1、第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布专题10.02排列与组合【考试要求】1、理解排列、组合的概念；2、能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.【知识梳理】1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个不同元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)An(n1)(n2)(nm1).(2)C(n，mN*，且mn).
2、特别地C1性质(1)0！1；An！. (2)CC；CCC【微点提醒】1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.()(3)若组合式CC，则xm成立.()(4)(n1)！n！nn！.()(5)kCnC.()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【解析】(1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，
3、故(1)错；(2)一个组合中取出的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故(2)错；(3)若CC，则xm或nm，故(3)错.【教材衍化】2.(选修23P18例3改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同每人各1本，则不同的送法种数是()A.12 B.24 C.64 D.81【答案】B【解析】4本不同的课外读物选3本分给3位同每人一本，则不同的分配方法种数为A24.3.(选修23P26知识改编)计算CCCC的值为_(用数字作答).【答案】210【解析】原式CCCCCCC210.【考题体验】4.(2019济宁质检)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A.144 B.1
4、20 C.72 D.24【答案】D【解析】“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A43224.5.(一题多解)(2018全国卷)从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字作答).【答案】16【解析】法一可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有CC12种；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有CC4种.根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有12416种.法二从6人中任选3人，不同的选法有C20种，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C4种，所以至少有1位女生入选的
5、不同的选法有20416种.6.(2018浙江卷)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数(用数字作答).【答案】1 260【解析】若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为CCA；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为CCCA.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为CCACCCA7205401 260.【考点聚焦】考点一排列问题【例1】 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，女生必须站在一起；(4)
6、全体排成一排，男生互不相邻；(5)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；(6)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.【答案】见解析【解析】(1)从7人中选5人排列，有A765432 520(种).(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有AA5 040(种).(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有AA576(种).(4)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有AA1 440(种).(5)法一(特殊元素
7、优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5A3 600(种).法二(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA3 600(种).(6)法一(特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有A种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A种，其余人全排列，只有A种不同排法，共有AAAA3 720.法二(间接法)7名学生全排列，只有A种方法，其中甲在最左边时，有A种方法，乙在最右边时，有A种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A种方法，故共有A2AA3 720(
8、种).【规律方法】排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.【训练1】 (2019天津和平区二模)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为()A.120 B.240 C.360 D.480【答案】C【解析】第一步，从甲、乙、丙三
9、人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步乘法计数原理有3456360种方法.考点二组合问题【例2】 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？【答案】见解析【解析】(1)从余下
10、的34种商品中，选取2种有C561(种)，某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者CCC5 984(种).某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC2 100(种).恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方式CCC2 1004552 555(种).至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)选取3种的总数为C，选取3种假货有C种，因此共有选取方式CC6 5454556 090(种).至多有2种假货在内的不同的取法有6 0
11、90种.【规律方法】组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.【训练2】 (1)(一题多解)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为()A.14 B.24 C.28 D.48(2)(2019杭州二模)
12、若从1，2，3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A.60种 B.63种 C.65种 D.66种【答案】(1)A(2)D【解析】(1)法一4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为CCCC241614.法二从4男2女中选4人共有C种选法，4名都是男生的选法有C种，故至少有1名女生的选派方案种数为CC15114.(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有CCCC66(种).考点三分组、分配问题【例3】 (1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范
13、大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有_种不同的分派方法.(2)(2019西安月考)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有()A.80种 B.90种 C.120种 D.150种(3)A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌上开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有()A.24种 B.30种 C.48种 D.60种【答案】(1)90(2)D(3)C【解析】(1)先把6个毕业生平
14、均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有A90种分派方法.(2)分两类：一类，第一步将5名老师按2，2，1分成3组，其分法有种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有A90种分派方法；另一类，第一步将5名老师按3，1，1分成3组，其分法有种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有A60种分派方法.所以不同的分派方法的种数为9060150(种).(3)B，C二人必须坐相邻的两把椅子，有4种情况，B，C可以交换位置，有A2种情况；其余三人坐剩余的三把椅子，有A6种情况，故共有42648种情况.【规律方法】1.对于整体均分问题，往往是先分组再
15、排列，在解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数.2.对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.3.对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类讨论.在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题.【训练3】 (1)(2017全国卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A.12种 B.18种 C.24种 D.36种(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张
16、，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答).【答案】(1)D(2)60【解析】(1)先把4项工作分为2，1，1共3组，有6种分法，再将3组对应3个志愿者，有A6种情况，由分步乘法计数原理，故安排方式有6636种.(2)分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为CCA36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A24，则获奖情况总共有362460(种).【反思与感悟】1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特
17、殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.2.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.【易错防范】1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关.如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合.2.解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含
18、义.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A.8 B.24 C.48 D.120【答案】C【解析】末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA48(种).2.不等式A6A的解集为()A.2，8 B.2，6 C.7，12 D.8【答案】D【解析】6，x219x840，解得7x12.又x8，x20，7x8，xN*，即x8.3.从6本不同的书中选出4本，分别发给4个同已知其中两本书不能发给甲同则不同分配方法有()A.180种 B.220种 C.240种 D.260种【答案】C【解析】因为其中两本书不能发给甲同
19、所以甲只能从剩下的4本中分一本，然后再选3本分给3个同故有AA240种.4.(一题多解)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()A.18 B.24 C.30 D.36【答案】C【解析】法一选出的3人中有2名男同名女同学的方法有CC18种，选出的3人中有1名男同名女同学的方法有CC12种，故3名学生中男女生都有的选法有CCCC30种.法二从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即CCC30.5.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是()A.9 B.10 C
20、.18 D.20【答案】C【解析】由于lg alg blg (a0，b0)，lg 有多少个不同的值，只需看不同值的个数.从1，3，5，7，9中任取两个作为有A种，又与相同，与相同，lg alg b的不同值的个数有A218.6.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为()A.CA B.CA C.CA D.CA【答案】C【解析】首先从后排的7人中抽2人，有C种方法；再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有A种.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是CA.7.(2019济南模拟)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾
21、，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有()A.34种 B.48种 C.96种 D.144种【答案】C【解析】特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C种选法，乙、丙相邻，有4种情况，乙、丙可以交换位置，有A种情况，其余3人站剩余的3个位置，有A种情况，由分步乘法计数原理知共有4CAA96种.8.福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有()A.90种 B.180种 C.270种 D.360种【答案】B【解析】根据题意，分3步进行分析：在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有C6种情况；在剩下的
22、5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C5种情况；将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后安排到剩下的2个展区，有A6种情况，则一共有656180种不同的安排方案.二、填空题9.从6名同学中选派4人分别参加数物理、化生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有_种(用数字作答).【答案】240【解析】特殊位置优先考虑，既然甲、乙都不能参加生物竞赛，则从另外4个人中选择一人参加，有C种方案；然后从剩下的5个人中选择3个人参加剩下，有A种方案.故共有CA460240种方案.10.已知，则m_.【答案】2【解析】由组合数公式化简整理得m223m420解得m2或m21(舍去).1
23、1.在一展览会上，要展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该次展出这5件作品不同的摆放方案共有_种(用数字作答).【答案】24【解析】将2件必须相邻的书法作品看作一个整体，同1件建筑设计展品全排列，再将2件不能相邻的绘画作品插空，故共有AAA24种不同的展出方案.12.(2019烟台模拟)某班主任准备请2019届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰隔一人，那么不同的发言顺序共有_种(用数字作答).【答案】
24、1 080【解析】若甲、乙同时参加，有CCCAA120种，若甲、乙有一人参与，有CCA960种，从而总共的发言顺序有1 080种.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A社区， 乙不去B社区，则不同的安排方法种数为()A.8 B.7 C.6 D.5【答案】B【解析】根据题意，分2种情况：乙和甲一起去A社区，此时将丙丁二人安排到B，C社区即可，有A2种情况，乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙丁都去B社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B社区，则先在丙丁中选出1人，安排到
25、B社区，剩下1人安排到A或C社区，有224种情况，则不同的安排方法种数有2147.14.(2019天津和平区一模)把8个相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则不同的放法种数为()A.35 B.70 C.165 D.1 860【答案】C【解析】根据题意，分4种情况讨论：没有空盒，将8个相同的小球排成一列， 排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选3个，插入隔板，将小球分成4组，顺次对应4个盒子，有C35种放法；有1个空盒，在4个盒中任选3个，放入小球，有C4种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选2个，插入隔板，将小球分成3组，顺次对应
26、3个盒子，有C21种分组方法，则有42184种放法；有2个空盒，在4个盒中任选2个，放入小球，有C6种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选1个，插入隔板，将小球分成2组，顺次对应2个盒子，有C7种分组方法，则有6742种方法；有3个空盒，即将8个小球全部放进1个盒子，有4种放法.故一共有3584424165种放法.15.(2019江西八所重点中学模拟)摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为_(用数字作答).【答案】20【解析】从5人中任选3人有C种，将3人位置全部进行调整，有CCC种
27、.故有NCCCC20种调整方案.16.设集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0，1，i1，2，3，4，5，那么集合A中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素有_个(用数字作答).【答案】130【解析】因为xi1，0，1，i1，2，3，4，5，且1|x1|x2|x3|x4|x5|3，所以xi中至少两个为0，至多四个为0.xi(i1，2，3，4，5)中4个0，1个为1或1，A有2C10个元素；xi中3个0，2个为1或1，A有C2240个元素；xi中2个0，3个为1或1，A有C22280个元素；从而，集合A中共有104080130个元素.【新高考创新预测】17.(多填题)
28、将甲、乙等5位同学分别保送到北京大上海交通大浙江大学三所大学就读，每所大学至少保送一人.(1)有_种不同的保送方法；(2)若甲不能被保送到北大，有_种不同的保送方法.【答案】(1)150(2)100【解析】(1)5名学生可分成2，2，1和3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有CCA90种方法；当5名学生分成3，1，1时，共有CA60种方法.根据分类加法计数原理知共有9060150种保送方法.(2)先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2，2，1或3，1，1，所以有25(种)分组方法.因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有254100(种).12