1、2018-2019学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.1（3分）已知，则的值为（）ABCD2（3分）如图，点A，B，P是O上的三点，若AOB40，则APB的度数为（）A80B140C20D503（3分）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（）A任意两个矩形B两个边长不等的正五边形C任意两个平行四边形D两个等腰三角形4（3分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是，则黄球的个数为（）
2、A16B12C8D45（3分）将二次函数y5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）Ay5（x+2）2+3By5（x2）2+3Cy5（x+2）23Dy5（x2）236（3分）如图，正方形OABC的边长为8，点P在AB上，CP交OB于点Q若SBPQ，则OQ长为（）A6BCD7（3分）一元二次方程x2+bx+c0有一个根为x3，则二次函数y2x2bxc的图象必过点（）A（3，0）B（3，0）C（3，27）D（3，27）8（3分）如图，半径为5的A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是BAC，EAD已知DE6，BAC+EAD180，则弦BC的弦心距等于（）ABC4D
3、39（3分）对于代数式ax2+bx+c（a0，x可取任意实数），下列说法正确的是（）存在实数p、q（pq）有ap2+bp+caq2+bq+c，则ax2+bx+ca（xp）（xq）存在实数m、n、s（m、n、s互不相等），使得am2+bm+can2+bn+cas2+bs+c如果ac0，则一定存在两个实数mn，使am2+bm+c0an2+bn+c如果ac0，则一定存在两个实数mn，使am2+bm+c0an2+bn+cABCD10（3分）在数学拓展课折叠矩形纸片上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：把ABF翻折，点B落在C边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上；把ADH翻折，点D落在A
4、E边上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上，若AD6，CD10，则（）ABCD二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案11（4分）抛物线y2x22x与x轴的交点坐标为 12（4分）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使一次拨对的概率小于，则密码的位数至少要设置 位13（4分）把10cm长的线段进行黄金分割后得两条线段，其中较长的线段的长为 cm14（4分）已知ABC内接于半径为2的O，若BC，则A 15（4分）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD
5、边上一点，连结EC、BD交于点F，若AE：ED5：4记DFE的面积为S1，BCF的面积为S2，DCF的面积为S3，则DF：BF ，S1：S2：S3 16（4分）已知抛物线yx23x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是 三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以17（6分）求半径为3的圆的内接正方形的边长18（8分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中只装有3个除标号外完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中只装有3个除标号外完全相同的
6、小球，分别标有数字1，2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，由此确定点M坐标为（x，y）（1）写出点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数yx+1的图象上的概率19（8分）如图，在ABC中，ADBC，AD2BDCD，记ADB的面积为SADB，CDA的面积为SCDA（1）求证：ADBCDA；（2）若SADB：SCDA1：4，求tanB20（10分）已知二次函数yax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x10123y105212（1）当x4时，求y的值；（2）当y10时，求x的取值范围21（10分）如图，已知A
7、BC中，ABBC，AC2，cosA（1）求BC与BC边上高的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值22（12分）已知两个函数：y1ax+4，y2a（x）（x4）（a0）（1）求证：y1，y2的图象均经过点M（0，4）；（2）当a0，2x2时，若yy2y1的最大值为4，求a的值；（3）当a0，x2时，比较函数值y1与y2的大小23（12分）如图所示，在ABC中，ABAC5，O为BC边中点，BC8，点E、G是线段AB上的动点（不与端点重合），点H、F是线段AC上的动点，且EFGHBC设点O到EF、GH的距离分别为x、y（1）若EOF的面积为S：用关于x的代数式表示线段EF的长；求
8、S的最大值；（2）以点O为圆心，当以OE为半径的圆与以OG为半径的圆重合时，求x与y应满足的关系式，并求x的取值范围2018-2019学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.1（3分）已知，则的值为（）ABCD【分析】根据比例的性质解答即可【解答】解：由可设a3x，b2x，把a3x，b2x代入，故选：A【点评】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答2（3分）如图，点A，B，P是O上的三点，若AOB40，则APB的度数为（）A80B1
9、40C20D50【分析】直接利用圆周角定理求解【解答】解：APBAOB4020故选：C【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径3（3分）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（）A任意两个矩形B两个边长不等的正五边形C任意两个平行四边形D两个等腰三角形【分析】根据相似图形的定义，对应角相等且对应边的比相等，对所给图形进行判断【解答】解：A 任意两个矩形，可以判断它们的边的比不相等，但能判断对应的角相等所以不相似；B 两个边长不等的正五边形，能判断对应角相等，也能判断对
10、应边的比相等所以相似；C 任意两个平行四边形，不能判断对应的角相等，也不能判断对应边的比相等所以不相似；D、两个等腰三角形，不能判断对应的角相等，也不能判断对应边的比相等所以不相似故选：B【点评】本题考查的是相似图形，利用相似图形的定义：对应角相等且对应边的比相等进行判断4（3分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是，则黄球的个数为（）A16B12C8D4【分析】首先设黄球的个数为x个，根据题意，利用概率公式即可得方程：，解此方程即可求得答案【解答】解：设黄球的个数为x个，根据题意得：，解得：x4故选：D【点评】此题考查
11、了概率公式的应用此题难度不大，注意掌握方程思想的应用，注意概率所求情况数与总情况数之比5（3分）将二次函数y5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）Ay5（x+2）2+3By5（x2）2+3Cy5（x+2）23Dy5（x2）23【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y5x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y5（x2）2；由“上加下减”的原则可知，将二次函数y5（x2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y5（x2）23故选：D【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变
12、换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键6（3分）如图，正方形OABC的边长为8，点P在AB上，CP交OB于点Q若SBPQ，则OQ长为（）A6BCD【分析】根据正方形的性质得到ABOC，推出PBQCOQ，根据相似三角形的性质得到OC3PB，求得PB，于是得到结论【解答】解：四边形ABCO是正方形，ABOC，PBQCOQ，（）2，OC3PB，OC8，PB，BO8，OQ86，故选：B【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型7（3分）一元二次方程x2+bx+c0有一个根为x3，则二次函数y2x2bxc的图
13、象必过点（）A（3，0）B（3，0）C（3，27）D（3，27）【分析】先把x3代入方程x2+bx+c0得3bc9，利用整体代入的方法计算出自变量为3对应的函数值为27，从而可判断抛物线经过点（3，27）【解答】解：把x3代入方程x2+bx+c0得93b+c0，则3bc9，当x3时，y2x2bxc18+3bc18+927，所以二次函数y2x2bxc的图象必过点（3，27）故选：C【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标也考查了二次函数的图象上点的坐标特征8（3分）如图，半径为5
14、的A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是BAC，EAD已知DE6，BAC+EAD180，则弦BC的弦心距等于（）ABC4D3【分析】作AHBC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到DAEBAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DEBF6，由AHBC，根据垂径定理得CHBH，易得AH为CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AHBF3【解答】解：作AHBC于H，作直径CF，连结BF，如图，BAC+EAD180，而BAC+BAF180，DAEBAF，DEBF6，AHBC，CHBH，而CAAF，AH为CBF的中位线，AHBF3故选：D【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或
15、等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了垂径定理和三角形中位线性质9（3分）对于代数式ax2+bx+c（a0，x可取任意实数），下列说法正确的是（）存在实数p、q（pq）有ap2+bp+caq2+bq+c，则ax2+bx+ca（xp）（xq）存在实数m、n、s（m、n、s互不相等），使得am2+bm+can2+bn+cas2+bs+c如果ac0，则一定存在两个实数mn，使am2+bm+c0an2+bn+c如果ac0，则一定存在两个实数mn，使am2+bm+c0an2+bn+cABCD【分析】p，q不一定是以yax2+bx+c为函数与x轴的两个交点，故错误；令yax2+bx+
16、c，根据二次函数的对称性，故错误；若ac0，当a0，c0时，且0，故错误；【解答】解：存在实数p、q（pq）有ap2+bp+caq2+bq+c，但是p，q不一定是以yax2+bx+c为函数与x轴的两个交点，故错误；令yax2+bx+c，根据二次函数的对称性，只存在两个实数m、n、使am2+bm+can2+bn+c；故错误；若ac0，当a0，c0时，且0，不存在两个实数mn，使am2+bm+c0an2+bn+c，故错误；故选：D【点评】本题考查代数式；将问题转化为函数思想求解是本题的解题关键10（3分）在数学拓展课折叠矩形纸片上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：把ABF翻折，点B落
17、在C边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上；把ADH翻折，点D落在AE边上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上，若AD6，CD10，则（）ABCD【分析】利用翻折不变性可得AEAB10，推出DE8，EC2，设BFEFx，在RtEFC中，x222+（6x）2，可得x，设DHGHy，在RtEGH中，y2+42（8y）2，可得y3，由此即可解决问题【解答】解：四边形ABCD是矩形，CD90，ABCD10，ADBC6，由翻折不变性可知：ABAE10，ADAG6，BFEF，DHHG，EG4，在RtADER中，DE8，EC1082，设BFEFx，在RtEFC中有：x222+（6x）2，x，设DHGHy，
18、在RtEGH中，y2+42（8y）2，y3，EH5，故选：A【点评】本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案11（4分）抛物线y2x22x与x轴的交点坐标为（0，0），（1，0）【分析】通过解方程2x22x0得到抛物线与x轴的交点坐标【解答】解：当y0时，2x22x0，解得x10，x21，所以抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（1，0）故答案为（0，0），（1，0）【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数yax
19、2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标12（4分）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使一次拨对的概率小于，则密码的位数至少要设置4位【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可【解答】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为；取两位数时一次就拨对密码的概率为；取三位数时一次就拨对密码的概率为；取四位数时一次就拨对密码的概率为故一次就拨对的概率小于，密码的位数至少需要4位故答案为：4【点评】本题考查了概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且
20、这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）13（4分）把10cm长的线段进行黄金分割后得两条线段，其中较长的线段的长为5（1）cm【分析】如果线段上一点P把线段分割为两条线段PA，PB，当PA2PBAB，即PAAB时，则称点P是线段AB的黄金分割点【解答】解：较长线段的长度10cm5（1）cm故答案为5（1）【点评】此题考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值14（4分）已知ABC内接于半径为2的O，若BC，则A60或120【分析】作直径BD，连接CD，根据圆周角定理得到BCD90，根据正弦的定义求出D，根据圆周角定理解答【解答】解：作直径BD，连接CD，则BCD90
21、，在RtBCD中，sinD，D60，由圆周角定理得，AD60，当点A在劣弧上时，A180D120，故答案为：60或120【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、正弦的定义，掌握圆周角定理、正弦的定义是解题的关键15（4分）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连结EC、BD交于点F，若AE：ED5：4记DFE的面积为S1，BCF的面积为S2，DCF的面积为S3，则DF：BF4：9，S1：S2：S316：81：36【分析】由AE：ED5：4，得到DE：AD4：9，根据平行四边形的性质得到ADBC，ADBC，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：AE：ED5：4，DE：AD4：9
22、，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，DEFBCF，（）2，S1：S2：S316：81：36，故答案为：4：9，16：81：36【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键16（4分）已知抛物线yx23x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是4【分析】把点P（m，n）代入抛物线的解析式，得到nm23m+3，等式两边同加m得m+nm22m+3，得到m+n关于m的二次函数解析式，然后整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答【解答】解：点P（m，n）在抛物线yx23x+3上，nm23m+3，m+nm22m+3（m
23、+1）2+4，当m1时，m+n有最大值4故答案为：4【点评】本题考查了二次函数的最值问题，整理成用m表示m+n的形式是解题的关键三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以17（6分）求半径为3的圆的内接正方形的边长【分析】根据题意首先求出BE的长，即可解决问题【解答】解：如图，四边形ABCD是O的内接正方形，OBE45；而OEBC，BECE；而OB3，sin45，cos45，OE，BE，BC3，故半径为3的圆内接正方形的边长为3【点评】该题主要考查了正多边形和圆，解直角三角形，正方形的性质，
24、正确的理解题意是解题的关键18（8分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中只装有3个除标号外完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中只装有3个除标号外完全相同的小球，分别标有数字1，2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，由此确定点M坐标为（x，y）（1）写出点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数yx+1的图象上的概率【分析】（1）通过列表展示所有9种等可能的结果数；（2）找出满足点（x，y）落在函数yx+1的图象上的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）列表如下：0121（0，1）（1，1）（2，1）2（0，
25、2）（1，2）（2，2）0（0，0）（1，0）（2，0）共有9种等可能的结果数；（2）满足点（x，y）落在函数yx+1的图象上的结果有2个，即（2，1），（ 1，0 ），所以点M（x，y）在函数yx+1的图象上的概率【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率19（8分）如图，在ABC中，ADBC，AD2BDCD，记ADB的面积为SADB，CDA的面积为SCDA（1）求证：ADBCDA；（2）若SADB：SCDA1：4，求tanB【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
26、（2）根据相似三角形的性质得到SADB：SCDA（）21：4，根据三角函数的定义即可得到结论【解答】（1）证明：ADBC，ADBADC90，AD2BDCD，ADBCDA；（2）ADBCDA，SADB：SCDA（）21：4，tanB2【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键20（10分）已知二次函数yax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x10123y105212（1）当x4时，求y的值；（2）当y10时，求x的取值范围【分析】（1）根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x4时，y5；（2）写出y10时的x的值，即可求
27、得y10时的x的取值范围【解答】解：（1）由表可知，二次函数的对称轴为直线x2，所以，x4时，y5；（2）由表可知，二次函数的对称轴为直线x2，x1或5时，y10，所以，y10时，x的取值范围为1x5【点评】本题考查了二次函数与不等式，观察图表得到y10的另一个x的值是解题的关键21（10分）如图，已知ABC中，ABBC，AC2，cosA（1）求BC与BC边上高的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值【分析】（1）作BHAC于H，如图，利用等腰三角形的性质得AHCH1，再利用余弦的定义求出AB5，然后利用勾股定理计算出BH，从而利用面积法可计算出BC边上的高；（2）作DEAC
28、于E，如图，设AEx，利用余弦的定义求出AD5x，利用勾股定理得到DE2x，根据线段垂直平分线的性质得到DCDB55x，CE2x，利用勾股定理得到（2x）2+（2x）2（55x）2，解得x，然后计算出AD、BD，从而可计算出的值【解答】解：（1）作BHAC于H，如图，BABC，AHCH1，在RtABH中，cosA，AB5，BH2；设BC边的高为h，则BChACBH，h即BC与BC边上高的长分别为5，；（2）作DEAC于E，如图，设AEx，在RtADE中，cosA，AD5x，DE2x，DCDB55x，CE2x，在RtCDE中，（2x）2+（2x）2（55x）2，解得x，AD5x，BD55x，【点
29、评】本题考查了解直角三角形：灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义计算直角三角形中未知的边和角也考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质22（12分）已知两个函数：y1ax+4，y2a（x）（x4）（a0）（1）求证：y1，y2的图象均经过点M（0，4）；（2）当a0，2x2时，若yy2y1的最大值为4，求a的值；（3）当a0，x2时，比较函数值y1与y2的大小【分析】（1）代入点M的坐标进行验证便可；（2）根据二次函数的图象与性质进行解答；（3）由（2）的二次函数的性质进行讨论便可【解答】解：（1）证明：当x0时，y10+44，y2a（）（4）4点M（0，4）在y1，y2的图象上，即y1，
30、y2的图象均经过点M（0，4）；（2）y1ax+4，y2a（x）（x4）（a0）yy2y1a（x）（x4）（ax+4），即yax2（5a+1）x，a0，开口向上，2x2时，yy2y1的最大值为4，当x2时，4a+10a+24，解得a，或x2时，4a10a24，解得a1（舍弃），综上所述，满足条件的a的值为（3）由（2）知yy2y1ax2（5a+1）x，当x2时，yy2y14a11a+2a46a2a0，y1y20，y1y2【点评】本题是一个一次函数与二次函数的综合题，考查函数图象上点坐标特征，二次函数的最值，一次函数与二次函数的性质，第（3）题难度较大，要根据二次函数的性质，分情况讨论解决问题2
31、3（12分）如图所示，在ABC中，ABAC5，O为BC边中点，BC8，点E、G是线段AB上的动点（不与端点重合），点H、F是线段AC上的动点，且EFGHBC设点O到EF、GH的距离分别为x、y（1）若EOF的面积为S：用关于x的代数式表示线段EF的长；求S的最大值；（2）以点O为圆心，当以OE为半径的圆与以OG为半径的圆重合时，求x与y应满足的关系式，并求x的取值范围【分析】（1）连接OA，判断出AO是ABC的高，AM是AEF的高，再利用相似三角形的对应边上的高的比等于相似比，即可得出结论；利用三角形面积公式得出S与x的函数关系式，即可得出结论；（2）先判断出DEDG，再用三角函数表示出BE，
32、BD，BG，即可得出结论【解答】解：（1）如图1，连接OA，交EF于M，ABAC，O为BC边中点，OABC，EFBC，AMEF，BC8，OBBC4，在RtAOB中，根据勾股定理得，OA3，点O到EF的距离为为x，OMx，AMOAOM3x，EFBC，AEFABC，EF（2x）；由知，EF（3x），SSOEF（3x）x（x23x）（x）2+3，0，当x时，S最大3；（2）如图2，以OE为半径的圆与以OG为半径的圆重合，OEOG，过点O作ODAB于D，DEDG，连接OA，由（1）知，OABC，OA3，在RtAOB中，sinB，cosA，过点E作EPBC于P，PEx，在RtBPE中，sinB，BEx，过点G作DQBC于Q，GQy，在RtBQG中，BGy，DEEG（BGBE）（yx），在RtBDO中，BDOBcosB4，DEBDBEx，（yx）x，yx+（）点E、G是线段AB上的动点（不与端点重合），0y3（），由（）（）得，xx0，0x即：yx+（0x）【点评】此题是圆的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，正确作出辅助线是解本题的关键