1、13.3.2 等边三角形,第十三章 轴对称,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 等边三角形的性质与判定,八年级数学上（RJ）,1探索等边三角形的性质和判定（重点） 2能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明（难点）,小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？,问题引入,导入新课,等腰三角形,等边三角形,一般三角形,在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形.,等边对等角,三线合一,等角对等边,两边相等,两腰相等,轴对称图形,A,B,C
2、,有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,讲授新课,类比探究,问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？,等腰三角形,AB=AC,B=C,等边三角形,AB=AC=BC,AB=AC,B=C,AC=BC,A=B,A=B=C,=60,结论： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于60.,已知：AB=AC=BC ， 求证：A= B=C= 60.,证明： AB=AC.B=C .(等边对等角)同理 A=C .A=B=C. A+B+C=180, A= B= C=60 .,问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？,结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一
3、”.,顶角的平分线、底边的高 底边的中线 三线合一,一条对称轴,三条对称轴,每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合,三个角都相等，,对称轴（3条）,等边三角形,对称轴（1条）,两个底角相等,底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合,且都是60,两条边相等,三条边都相等,知识要点,例1 如图，ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若ABE40，BEDE，求CED的度数,解：ABC是等边三角形， ABCACB60. ABE40， EBCABCABE604020. BEDE， DEBC20， CEDACBD40.,典例精析,方法总结：等边三角形是特殊的三
4、角形，它的三个内角都是60，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质.,变式训练：,如图，ABC是等边三角形，BD平分ABC，延长BC到E，使得CE=CD求证：BD=DE,证明：ABC是等边三角形，BD是角平分线， ABC=ACB=60，DBC=30 又CE=CD， CDE=CED 又BCD=CDE+CED， CDE=CED=30 DBC=DEC DB=DE（等角对等边）,例2 ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BMCN，BN与AM相交于Q点，BQM等于多少度？,解：ABC为正三角形， ABCCBAC60，AB
5、BC. 又BMCN， AMBBNC(SAS)， BAMCBN， BQMABQBAMABQCBNABC60.,方法总结：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.,类比探究,三个角都相等的三角形是等边三角形,等边三角形,从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形,从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形,三条边都相等的三角形是等边三角形,小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60的三角形也是等边三角形”，你同意吗？,等边三角形的判定方法：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.,辩一辩：根据条件判断下
6、列三角形是否为等边三角形.,（1）,（2）,（6）,（5）,不 是,是,是,是,是,（4）,（3）,不一定 是,例3 如图,在等边三角形ABC中，DEBC, 求证：ADE是等边三角形.,典例精析,证明：, ABC是等边三角形，, A= B= C., DE/BC, ADE= B, AED= C., A= ADE= AED., ADE是等边三角形.,想一想：本题还有其他证法吗？,证明： ABC 是等边三角形， A =ABC =ACB =60 DEBC， ABC =ADE， ACB =AED. A =ADE =AED. ADE 是等边三角形.,变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE
7、BC，结论还成立吗？,变式2 若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上， 且DEBC，结论依然成立吗？,证明： ABC 是等边三角形， BAC =B =C =60 DEBC， B =D，C =E EAD =D =E ADE 是等边三角形,变式3：上题中,若将条件DEBC改为AD=AE, ADE还是等边三角形吗?试说明理由.,证明：, ABC是等边三角形，, A= B= C., AD=AE, ADE= B, AED= C., A= ADE= AED., ADE是等边三角形.,例4 等边ABC中，点P在ABC内，点Q在ABC外，且ABPACQ，BPCQ，问APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论
8、,解：APQ为等边三角形 证明如下：ABC为等边三角形， ABAC. BPCQ，ABPACQ， ABPACQ(SAS)， APAQ，BAPCAQ. BACBAPPAC60， PAQCAQPAC60， APQ是等边三角形,方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60.,针对训练： 如图，等边ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF 求证：DEF是等边三角形,证明：ABC为等边三角形，且AD=BE=CF AF=BD=CE，A=B=C=60， ADFBEDCFE（SAS）
9、， DF=ED=EF， DEF是等边三角形,当堂练习,2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DEBC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ）,A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个,D,1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（ ） A105 B120 C135 D150,B,3.在等边ABC中，BD平分ABC，BD=BF，则CDF的度数是（ ） A10 B15 C20 D25,4.如图,ABC和ADE都是等边三角形，已知ABC的周长为18cm,EC =2cm,则ADE的周长是 cm.,12,B,5.如图，在ABC中，ACB=90，CAB=30，以AB为边在ABC外作等边AB
10、D，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F求证：AEFBEC,证明：ABD是等边三角形， DAB=60， CAB=30，ACB=90， EBC=180-90-30=60， FAE=EBC E为AB的中点， AE=BE 又 AEFBEC， AEFBEC（ASA）,6.如图，A、O、D三点共线，OAB和OCD是两个全等的等边三角形，求AEB的大小.,解：,OAB和OCD是两个全等的等边三角形.,AO=BO,CO=DO, AOB=COD=60., A、O、D三点共线，, DOB=COA=120，, COA DOB(SAS)., DBO=CAO.,设OB与EA相交于点F, EFB=AFO，, AEB
11、=AOB=60.,F,7.图、图中，点C为线段AB上一点，ACM与CBN都是等边三角形 (1)如图，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由； (2)如图，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究CEF的形状，并证明你的结论,拓展提升：,解：(1)ANBM. 理由：ACM与CBN都是等边三角形， ACMC，CNCB，ACMBCN60. ACNMCB. ACNMCB(SAS) ANBM.,图,(2)CEF是等边三角形 证明：ACEFCM=60， ECF=60. ACNMCB， CAECMB. ACMC， ACEMCF(ASA)， CECF. CEF是等边三角形,图,课堂小结,等边 三角形,定义,底=腰,性质,边,三边相等,角,三个角都等于60 ,轴对称性,轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质,判定,三边法,三角法,等腰三角形法,