1、12.3 角的平分线的性质,第十二章 全等三角形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 角平分线的判定,八年级数学上（RJ）,1.理解角平分线判定定理.(难点） 2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.（重点） 3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.,导入新课,复习回顾,O,D,P,P到OA的距离,P到OB的距离,角平分线上的点,几何语言描述：, OC平分AOB，且PDOA， PEOB., PD= PE.,A,C,B,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,1.叙述角平分线的性质定理,不必再证全等,E,2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边
2、的距离相等的点是否在角的平分线上呢？,到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.,讲授新课,角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上,问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？,角平分线的性质：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等., OC平分AOB，且PDOA， PEOB PD= PE,几何语言：,猜想:,思考：这个结论正确吗？,已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在AOB的角平分线上.,证明：,作射线OP，,点P在AOB 角的平分线上.,在RtPDO和RtPEO 中，,（全等三角形的对应角相等）.,OP=OP（公共
3、边），,PD= PE（已知 ），,PDOA,PEOB.,PDO=PEO=90，,RtPDORtPEO（ HL）.,AOP=BOP,证明猜想,判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.,应用所具备的条件：,定理的作用：判断点是否在角平分线上.,应用格式：, PDOA,PEOB，PD=PE.,点P 在AOB的平分线上.,知识总结,典例精析,例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为120000）？,D,C,S,解：作夹角的角平分线OC，,截取OD=2.5cm ,D即为所求.,O,方法点拨：根据角平分
4、线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.,活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？,发现：三角形的三条角平分线相交于一点,活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？,发现：过交点作三角形三边的垂线段相等,你能证明这个结论吗？,已知：如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.,证明结论,证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.,BM是ABC的角平分线， 点P在BM上， PD=PE.同理
5、PE=PF. PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.,D,E,F,想一想：点P在A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？,点P在A的平分线上.,结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.,D,E,F,E,O,变式1：如图，在直角ABC中，C90，AP平分BAC，BD平分ABC;AP,BD交于点O，过点O作OMAC,若OM4, (1)求点O到ABC三边的距离和.,温馨提示：不存在垂线段构造应用,12,解：连接OC,变式1：如图，在直角ABC中，C900，AP平分BAC，BD平分ABC;AP,BD交于点O，过点O作OMAC,若OM4. (2)
6、若ABC的周长为32，求ABC的面积.,1.应用角平分线性质：,存在角平分线,涉及距离问题,2.联系角平分线性质：,距离,面积,周长,条件,知识与方法,例2 如图，在ABC中，点O是ABC内一点，且点O到ABC三边的距离相等若A40，则BOC的度数为( ),A110 B120 C130 D140,A,解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是内心，即三条角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有CBOABO ABC， BCOACO ACB， ABCACB18040140， OBCOCB70， BOC18070110.,由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用
7、三角形内角和定理即可求出BOC的度数,方法总结,归纳总结,角的平分线的性质,OP平分AOB,PDOA于D,PEOB于E,PD=PE,OP平分AOB,PD=PE,PDOA于D,PEOB于E,角的平分线的判定,当堂练习,1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.,小区C,A,O,B,M,N,2. 如图所示，已知ABC中，PEAB交BC于点E，PFAC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分BAC，并说明理由,解：AD平分BAC理由如下： D到PE的
8、距离与到PF的距离相等， 点D在EPF的平分线上 12 又PEAB，13 同理，24 34，AD平分BAC,P,3.已知：如图，OD平分POQ，在OP、OQ边上取OAOB，点C在OD上，CMAD于M，CNBD于N.求证：CMCN.,证明：OD平分线POQ， AOD=BOD. 在AOD与BOD中， OA=OB，AOD=BOD，OD=OD， AODBOD. ADO=BDO. CMAD，CNBD， CM=CN.,4.如图，已知CBD和BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在DAE的平分线上,证明：,过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M.,点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBC.,FGFM.,又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBC，,FMFH，,FGFH.,点F在DAE的平分线上.,G,H,M,A,B,C,F,E,D,拓展思维,5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.,P1,P2,P3,P4,l1,l2,l3,课堂小结,角平分线 的判定定理,内容,角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上,作用,判断一个点是否在角的平分线上,结论,三角形的角平分线相交于内部一点,