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专题2.4 极值计算先判断单调原则不能撼高考数学解答题压轴题突破讲义(解析版)

1、【题型综述】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)函数极值的判断:先确定导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号(2)求函数极值的方法:确定函数的定义域求导函数求方程的根检查在方程的根的左、右两侧的符号,确定极值点如果左正右负,那么在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么在这个根处取得极小值;如果在这个根的左、右两侧符号不变,则在这个根处没有极值(3)利用极值求参数的取值范围:确定函数的定义域,求导数,求方程的根的情况,得关于参数的方程(或不等式),进而确定参数的取值或范围【典例指引】例1已知函数其中当时,求曲线处的切线的斜率;w.w.w.zxxk.c.o.m 当时,求函数的单调

2、区间与极值.,则,当变化时,的变化情况如下表:+00+极大值极小值 &网例2已知函数的图象在处的切线过点,.(1)若,求函数的极值点;(2)设是函数的两个极值点,若,证明:.(提示)【思路引导】(1)求导,则.又,曲线在处的切线过点利用斜率相等,可得.,又,可得,则,可得函数的极值点.(2)由题是方程的两个根,则, ,由,可得, ,是函数的极大值, 是函数的极小值,要证,只需,计算整理可得 ,令,则,设,利用导数讨论函数的性质即可得证.(2)是方程的两个根, , ,是函数的极大值,是函数的极小值,要证,只需, ,令,则,设 ,则,函数在上单调递减, &网例3已知函数在处有极值10.(1)求实数

3、的值;(2)设,讨论函数在区间上的单调性.【思路引导】(1)根据题意得到关于m的方程组,解方程组求得即可;(2)先判断函数的单调性,然后根据的取值情况分类讨论判断函数在区间上的单调性(2)由(1)可知,&网当变化时, 的变化情况如下表:来源:1+0-0+增极大减极小来源:增当时,在区间上单调递增.综上所述:当或时, 在区间上单调递增;当时, 在区间上上单调递增,在上单调递减;当时, 在区间上单调递减;当时, 在区间上单调递减,在上单调递增. &网点评:解答本题的易错点有两个:(1)在第一问中忽视了对值的检验,因为导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件,这是很容易出现的错误(2)第二问中不能熟

4、练地通过对进行分类讨论求解;还有,即便是分类了,分类的情况也不完全或分类出现重漏的情况【新题展示】1【2019浙江七彩联盟期中】已知函数证明:函数存在唯一的极值点,并求出该极值点;若函数的极值为1,试证明:来源:【思路引导】根据导数和函数的极值的关系即可证明,证明,只要证,令,利用导数和函数的最值得关系,和函数零点的存在定理,以及利用反证法即可证明【解析】由可得,要证明,只要证,令,易知在上单调递增,且当时,当时,存在唯一的实数,使得,即,即,来源:在单调递减,在单调递增,下面证明,利用反证法,假设,即,即,则由可知,这与矛盾,即,故2【2019北京石景山区期末】已知函数(1)当时,求在处的切

5、线方程;(2)当时,若有极小值,求实数a的取值范围【思路引导】(1)将代入,再对函数求导,求出切线斜率,进而即可得出结果;(2)对函数求导,通过讨论的范围,分别研究函数的单调性,进而可得出结果.【解析】令,解得x,g(x),的变化情况如下表:x(0,a)a(a,+)0+g(x)减极小值lna+2增若,即,则,所以不存在变号零点,不合题意若,即时,所以,使得;且当时,当时,所以当时,x,f(x)的变化情况如下表:0+f(x)减极小值增所以3【2019河南驻马店市期末】已知函数(1)求函数的单调区间和的极值;(2)对于任意的,都有,求实数的取值范围.【思路引导】(1)对f(x)求导,再求导,得到二

6、次导数恒大于0,又,得到及的x的范围,即可得到函数的单调区间及极值.(2)由题意,只需,结合(1)可得最小值为,比较与得到最大值,可求得结论.【解析】(2)依题意,只需由(1)知,在上递减,在上递增,在上的最小值为;最大值为和中的较大者而 ,【同步训练】1设, .(1)令,求的单调区间;来源:ZXXK(2)已知在处取得极大值,求实数的取值范围.【思路引导】(1)求函数的单调区间主要是先求出函数的导函数,根据导函数大于零和小于零分别解出所对应的增减区间,但要含参问题时则要注意讨论,由,根据a的不同取值讨论即可得出单调区间;(2)已知在处取得极大值,故.,然后根据第一问单调性的讨论验证函数是否在1

7、处取得极大值即可得出正确a的取值范围(2)由(1)知, .当a时, 单调递增.所以当时, , 单调递减.当时, , 单调递增.所以在处取得极小值,不合题意.当时, ,由(1)知在内单调递增,可得当时, , 时, ,所以在内单调递减,在内单调递增,所以在处取得极小值,不合题意.当时,即时, 在内单调递增,在 内单调递减,&网 来源:2已知函数,在定义域内有两个不同的极值点 (I)求的取值范围;(II)求证:【思路引导】(1) 函数,在定义域内有两个不同的极值点, 令即对求导,按照和分类判断单调性及极限,求出函数的极值,确定a的范围;(2)证明, 即证, ,构造函数求导判断单调性求出函数的最值,即

8、可证明不等式成立.试题解析:(I)令由题意可知, 当 (II)由题意及(I)可知,即证 3已知函数()若函数在时有极值0,求常数a,b的值;()若函数在点处的切线平行于x轴,求实数b的值【思路引导】(1)根据函数的极值点的概念得到,极值点既在切线上又在曲线上,得到参数值.(2)根据导数的几何意义得到,从而得到参数值. 4已知函数, .(1)求函数在上的最值;(2)求函数的极值点.【思路引导】(1)对函数进行求导可得,求出极值,比较端点值和极值即可得函数的最大值和最小值;(2)对进行求导可得 ,利用求根公式求出导函数的零点,得到导数与0的关系,判断单调性得其极值.试题解析:(1)依题意, ,令,

9、解得.因为, , ,且,故函数在上的最大值为,最小值为.(2)依题意, , ,当时,令,则.因为,所以 ,其中, .因为,所以, ,所以当时, ,当时, ,所以函数在上是增函数,在上是减函数,故为函数的极大值点,函数无极小值点.&网5设函数f(x)=lnx+ax2+x+1(I)a=2时,求函数f(x)的极值点;()当a=0时,证明xexf(x)在(0,+)上恒成立【思路引导】(1)求导数判断函数的单调性,通过单调性求极值点;(2)当a=0时构造函数F(x)=xexf(x)=xexlnxx1,(x0),只要证明F(x)=0即可()证明:当a=0时,f(x)=lnx+x+1令F(x)=xexf(x

10、)=xexlnxx1,(x0),则F(x)= (xex1),令G(x)=xex1,则G(x)=(x+1)ex0,(x0),函数G(x)在(0,+)递增,又G(0)=10,G(1)=e10,存在唯一c(0,1)使得G(c)=0,且F(x)在(0,c)上单调递减,在(c,+)上单调递增,故F(x)F(c)=ceclncc1,由G(c)=0,得cec1=0,得lnc+c=0,来源:Zxxk.ComF(c)=0,F(x)F(c)=0,从而证得xexf(x)&网点评:在本题()的解答中,为了求F(x)的 最小值,通过求导得到F(x)= (xex1),不容易判断F(x)的单调性,故构造G(x)=xex1,

11、采用二次求导的方法,在求G(x)零点的过程中遇到了零点不可求的问题,此类问题的解法是利用G(x)的单调性和零点存在定理,判断零点所在的范围,然后理通过整体代换的方法求函数F(x)的最值,这是解决函数综合问题中常用的一种方法6已知函数,(其中,为自然对数的底数,).(1)令,求的单调区间;(2)已知在处取得极小值,求实数的取值范围.【思路引导】(1)求导函数的导数得,再根据是否变号进行分类讨论单调性:当时,导函数不变号,为单调递增;当时,导函数先负后正,对应单调区间为先减后增;(2)由题意得,结合(1)根据导函数单调性分类讨论在处是否为极小值:当时, 在附近先减后增,为极小值;当时,按与零大小关

12、系进行二次讨论:, 单调递增; 在附近先减后增,为极小值;当时,无极值; 时,单调递减; 在附近先增后减,为极大值;综上可得实数的取值范围.(3)当时,由()知在区间单调递减, 在区间单调递增,所以在处取得最小值,即,所以函数在上单调递增,所以在处无极值,不符合题意.(4)当时, ,由()知的减区间为,所以当时, ,当时, ,所以在处取得极大值,不符合题意,综上可知,实数的取值范围为.7已知函数().(1)若在其定义域内单调递增,求实数的取值范围;(2)若,且有两个极值点,(),求的取值范围.【思路引导】函数在某区间上单调递增,说明函数的导数大于或等于0在该区间上恒成立,分离参数m,利用极值原

13、理求出参数m的取值范围;当时有两个极值点为方程的两个根,根据根与系数关系找出与系数的关系,根据m的范围解出的范围,表示出,根据减元,利用构造函数法求出其取值范围. 8已知函数(1)若函数在和处取得极值,求的值;(2)在(1)的条件下,当时, 恒成立,求的取值范围【思路引导】(1)求出导函数,利用,且=0,解方程组可求得;(2)利用导数研究函数的单调性,可得函数在时, 的最小值为,只需即可求的取值范围.(2)由(1)知, ,当变化时, 随的变化如下表:-2-123+0-0+增减增当时, 的最小值为,要使恒成立,只要即可,的取值范围为9已知函数,其中为常数.(1)当,且时,判断函数是否存在极值,若

14、存在,求出极值点;若不存在,说明理由;(2)若,对任意的正整数,当时,求证:.【思路引导】(1)令 ,求出 的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极小值即可;() 时,求 的导数,通过讨论 是奇数,偶数,结合函数的单调性证明结论即可(2)证:因为,所以.当为偶数时,令,则所以当时,单调递增,的最小值为.因此所以成立.当为奇数时,要证,由于,所以只需证.令,则,当时,单调递增,又,所以当时,恒有,命题成立.10已知函数.(1)求函数的极值点; (2)若f(x)x2+1在(0,2)上恒成立,求实数t的取值范围.来源:Z&X&X&K【思路引导】 (1)首先对函数求导,考虑到导函数含有参数,对参数大于等于0,和小于0两种情况进行讨论来源:Zxxk.Com(2)恒成立问题,首先利用参数分离,得到,再令,原问题转化为,从而求出参数的范围20