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专题2.7 欲证不等恒成立目标调整依形式高考数学解答题压轴题突破讲义(解析版)

1、【题型综述】利用导数解决不等式恒成立问题的策略:准确解答首先观察不等式特点,结合已解答的问题把要证的不等式变形,并运用已证结论先行放缩,然后再化简或者进一步利用导数证明.【典例指引】例1已知函数()讨论函数在定义域内的极值点的个数;()若函数在处取得极值,对,恒成立,求实数的取值范围;()当且时,试比较的大小令,则只要证明在上单调递增,又,&网显然函数在上单调递增 ,即,在上单调递增,即,当时,有例2已知函数.若函数满足下列条件:;对一切实数,不等式恒成立.()求函数的表达式;()若对,恒成立,求实数的取值范围;()求证:. ()证明:因为,所以 要证不等式成立, 即证. 因为, &网所以.

2、所以成立 例3已知函数,在定义域内有两个不同的极值点 (I)求的取值范围;(II)求证:【答案】(1) ;(2)详见解析. &网【思路引导】 (1) 函数,在定义域内有两个不同的极值点, 令即对求导,按照和分类判断单调性及极限,求出函数的极值,确定a的范围;(2)证明, 即证, ,构造函数求导判断单调性求出函数的最值,即可证明不等式成立.(II)由题意及(I)可知,即证 例4已知函数的图象在处的切线过点, .(1)若,求函数的极值点;(2)设是函数的两个极值点,若,证明: .(提示)【思路引导】(1)求导,则.又,曲线在处的切线过点利用斜率相等,可得,又,可得,则,可得函数的极值点(2)由题是

3、方程的两个根,则, ,由,可得, ,是函数的极大值, 是函数的极小值,要证,只需,计算整理可得 ,令,则,设,利用导数讨论函数的性质即可得证 【新题展示】1【2019山西晋中1月适应性考试】已知函数.(1)讨论的单调性;(2)当时,证明:.来源:Z,X,X,K【思路引导】(1)由题意,求得函数的导数, 分类讨论,即可求解函数的单调区间;(2)由(1)知,当时,的最大值为,从而要证等价于,即,设,利用导数求得函数的单调性和最值,即可得证.【解析】(1)由题意,得, 若,恒成立,在上是增函数;若,当时,是增函数; 来源:ZXXK当时,是减函数;综上,时,在上是增函数;时,在上是增函数,在上是减函数

4、.2【2019陕西西安西北工业大学附属第一次适应性训练】已知函数,曲线在点处的切线方程为求a,b的值;2若当时,关于x的不等式恒成立,求k的取值范围【思路引导】(1)求得的导数,可得切线的斜率,由已知切线的方程可得切点,由,的方程,可得,的值;(2)由题意可得恒成立,即有对恒成立,求导并根据函数单调性情况进行分类讨论,最终获得k取值范围.【解析】函数,导数为,曲线在点处的切线方程为,可得,则,即有,;2当时,关于x的不等式恒成立,可得恒成立,即有对恒成立,可设,导数为,设,当时,在递增,可得,则在递增,与题设矛盾;当,可得,3【2019湖北黄冈上学期元月调研】设函数求的单调区间;当时,若对任意

5、的,都有,求实数的取值范围;证明不等式.【思路引导】 求出,分两种情况讨论的范围,在定义域内,分别令求得的范围,可得函数增区间,求得的范围,可得函数的减区间;问题等价于对恒成立,令,根据函数的单调性求出的取值范围,从而可得结果; 由知对任意的恒成立,令得:,累加即可证明结论【解析】,即,原不等式等价于对恒成立,令,则对恒成立,时,故所求a的范围为由知不等式对任意的和恒成立,则对任意的恒成立,令得:,2,n,再迭加即可,得4【2019福建三明期末质量检测】已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若存在两个极值点,证明:.【思路引导】(1)对函数求导,分情况讨论导函数的正负,进而得到单调性;(2)对函

6、数求导,结合极值点的概念得到,构造函数,对函数求导,得到函数单调性即可得到结果.【解析】(2)函数的定义域为,函数有两个极值点,且.由(1)知,且,则,【同步训练】1已知函数与.(1)若曲线与曲线恰好相切于点,求实数的值;(2)当时,恒成立,求实数的取值范围;(3)求证:. .【思路引导】(1)先求出导函数 由 ,解方程可得;(2)由 在恒成立的必要条件为得,再利用导数研究函数的单调性及最值,从而证明时,对任意 ,总有;(3)由(2)知:时,令,化简可得,再令 ,多个不等式求和,利用对数的运算法则即可的结论.试题解析:(1)先求出导函数 由 ,解方程可得. (2)令,则 ,在恒成立的必要条件为

7、.即,又当时,令,则,即,在递减,即,在恒成立的充分条件为.综上,可得:(3)设为的前n项和,则,要证原不等式,只需证:,由(2)知:时即:(当且仅当时取等号).令,则,即:,即, 令 ,多个不等式求和,从而原不等式得证&网【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立及不等式的证明,属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点,命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合,导数部分一旦出该类型题往往难度较大,要准确解答首先观察不等式特点,结合已解答的问题把要证的不等式变形,并运用已证结论先行放缩,然后再化简或者进一步利用导数证明.2函数f(x)=()求f(x)的单调区间;

8、()若a0,求证:f(x).【思路引导】()求导整理可得,通过讨论a的取值可得函数的单调区间;()由()可得a0时,故可将问题转化为证 成立即可,构造函数,利用导数可以得到,从而证得原不等式成立。 () 由()知在上单调递减; 在上单调递增,则 要证,即证,即证0 令,则, 由解得,由解得,在上单调递减; 在上单调递增;,&网 0成立从而成立3已知函数其中实数为常数且.(I)求函数的单调区间;(II)若函数既有极大值,又有极小值,求实数的取值范围及所有极值之和;(III)在(II)的条件下,记分别为函数的极大值点和极小值点,求证:.【思路引导】(1)利用导数并结合实数的不同取值求解单调区间;(

9、2)由(1)可知当时函数有极值,此时 ,再根据根与系数的关系求解;(3)将问题转化为证明当时, 成立的问题,变形得即证,构造函数,利用函数的单调性证明即可。由或 由 综上所述,当时, 的单调递增区间为,无单调递减区间;当时, 的单调递增区间为, ,单调递减区间&网(III)由(II)知,当,. 故原不等式等价于证明当时, ,来源:ZXXK即证.设函数,则当时, .函数在区间单调递减, 由知, .即. 从而原不等式得证. &网来源:Zxxk.Com点睛:本题的解题过程需要注意以下两点:(1)分类讨论思想方法的运用,对于题目中出现的参数,要根据题意分为不同的情况去处理,在分类中要做到补充不漏;(2

10、)对于型的不等式的证明,可通过构造函数,利用函数的单调性和最值去处理,解题时要注意定义域和区间端点函数值的运用。4设函数.(1)当时,求的单调区间;(2)若的图象与轴交于两点,起,求的取值范围;(3)在(2)的条件下,求证.(参考知识:若,则有)【思路引导】(1)当时,求出,由 可得增区间,由可得减区间;(2)求出函数的导数,由,得到函数的单调区间,根据函数的单调性可得,从而确定的范围;(3)由题意得得,根据不等式的性质,利用分析法可以证明. (3)由题意得得,欲证即证即证,即.,得证.&网5已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)当,且时,证明:.【答案】(1) 单调递减区间为,单调递增区间

11、为;(2)见解析.【思路引导】(1)令,得增区间,得减区间;(2),需证,变量集中. 6已知函数(1)求的单调递增区间;(2)当时,求证:【思路引导】(1)求出,解不等式即可得的单调增区间;(2)等价于,利用导数研究函数的单调性,证明,从而可得结果. 7已知函数()若函数有零点,其实数的取值范围()证明:当时,【思路引导】(1)求出函数的导数,讨论两种情况,分别研究函数的单调性,求其最值,结合函数的图象和零点定理即可求出的取值范围;(2)问题转化为,令,令,利用导数研究函数的单调性,分类讨论求出函数的最值,即可证明.试题解析:(1)函数的定义域为.由,得.当时, 恒成立,函数在上单调递增,又,

12、所以函数在定义域上有个零点.当时,则时, 时, .所以函数在上单调递减,在上单调递增.当.当,即时,又 8已知函数.(1)若在区间有最大值,求整数的所有可能取值;(2)求证:当时,.【思路引导】(1)在区间有最大值,即是在区间有极大值,求出,求出极大值点 ,令 ,从而可得结果;(2)等价于,只需证明即可.试题解析:(1)f(x)(x2x2)ex,当x2时,f(x)0,f(x)单调递增,当2x1时,f(x)0,f(x)单调递减,当x1时,f(x)0,f(x)单调递增,来源:由题知:a2a+5,得:7a2,则a6、5、4、3,&网当a6、5、4,显然符合题意,若a3时,f(2)5e2,f(2)e2

13、,f(2)f(2),不符合题意,舍去故整数a的所有可能取值6,5,4(2)f(x)3lnxx3+(2x24x)ex+7可变为(x23x1)ex3lnxx3+7,令g(x)(x23x1)ex,h(x)=3lnxx3+7,g(x)(x2x2)ex,0x2时,g(x)0,g(x)单调递增,当x2时,g(x)0,g(x)单调递减,g(x)的最大值为g(2)e2,h(x),当0x1时,h(x)0,h(x)单调递减,当x1时,h(x)0,h(x)单调递增,h(x)的最小值为h(1)8e2,g(x)的最大值小于h(x)的最小值,故恒有g(x)h(x),即f(x)3lnxx3+(2x24x)ex+79已知函数

14、.(1)设,若,求的单调区间;(2)设,比较与的大小.来源:Z_xx_k.Com【答案】(1)的单调增区间是,单调递减区间是;(2)【思路引导】(1)由,得, ,所以的单调增区间是,单调递减区间是。(2)由,所以,即,所以证到了,就证明了,而只需证明所以构造函数,求导可解。 ,即,又,.【点睛】本题第二问是关于多元变量不等式成立问题,我们常用的方法是其中一个做变量,其余做参量,如本题以m为变量,所以构造函数,当然以n为变量也可以。另外还有常用的方法就是,当多个变量以整体形式出现时,我们也常用换元的方法,如经常等。这样多个变量就变成了一个变量问题。10函数(1)讨论的单调性;(2)若函数有两个极

15、值点,且,求证: 【思路引导】 (1) ,分类讨论,研究的符号情况,进而得到函数的单调区间;(2) 设函数有两个极值点,且, 、是的二根 ,若证成立,只需证对恒成立.设,研究其最值即可. 1) 当即,即时,时, ,即, 时, ,即 2) 当时,即,即时时, ,即或时, ,即 综上:时,在上单减,在上单增;时,在上单减,在和上单增; 时, 在上单增 (2)若函数有两个极值点,且则必是,则,则, 当时, , , 故,故在上单增故 对恒成立 11已知函数.()判断函数的单调性;()求证: .【答案】()在和上都是增函数;()证明见解析【思路引导】(1)先对题设条件中函数解析式进行求导,再构造函数对所

16、求得的导函数的值的符号进行判定;(2)先构造函数,再对其求导得到,求出导函数的零点,得到最小值为0,从而证得然后借助函数的单调性,分、三种情形进行分析推证,使得不等式获证。()设,来源:来源:ZXXK则,得,在上是减函数,在上是增函数,即.当时, ,在上是增函数,即,.当时, ,在上是增函数, 12已知函数(1)若是函数的极值点,求曲线在点处的切线方程;(2)若函数在上为单调增函数,求的取值范围;(3)设为正实数,且,求证:【答案】(1) ;(2);(3)证明见解析.【思路引导】(1)求出导数,由题意可得代入可得,可得切线的斜率和切点,进而得到切线的方程;(2)由函数在上为增函数,可得恒成立,既有,当时, ,求得右边函数的最小值,即可得到范围;(3)运用分析法证明,要证,只需证,即证,设,求出导数判断单调性,运用单调递增,即可得证.(3)要证,只需证,即证只需证 设,由(2)知在上是单调函数,又,来源:ZXXK所以,即成立,所以.27