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专题10.1 两个基本计数原理 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)

1、第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布专题10.01两个基本计数原理【考试要求】了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.【知识梳理】1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有Nmn种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有Nmn种不同的方法.3.分类加法和分步乘法计数原理,区别在于:分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤

2、相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.【微点提醒】分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础,并贯穿其始终.1.分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类,并且只属于其中一类.2.分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,步与步之间“相互独立,分步完成”.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.()(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.()(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.()(4)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一

3、个单独的步骤都能完成这件事.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】分类加法计数原理,每类方案中的方法都是不同的,每一种方法都能完成这件事;分步乘法计数原理,每步的方法都是不同的,每步的方法只能完成这一步,不能完成这件事,所以(1),(4)均不正确.【教材衍化】2.(选修23P28B2改编)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有()A.24种 B.30种C.36种 D.48种【答案】D【解析】需要先给C块着色,有4种结果;再给A块着色,有3种结果;再给B块着色,有2种结果;最后给D块着色,有2种结果,由分步乘法计数原理知共

4、有432248(种).3.(选修23P5例3改编)书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.从书架中任取1本书,则不同取法的种数为_.【答案】9【解析】从书架上任取1本书,有三类方法:第1类方法是从第1层取1本计算机书,有4种方法;第2类方法是从第2层取1本文艺书,有3种方法;第3类方法是从第3层取1本体育书,有2种方法.根据分类加法计数原理,不同取法的种数是Nm1m2m34329.【真题体验】4.(2016全国卷)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

5、()A.24 B.18 C.12 D.9【答案】B【解析】分两步,第一步,从EF,有6条可以选择的最短路径;第二步,从FG,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6318条可以选择的最短路径.故选B.5.(2019杭州模拟)教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有()A.10种 B.25种 C.52种 D.24种【答案】D【解析】每相邻的两层之间各有2种走法,共分4步.由分步乘法计数原理,共有24种不同的走法.6.(2019菏泽六校联考)椭圆1的焦点在x轴上,且m1,2,3,4,5,n1,2,3,4,5,6,7,则这样的椭圆的个数为_.【答案】10【解析】因为焦点在

6、x轴上,mn,以m的值为标准分类,分为四类:第一类:m5时,使mn,n有4种选择;第二类:m4时,使mn,n有3种选择;第三类:m3时,使mn,n有2种选择;第四类:m2时,使mn,n有1种选择.由分类加法计数原理,符合条件的椭圆共有10个.【考点聚焦】考点一分类加法计数原理的应用【例1】 (1)从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地,共有_种不同的方法.(2)满足a,b1,0,1,2,且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a,b)的个数为_.【答案】(1)12(2)13【解析】(1)分三类:一类是乘汽车有8种方法;一类是乘火车有2种

7、方法;一类是乘飞机有2种方法,由分类加法计数原理知,共有82212(种)方法.(2)当a0时,b的值可以是1,0,1,2,故(a,b)的个数为4;当a0时,要使方程ax22xb0有实数解,需使44ab0,即ab1.若a1,则b的值可以是1,0,1,2,(a,b)的个数为4;若a1,则b的值可以是1,0,1,(a,b)的个数为3;若a2,则b的值可以是1,0,(a,b)的个数为2.由分类加法计数原理可知,(a,b)的个数为443213.【规律方法】分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在,应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.(2)分类时应注意完成这件

8、事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法,不能重复.(3)分类时除了不能交叉重复外,还不能有遗漏,如本例(2)中易漏a0这一类.【训练1】 (1)从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会,则不同的选法种数为()A.6 B.5C.3 D.2(2)从集合1,2,3,10中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为()A.3 B.4 C.6 D.8【答案】(1)B(2)D【解析】(1)5个人中每一个都可主持,所以共有5种选法.(2)以1为首项的等比数列为1,2,4;1,3,9;以2为首项的等比数列为2,4,8;以4为首项的等比数列为4

9、,6,9;把这4个数列的顺序颠倒,又得到另外的4个数列,所求的数列共有2(211)8(个).考点二分步乘法计数原理的应用【例2】 (1)用0,1,2,3,4,5可组成无重复数字的三位数的个数为_.(2)五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则不同的报名方法的种数为_.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列),则获得冠军的可能性有_种.【答案】(1)100(2)4554【解析】(1)可分三步给百、十、个位放数字,第一步:百位数字有5种放法;第二步:十位数字有5种放法;第三步:个位数字有4种放法,根据分步乘法计数原理,三位数的个数为554100.(2)五名学生参加四项体育比赛,每人限报一项,

10、可逐个学生落实,每个学生有4种报名方法,共有45种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军,可对4个冠军逐一落实,每个冠军有5种获得的可能性,共有54种获得冠军的可能性.【规律方法】1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.2.分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成.【训练2】 已知a1,2,3,b4,5,6,7,则方程(xa)2(yb)24可表示不同的圆的个数为()A.7 B.9 C.12 D.16【答案】C【解析】得到圆

11、的方程分两步:第一步:确定a有3种选法;第二步:确定b有4种选法,由分步乘法计数原理知,共有3412(个).考点三两个计数原理的综合应用【例3】 (1)(2017天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有_个(用数字作答).(2)如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A.48 B.18 C.24 D.36【答案】(1)1 080(2)D【解析】(1)当不含偶数时,有A120(个),当含有一个偶数时,有C

12、CA960(个),所以这样的四位数共有1 080个.(2)在正方体中,每一个表面有四条棱与之垂直,六个表面,共构成24个“正交线面对”;而正方体的六个对角面中,每个对角面有两条面对角线与之垂直,共构成12个“正交线面对”,所以共有36个“正交线面对”.【规律方法】1.在综合应用两个原理解决问题时应注意:(1)一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.(2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题,可恰当地列出示意图或列出表格,使问题形象化、直观化.2.解决涂色问题,可按颜色的种数分类,也可按不同的区域分步完成.【训练3】 (1)(2019衡水调研)用0,1,9十个数字,可以组成有重复数

13、字的三位数的个数为()A.243 B.252 C.261 D.279(2)(一题多解)(2019青岛质检)如图所示,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有()A.72种 B.48种C.24种 D.12种(3)如图所示,在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有_个(用数字作答).【答案】(1)B(2)A(3)40【解析】(1)0,1,2,9共能组成91010900(个)三位数,其中无重复数字的三位数有998648(个),有重复数字的三位数有900648252(个).(2)法一首先涂A有4种涂法,则涂B有3种涂法,C与A,

14、B相邻,则C有2种涂法,D只与C相邻,则D有3种涂法,所以共有432372种涂法.法二按要求涂色至少需要3种颜色,故分两类:一是4种颜色都用,这时A有4种涂法,B有3种涂法,C有2种涂法,D有1种涂法,共有432124(种)涂法;二是用3种颜色,这时A,B,C的涂法有43224(种),D只要不与C同色即可,故D有2种涂法,所以不同的涂法共有2424272(种).(3)把与正八边形有公共边的三角形分为两类:第一类,有一条公共边的三角形共有8432(个).第二类,有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知,共有32840(个).【反思与感悟】1.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.

15、在处理具体的应用问题时,首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情,可以避免计数的重复或遗漏.2.(1)分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.(2)分步要做到“步骤完整”,完成了所有步骤,恰好完成任务,当然步与步之间要相互独立,分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数.3.混合问题一般是先分类再分步.4.要恰当画出示意图或树状图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律.【易错防范】1.切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类还是需要分步进行.2.分类的关键在于

16、要做到“不重不漏”,分步的关键在于要正确设计分步的程序,即合理分类,准确分步.3.确定题目中是否有特殊条件限制.【分层训练】【础巩固题组】(建议用时:35分钟)一、选择题1.从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a,b组成复数abi,其中虚数的个数是()A.30 B.42 C.36 D.35【答案】C【解析】因为abi为虚数,所以b0,即b有6种取法,a有6种取法,由分步乘法计数原理知可以组成6636个虚数.2.已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为()A.40 B.16 C.13 D.10【答案】C【解析】分两类情况讨论:第1类,直

17、线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面;第2类,直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知,共可以确定8513个不同的平面.3.(2019济南调研)有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则不同的监考方法有()A.8种 B.9种 C.10种 D.11种【答案】B【解析】设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班分别为a,b,c,d,假设A监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同方法,同理A监考c,d时,也分别有3种不同方法,由分类加法计数原理,共有3339(种)不同的监考方法.4.(2019宁波质检)

18、将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色,要求共端点的棱不能涂相同颜色,则不同的涂色方案有()A.1种 B.3种 C.6种 D.9种【答案】C【解析】因为只有三种颜色,又要涂六条棱,所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色,故有3216(种)涂色方案.5.某电话局的电话号码为139,若前六位固定,最后五位数字是由6或8组成的,则这样的电话号码的个数为()A.20 B.25 C.32 D.60【答案】C【解析】依据题意知,后五位数字由6或8组成,可分5步完成,每一步有2种方法,根据分步乘法计数原理,符合题意的电话号码的个数为2532.6.集合Px,1,Qy,1,2,其中x,y1,2,3,

19、9,且PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是()A.9 B.14 C.15 D.21【答案】B【解析】当x2时,xy,点的个数为177.当x2时,由PQ,xy.x可从3,4,5,6,7,8,9中取,有7种方法.因此满足条件的点共有7714(个).7.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,则不同的安排方案共有()A.12种 B.10种 C.9种 D.8种【答案】A【解析】第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共有C2(种)选派方法;第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,有C6

20、(种)选派方法;由分步乘法计数原理可知,不同的选派方案共有2612(种).8.从集合1,2,3,4,10中,选出5个数组成子集,使得这5个数中任意两个数的和都不等于11,则这样的子集有()A.32个 B.34个 C.36个 D.38个【答案】A【解析】将和等于11的放在一组:1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个,有C2种,共有2222232(个).二、填空题9.某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时间里,火车有4趟,轮船有3次,问此人的走法可有_种.【答案】7【解析】因为某人从甲地到乙地,乘火车的走法有4种,坐轮船的走法有3种,每一种方法都能从甲地

21、到乙地,根据分类加法计数原理,可得此人的走法可有437(种).10.乘积(a1a2a3)(b1b2b3b4)(c1c2c3c4c5)展开后的项数为_.【答案】60【解析】从第一个括号中选一个字母有3种方法,从第二个括号中选一个字母有4种方法,第三个括号中选一个字母有5种方法,故根据分步乘法计数原理可知共有N34560(项).11.在编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中放入两个不同的小球,每个盒子中最多放入一个小球,且不能在两个编号连续的盒子中同时放入小球,则不同的放小球的方法有_种.【答案】20【解析】设两个不同的小球为A,B,当A放入1号盒或者6号盒时,B有4种不同的放法;当A放入2,3

22、,4,5号盒时,B有3种不同的放法,一共有423420种不同的放法.12.三边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数是_.【答案】36【解析】另两边长用x,y(x,yN*)表示,且不妨设1xy11,要构成三角形,必须xy12.当y取11时,x可取1,2,3,11,有11个三角形;当y取10时,x可取2,3,10,有9个三角形;当y取6时,x只能取6,只有1个三角形.所以所求三角形的个数为119753136.【能力提升题组】(建议用时:15分钟)13.如图,图案共分9个区域,有6种不同颜色的涂料可供涂色,每个区域只能涂一种颜色的涂料,其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色,且相

23、邻区域的颜色不相同,则涂色方法有()A.360种 B.720种C.780种 D.840种【答案】B【解析】由题意知2,3,4,5的颜色都不相同,先涂1,有6种方法,再涂2,3,4,5,有A种方法,故一共有6A720种.14.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”),则首位为2的“六合数”共有()A.18个 B.15个 C.12个 D.9个【答案】B【解析】依题意,这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数分别为400,040,004;由3,1,0组成6个数分别为310,301,130,103,013,031;由2,2,0组成3个数分别为2

24、20,202,022;由2,1,1组成3个数分别为211,121,112.共计363315(个).15.从1,2,3,4,7,9六个数中,任取两个数作为对数的底数和真数,则所有不同对数值的个数为_.【答案】17【解析】当所取两个数中含有1时,1只能作真数,对数值为0,当所取两个数不含有1时,可得到A20(个)对数,但log23log49,log32log94,log24log39,log42log93.综上可知,共有201417(个)不同的对数值.16.已知集合M1,2,3,4,集合A,B为集合M的非空子集,若对xA,yB,xy恒成立,则称(A,B)为集合M的一个“子集对”,则集合M的“子集对

25、”共有_个.【答案】17【解析】A1时,B有231种情况;A2时,B有221种情况;A3时,B有1种情况;A1,2时,B有221种情况;A1,3,2,3,1,2,3时,B均有1种情况,故满足题意的“子集对”共有7313317个.【新高考创新预测】17.(试题创新)工人在安装一个正六边形零件时,需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧,但不能连续固定相邻的2个螺栓,则不同的固定螺栓方式的种数是_.【答案】60【解析】第一步在六个螺栓中随机选择一个固定,有6种不同的选法,不妨以选择位置1的螺栓为例,第二步,选择一个与1不相邻的位置的螺栓固定,此时有两类:位置4或位置3,5,当选择位置4时,第三个固定的螺栓位置可以为2,6中的一个,第四个固定的螺栓的位置相应有两种情况,此时第五个固定和第六个固定的位置相应确定;当选择位置3,5时,不妨以位置3为例,此时第三个固定的螺栓的位置可以为5,6中的一个,若第三个固定的位置为5,则第四个固定的位置只有2一种选择,第五个固定的位置有两种选择,第六个固定的位置相应确定,若第三个固定的位置为6,则第四个固定的位置只能为4,第五个固定的位置只能为2,第六个固定的位置相应确定.综上所述,不同的固定螺栓方式的种数为6222(21)60.11