1、12.3 角的平分线的性质,第十二章 全等三角形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 角平分线的性质,八年级数学上（RJ）,1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.（难点） 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点）,挑战第一关 情境引入,问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？,导入新课,用量角器度量，也可用折纸的方法,问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？,提炼图形,问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC= DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线A
2、E,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?,其依据是SSS，两全等三角形的 对应角相等.,挑战第二关 探索新知,问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？,做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.,提示： (1)已知什么？求作什么？ (2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？ (4)你能说明为什么OC是AOB的平分线吗？,A,B,O,已知:AOB.,求作：AOB的平分线.,仔细观察步骤,作角平分线是最基本的尺规作
3、图,大家一定要掌握噢!,作法： （1）以点O为圆心，适当 长为半径画弧，交OA于 点M，交OB于点N. （2）分别以点MN为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求.,已知：平角AOB. 求作：平角AOB的角平分线.,结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.,1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PDOA，PE OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：,2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：_,C,O,B,A,PD=PE,实验：OC是AOB的平分线，点P是
4、射线OC上的任意一点,猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,验证猜想,已知：如图， AOC= BOC,点P在OC上，PDOA,PEOB, 垂足分别为D,E. 求证：PD=PE.,证明：, PDOA,PEOB，, PDO= PEO=90 .,在PDO和PEO中，,PDO= PEO，,AOC= BOC，,OP= OP，, PDO PEO(AAS).,PD=PE.,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即,1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途
5、径，写出证明过程.,方法归纳,性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,应用所具备的条件：,定理的作用：,证明线段相等.,应用格式：,OP 是AOB的平分线，,PD = PE,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.,PDOA,PEOB，,判一判：（1） 如下左图，AD平分BAC（已知），, = ，( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等,BD CD,(2) 如上右图， DCAC，DBAB （已知）., = , ( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等,BD CD,例1：已知：如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DEAB, DFAC.垂足分别
6、为E,F. 求证：EB=FC.,证明： AD是BAC的角平分线， DEAB, DFAC，, DE=DF, DEB=DFC=90 .,在RtBDE 和 RtCDF中，, RtBDE RtCDF(HL)., EB=FC.,典例精析,例2:如图，AM是BAC的平分线，点P在AM上，PDAB，PEAC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=_cm.,4,温馨提示：存在两条垂线段直接应用,典例精析,变式：如 图，在RtABC中，AC=BC,C90，AP平分BAC交BC于点P，若PC4, AB=14. （1）则点P到AB的距离为_.,4,温馨提示：存在一条垂线段构造应用,变式：如图，在Rt ABC中，A
7、C=BC,C900，AP平分BAC交BC于点P，若PC4，AB=14. （2）求APB的面积.,（3）求PDB的周长.,ABPD=28.,由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，,1.应用角平分线性质：,存在角平分线,涉及距离问题,2.联系角平分线性质：,面积,周长,条件,知识与方法,利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解,当堂练习,2.ABC中, C=90,AD平分CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .,3,E,1. 如图，DEAB，DFBG，垂足分别是E，F， DE =DF， EDB= 60，则 EBF= 度， BE= .,60,BF,3.用尺规作图作一个已知角的
8、平分线的示意图如图所示，则能说明AOC=BOC的依据是（ ） A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等,A,4.如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，SABC7，DE2，AB4，则AC的长是( ),A6 B5 C4 D3,D,B,C,E,A,D,解析：过点D作DFAC于F，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFDE2，解得AC3.,F,方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法,6,8,10,5.在RtABC中，BD平分ABC，DEAB于E，则： (1)哪条线段与DE相等？为什么？ (2)若AB
9、10，BC8，AC6，求BE，AE的长和AED的周长.,解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等. （2）在RtCDB和RtEDB中，DC=DE，DB=DB， RtCDBRtEDB(HL)， BEBC=8. AEAB-BE=2.AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.,6.如图，已知ADBC，P是BAD与 ABC的平分线的交点，PEAB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.,解：过点P作MNAD于点M，交BC于点N. ADBC， MNBC，MN的长即为AD与BC之间 的距离. AP平分BAD, PMAD , PEAB， PM= PE. 同理， PN= PE. PM= PN= PE=3. MN=6.即AD与BC之间的距离为6.,7.如图所示，D是ACG的平分线上的一点DEAC，DFCG，垂足分别为E，F.求证：CECF.,证明：CD是ACG的平分线，DEAC，DFCG， DEDF. 在RtCDE和RtCDF中，RtCDERtCDF(HL)， CECF.,课堂小结,角平分线,尺规作图,属于基本作图，必须熟练掌握,性质定理,一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等,辅助线 添加,过角平分线上一点向两边作垂线段,