1、13.3.2 等边三角形,第十三章 轴对称,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 含30角的直角三角形的性质,八年级数学上（RJ）,1探索含30角的直角三角形的性质（重点） 2会运用含30角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算（难点）,导入新课,问题引入,问题1 如图，将两个相同的含30角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到RtABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？,分离,拼接,A,C,B,问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？,讲授新课,性质：,在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.,如图，ADC
2、是ABC的轴对称图形，,因此AB=AD, BAD=230=60，,从而ABD是一个等边三角形.,再由ACBD,可得BC=CD= AB.,证法1,证明：在ABC 中， C =90，A =30, B =60 延长BC 到D，使BD =AB，连接AD， 则ABD 是等边三角形 又ACBD,已知：如图，在RtABC 中，C =90，A =30. 求证：BC = AB, BC = AB,BC = BD,证明2： 在BA上截取BE=BC，连接EC. B= 60 ，BE=BC. BCE是等边三角形， BEC= 60，BE=EC. A= 30， ECA=BEC-A=60-30 = 30. AE=EC， AE=
3、BE=BC， AB=AE+BE=2BC., BC = AB,知识要点,含30角的直角三角形的性质,在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.,应用格式： 在RtABC 中，C =90，A =30，, BC = AB,判断下列说法是否正确： 1）直角三角形中30角所对的直角边等于另一直角边的一半 2）三角形中30角所对的边等于最长边的一半。 3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。 4）直角三角形的斜边是30角所对直角边的2倍,例1 如图，在RtABC中，ACB90，B30，CD是斜边AB上的高，AD3cm，则AB的长度是( ) A3cm B6cm C9cm D1
4、2cm,典例精析,注意：运用含30角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形,D,解析：在RtABC中，CD是斜边AB上的高，ADC90，ACDB30.在RtACD中，AC2AD6cm，在RtABC中，AB2AC12cm.AB的长度是12cm.故选D.,例2 如图，AOPBOP15，PCOA交OB于C，PDOA于D，若PC3，则PD等于( ) A3 B2 C.1.5 D1,解析：如图，过点P作PEOB于E，PCOA，AOPCPO，PCEBOPCPOBOPAOPAOB30.又PC3，PE1.5.AOPBOP，PDOA，PDPE1.5.故选C.,E,C,方法总结：含30角的直角三角
5、形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30角的直角三角形,例3 如图，在ABC中，C90，AD是BAC的平分线，过点D作DEAB.DE恰好是ADB的平分线CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由,解：,理由如下：DEAB， AEDBED90.,DE是ADB的平分线， ADEBDE.,又DEDE， AEDBED(ASA)，,在RtACD中，CAD30，,ADBD，DAEB.,BADCAD BAC，,BADCADB.,BADCADB90，,BBADCAD30.,CD AD BD，即CD DB.,方法总结：含30角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题
6、中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质,想一想： 图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？,例4 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，A =30，立柱BC、DE 要多长？,解：DEAC,BC AC, A=30 ，,BC= AB, DE= AD.,BC= AB= 7.4=3.7(m).,又AD= AB,DE= AD= 3.7=1.85 (m).,答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.,例5 已知:等腰三角形的底角为15 ,腰长为20.求腰上的高.,A,C,B,D,15 ,15
7、 ,20,解:过C作CDBA,交BA的延长线于点D.,B=ACB=15 (已知), DAC= B+ ACB= 15+15=30，,),),CD= AC= 20=10.,方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30角的直角三角形来解决本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30角，利用含30角的直角三角形的性质解决问题.,当堂练习,1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30角，这棵树在折断前的高度为( ) A6米 B9米 C12米 D15米,2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的ABC空地上种植草皮以美化环境，已知A150，这种草皮每平方
8、米售价a元，则购买这种草皮至少需要( ) A300a元 B150a元 C450a元 D225a元,B,B,4.在ABC中,A: B: C=1:2:3,若AB=10,则BC = .,5,5.如图，RtABC中，A= 30，AB+BC=12cm，则AB=_.,8,3.如图，在ABC 中，ACB =90，CD 是高，A =30，AB =4则BD = .,1,第3题图,第5题图,6.在ABC中，C=90，B=15，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长,解：连接AE， DE是AB的垂直平分线， BE=AE， EAB=B=15， AEC=EAB+B=30 C=90，,AC= AE= BE=2.5
9、,7.在 ABC中 ，AB=AC，BAC=120 ，D是BC的中点，DEAB于E点，求证：BE=3EA.,证明：AB=AC，BAC=120， B=C=30. D是BC的中点，ADBC ADC=90，BAD=DAC=60. AB=2AD. DEAB，AED=90， ADE=30，AD=2AE. AB=4AE，BE=3AE.,8.如图，已知ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQAD于点Q,求证:BP=2PQ.,拓展提升,ADCBEA.,证明：ABC为等边三角形，, AC=BC=AB ,C=BAC=60，,CD=AE，,CAD=ABE. BAP+CAD=60，ABE+BAP=60. BPQ=60. 又 BQAD，,BP=2PQ.,PBQ=30，,BQP=90，,课堂小结,内容,在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半,使用要点,含30角的直角三角形的性质,找准30 的角所对的直角边，点明斜边,注意,前提条件：直角三角形中,