1、第七篇 立体几何与空间向量专题7.04直线、平面垂直的判定及性质【考试要求】1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.【知识梳理】1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面内的任意直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行ab2.直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的
2、锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0的角.(2)范围：.3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：0，.4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面
3、互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l【微点提醒】1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另
4、一个平面.()(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.() 【教材衍化】2.(必修2P66练习改编)已知直线a，b和平面，且ab，a，则b与的位置关系为()A.b B.bC.b或b D.b与相交3.(必修2P67练习2改编)已知P为ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，有下列结论：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正确的是()A. B.C. D.【真题体验】4.(2019上海静安区质检)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是()A.且m B.mn且nC.mn且n D.mn且5.(2017全国卷)在正方体ABCDA1
5、B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A.A1EDC1 B.A1EBDC.A1EBC1 D.A1EAC6.(2018安阳二模)已知a，b表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，下列说法错误的是()A.若a，b，则abB.若a，b，ab，则C.若a，ab，则bD.若a，ab，则b或b【考点聚焦】考点一线面垂直的判定与性质【例1】 (2018全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点.(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离.【规律方法】1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传
6、递性(ab，ab)；(3)面面平行的性质(a，a)；(4)面面垂直的性质(，a，la，ll).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【训练1】 (2019青岛调研)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB侧面BB1C1C，ABBC1，BB12，BCC160.(1)求证：BC1平面ABC；(2)E是棱CC1上的一点，若三棱锥EABC的体积为，求线段CE的长.考点二面面垂直的判定与性质【例2】 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是C
7、D和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.【规律方法】1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练2】 (2018泸州模拟)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是梯形，ABDC，ABC90，ADSD，BCCDAB，侧面SAD底面ABCD.(1)求证：平面SBD平面SAD；(2)若SDA120，且三棱锥SBCD的体积为，求侧面 SAB的面积.考点三平行与垂直的综合问题角度1多面体中平行
8、与垂直关系的证明【例31】 (2018北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点.(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD；(3)求证：EF平面PCD.【规律方法】1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.角度2平行与垂直关系中的探索性问题【例32】 如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱锥PABC的体积；(2)在线段PC上是否存在点M，使得A
9、CBM，若存在点M，求出的值；若不存在，请说明理由.【规律方法】1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.角度3空间位置关系与几何体的度量计算【例33】 如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值
10、.【规律方法】1.本题证明的关键是垂直与平行的转化，如由ADBC，ADPD，得PDBC，进而利用线面垂直的判定定理证明PD平面PBC.2.利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程，缺一不可.(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有：定义法；垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.【训练3】 如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF2F
11、B，CG2GB.(1)证明：PEFG.(2)求二面角PADC的正切值.(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.【反思与感悟】1.证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；(2)判定定理1：l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面垂直的性质：，l，a，ala；2.证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.3.转化思想：三种垂直关系之间的转化【易错防范】1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.3.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交
12、线而盲目套用造成失误.4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.【核心素养提升】【直观想象、逻辑推理】立体几何中的动态问题1.直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.2.立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等.3.一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹(理科还可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程).【例1】 在正方体ABCDA1B1C1D
13、1中，点M、N分别是直线CD、AB上的动点，点P是A1C1D内的动点(不包括边界)，记直线D1P与MN所成角为，若的最小值为，则点P的轨迹是()A.圆的一部分 B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分 D.双曲线的一部分【例2】 (2018石家庄一模)如图，四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，PA平面ABCD，且PA4，M是PB上的一个动点(不与P，B重合)，过点M作平面平面PAD，截棱锥所得图形的面积为y，若平面与平面PAD之间的距离为x，则函数yf(x)的图象是()【例3】 如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E、F分别为直线AB、CD上的动点，且|EF|.若记EF中点P的轨迹为L，则|
14、L|等于_(注：|L|表示L的测度，在本题，L为曲线、平面图形、空间几何体时，|L|分别对应长度、面积、体积).【例4】 已知ABCD平面ADEF，ABAD，CDAD，且AB1，ADCD2，ADEF是正方形，在正方形ADEF内部有一点M，满足MB，MC与平面ADEF所成的角相等，则点M的轨迹长度为()A. B. C. D.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则()A.ml B.mn C.nl D.mn2.已知m，n是空间中两条不同的直线，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是()A.若m，则mB.若m，
15、n，则mnC.若m，m，则mD.若m，nm，则n3.(2019泉州模拟)在下列四个正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是()4.(2019济南一模)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若，m，n，则mnB.若m，mn，n，则C.若mn，m，n，则D.若，m，n，则mn5.(2018赣州模拟)如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，且BC1AC，过C1作C1H底面ABC，垂足为H，则点H在()A.直线AC上 B.直线AB上C.直线BC上 D.ABC内部
16、二、填空题6.如图，已知BAC90，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_；与AP垂直的直线有_.7.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).8.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为_.三、解答题9. (2019石家庄摸底)如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，ABDC，PEDC，ADDC，PD平面ABCD，ABPDDA2PE，CD3P
17、E，F是CE的中点.(1)求证：BF平面ADP；(2)已知O是BD的中点，求证：BD平面AOF.10.如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求证：DC平面PAC；(2)求证：平面PAB平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019唐山一模)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有()A.AG平面EFH B.AH平面E
18、FHC.HF平面AEF D.HG平面AEF12.如图，在矩形ABCD中，AB，BC1，将ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于()A.2 B.3 C.4 D.513.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1平面C1DF，则线段B1F的长为_.14.如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BDDC，点E是BC边的中点，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图所示的几何体.(1)求证：AB平面ADC；(2)若AD1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B到平面ADE的距离.【新高考创新预测】15.(多选题)在三棱锥PABC中，已知PA底面ABC，ABBC，E，F分别是线段PB，PC上的动点，则下列说法正确的是()A.当AEPB时，AEF一定为直角三角形B.当AFPC时，AEF一定为直角三角形C.当EF平面ABC时，AEF一定为直角三角形D.当PC平面AEF时，AEF一定为直角三角形21