1、第八篇 平面解析几何专题8.06直线与椭圆的位置关系【考点聚焦突破】考点一中点弦及弦长问题角度1中点弦问题【例11】 已知椭圆y21，(1)过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；(2)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程.【规律方法】弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.角度2弦长问题【例12】 (2019北京朝阳区模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C
2、的标准方程；(2)是否存在斜率为1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.【规律方法】1.解决直线与椭圆相交的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.2.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| (k为直线斜率).【训练1】 (1)(一题多解)已知斜率为2的直线经过椭圆1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为_.(2)(一题多解)(2019广东五校调研)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y3x7
3、与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1考点二最值与范围问题【例2】 (2019天津和平区质检)已知P点坐标为(0，2)，点A，B分别为椭圆E：1(ab0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，ABP是等腰直角三角形，且.(1)求椭圆E的方程；(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.【规律方法】最值与范围问题的解题思路1.构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解.2.构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解.在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大
4、于零等.【易错警示】(1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况.(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.【训练2】 已知P(x0，y0)是椭圆C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0【例3】 人教A版教材选修21第62页习题2.3 B组第4题：已知双曲线x21，过点P(1，1)能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？类型4求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求【例4】 (2017全国卷改编)已知F为抛物线C：y22x的焦点，过F作两条
5、互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为_.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(基础题供选用)直线yx2与椭圆1有两个公共点，则m的取值范围是()A.(1，) B.(1，3)(3，)C.(3，) D.(0，3)(3，)2.设直线ykx与椭圆1相交于A，B两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于()A. B. C. D.23.(2019长春二检)椭圆4x29y2144内有一点P(3，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为()A. B. C. D.4.(2019青岛调研)
6、已知椭圆C：1(ab0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则ABF()A.60 B.90 C.120 D.1505.斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A.2 B. C. D.二、填空题6.已知椭圆1(ab0)的右顶点为A(1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为_.7.(2019河南八校联考)已知椭圆C：1(ab0)的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，若|PQ|a，APPQ，则椭圆C的离心率为_.8.已知椭圆的方程是x22y240，则以M(1，1)为中点的弦所在直线方程是_.三、解答
7、题9.(2017北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：BDE与BDN的面积之比为45.10.(2019上海静安区模拟)已知A，B分别为椭圆C：1(ab0)在x轴正半轴、y轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为，且|AB|.(1)求椭圆C的离心率；(2)直线l：ykxm与圆x2y22相切，并与椭圆C交于M，N两点，若|MN|，求k的值.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019北京东城区调研)已知圆M：(x2
8、)2y21经过椭圆C：1(m3)的一个焦点，圆M与椭圆C的公共点为A，B，点P为圆M上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为()A.25 B.24C.411 D.41012.(2019广州调研)在平面直角坐标系xOy中，直线xy20与椭圆C：1(ab0)相切，且椭圆C的右焦点F(c，0)关于直线l：yx的对称点E在椭圆C上，则OEF的面积为()A. B. C.1 D.213.已知直线l：ykx2过椭圆1(ab0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2y24截得的弦长为L，若L，则椭圆离心率e的取值范围是_.14.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)过点P(2，1)，且离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求PAB的面积的最大值.【新高考创新预测】15.(思维创新)椭圆1(ab0)，直线l1：yx，直线l2：yx，P为椭圆上任意一点，过P作PMl1且与直线l2交于点M，作PNl2且与l1交于点N，若|PM|2|PN|2为定值，则椭圆的离心率为_.14