于任意,存在,使得成立,则称

3、集合是“垂直对点集”.给出下列四个集合: 其中是“垂直对点集”的序号是_.类型二 高等数学背景型临界问题【例2】设S是实数集R的非空子集,若对任意x,yS,都有xy,xy,xyS,则称S为封闭集下列命题:集合Sab|a,b为整数为封闭集;若S为封闭集,则一定有0S;封闭集一定是无限集;若S为封闭集,则满足STR的任意集合T也是封闭集其中真命题是_(写出所有真命题的序号)【举一反三】【湖南省衡阳市2019届高三二模】若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域,则称这两函数为“亲密函数”.下列三个函数,中,与函数不是亲密函数的个数为( )A0B1C2D3类型三 立体几何中的临界问题立体几何的

4、高考题中,最主要考查点是几何元素位置关系及角、距离的计算、三视图等,除此之外,还有可能涉及到与立体几何相关的临界知识,如立体几何与其他知识的交汇,面对这些问题,需要有较强的分析判断能力及思维转换能力,还需要我们对这些问题作一些分析归类,加强知识间的联系,才能让所学知识融会贯通.【例3】点为棱长是的正方体的内切球球面上的动点,点满足,则动点的轨迹的长度为_【举一反三】已知正方体的体积为1,点在线段上(点异于、两点),点为线段的中点,若平面截正方体所得的截面为四边形,则线段的取值范围为( )A B C D 【强化训练】一、 选择题1.已知集合2,3,集合是集合A的子集,若 且2,满足集合B的个数记

5、为,则A9B10C11D122【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测】高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数.例如:,已知函数,则函数的值域为( )ABCD3【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考】定义集合运算:AB=,xA,yB,设集合A=,0,1,B=,则集合AB的所有元素之和为( )A1B0CD4.【广西壮族自治区柳州市2019届高三3月模拟】 定义:,如,则( ) A0BCD15【北京市门头沟区2019年3月高三综合练习】若函数图象上存在两个点A,B关于原点对称,则点对称为

6、函数的“友好点对”且点对与可看作同一个“友好点对”若函数其中e为自然对数的底数,恰好有两个“友好点对”则实数m的取值范围为ABCD6【江西省上高县第二中学2019届高三3月月考】定义:若数列对任意的正整数,都有为常数,则称为“绝对和数列”,叫做“绝对公和” 已知“绝对和数列”中,绝对公和为3,则其前2019项的和的最小值为( )ABCD7【四川省凉山州2019届高三二诊】我们把叫“费马数”(费马是十七世纪法国数学家).设,表示数列的前项之和,则使不等式成立的最小正整数的值是( )ABCD二、填空题8【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月

7、联考】如图,已知正四棱柱和半径为的半球O,底面ABCD在半球O底面所在平面上,四点均在球面上,则该正四棱柱的体积的最大值为_9【上海市交大附中2019届高三上9月开学】由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪,直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割),并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机,所谓戴德金分割,是指将有理数集划分为两个非空的子集与,且满足,中的每一个元素都小于中的每一个元素,则称为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割,下列选项中,可能成立

8、的是_没有最大元素,有一个最小元素;没有最大元素,也没有最小元素;有一个最大元素,有一个最小元素;有一个最大元素,没有最小元素.10【江西省红色七校2019届高三第二次联考】已知函数,对函数,定义关于的“对称函数”为,满足:对任意,两个点关于点对称,若是关于的“对称函数”,且在上是减函数,则实数的取值范围是_.11【河南省郑州第一中学2019届高三第二次测评】已知二进制和十进制可以相互转化,例如,则十进制数89转化为二进制数为.将对应的二进制数中0的个数,记为(例如:,则,),记,则_12【上海市七宝中学2019届高三下学期开学】设整数,集合2,A,B是P的两个非空子集则所有满足A中的最大数小

9、于B中的最小数的集合对的个数为:_13【河北省石家庄市第二中学2019届高三上期末】定义在正实数上的函数,其中表示不小于x的最小整数,如,当时,函数的值域为,记集合中元素的个数为,则=_.14【上海市南洋模范中学2019届高三3月月考】任意实数,定义,设函数,数列是公比大于0的等比数列,且,则_.15【北京延庆区2019届高三一模】已知集合 ,集合 满足 每个集合都恰有7个元素 ; 集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数,记为(),则 的最大值与最小值的和为_.16【江西省南昌市2019届高三一模】定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点在半径为1的圆上,且,分别以各边为直径向外作三个半圆,这三个半圆和构成平面区域,则平面区域的“直径”的最大值是_17【陕西省2019届高三第二次检测】在实数集中定义一种运算“”,具有性质:(1)对任意;(2)对任意;(3)对任意 .则函数的最小值为_18【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模】定义:对于数列,如果存在常数,使对任意正整数,总有成立,那么我们称数列为“摆动数列”.若,则数列_“摆动数列”,_“摆动数列”(回答是或不是);已知“摆动数列”满足,.则常数的值为_. 6