1、第八篇 平面解析几何专题8.10 圆锥曲线的定点、定值、开放问题【考点聚焦突破】考点一定点问题【例1】 (2019咸阳二模)已知A(2，0)，B(2，0)，点C是动点，且直线AC和直线BC的斜率之积为.(1)求动点C的轨迹方程；(2)(一题多解)设直线l与(1)中轨迹相切于点P，与直线x4相交于点Q，判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点.【规律方法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【训练1】 已知抛物线C的顶点在
2、原点，焦点在坐标轴上，点A(1，2)为抛物线C上一点.(1)求抛物线C的方程；(2)若点B(1，2)在抛物线C上，过点B作抛物线C的两条弦BP与BQ，如kBPkBQ2，求证：直线PQ过定点.考点二定值问题【例2】 (2019河北省“五个一”名校联盟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y21，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m，n，mn0.(1)求证：k1k2；(2)试探求OPQ的面积S是否为定值，并说明理由.【规律方法】圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两大解法：从
3、特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；引起变量法：其解题流程为【训练2】 (2019青岛调研)已知直线l过抛物线C：x22py(p0)的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l与抛物线两交点间的距离为2.(1)求抛物线C的方程；(2)若点P(2，2)，过点(2，4)的直线m与抛物线C相交于A，B两点，设直线PA与PB的斜率分别为k1和k2.求证：k1k2为定值，并求出此定值.考点三开放问题【例3】 (2019福州四校联考)已知椭圆C：1(ab0)的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，PF1F2内切圆的半径为，设过点F2的直线l与被椭圆C截得的线段为RS，当lx轴时，|RS|3.(1)求
4、椭圆C的标准方程；(2)在x轴上是否存在一点T，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.【规律方法】此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.【训练3】 (2019上海静安区检测)已知动点P到定点F(1，0)和到直线x2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：ymxn与曲线E交于C，D两点，与AB相交于一点(交点位于线段AB上
5、，且与A，B不重合).(1)求曲线E的方程；(2)当直线l与圆x2y21相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由.【反思与感悟】1.有关弦的三个问题(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；(2)涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解.2.求解与弦有关问题的两种方法(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x或y)成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系.(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲
6、线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式是否为正数.【易错防范】1.求范围问题要注意变量自身的范围.2.利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系.注意特殊关系、特殊位置的应用.3.解决定值、定点问题，不要忘记特值法.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019石家庄模拟)已知P为双曲线C：1上的点，点M满足|1，
7、且0，则当|取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为()A. B. C.4 D.52.已知双曲线1(a0，b0)的离心率e2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，则k1k2的值为()A.2 B.3 C. D.3.直线l与抛物线C：y22x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2，则直线l过定点()A.(3，0) B.(0，3)C.(3，0) D.(0，3)4.(2019北京通州区模拟)设点Q是直线l：x1上任意一点，过点Q作抛物线C：y24x的两条切线QS，QT，切点分别为S，T，设切线Q
8、S，QT的斜率分别为k1，k2，F是抛物线的焦点，直线QF的斜率为k0，则下列结论正确的是()A.k1k2k0 B.k1k22k0C.k1k22k0 D.k1k22k05.(2019长春监测)已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2y21的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点F1作F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|()A.1 B.2 C.4 D.二、填空题6.已知动点P(x，y)在椭圆1上，若A点坐标为(3，0)，|1，且0，则|的最小值是_.7.若双曲线x21(b0)的一条渐近线与圆x2(y2)21至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_.8.(2019湘中名校联
9、考)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，ABC的顶点都在抛物线上，且满足0，则_.三、解答题9.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线xy10与抛物线相交于A，B两点，且|AB|.(1)求抛物线的方程；(2)在x轴上是否存在一点C，使ABC为正三角形？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由.10.(2019江西九校联考)已知椭圆C：1过A(2，0)，B(0，1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019衡
10、水中学周测)设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上不同的三点，0，O为坐标原点，且OFA，OFB，OFC的面积分别为S1，S2，S3，则SSS等于()A.2 B.3 C.6 D.912.(2019郑州调研)已知直线l与双曲线y21相切于点P，l与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，则的值为()A.3 B.4C.5 D.与P的位置有关13.若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则的最小值为_.14.已知椭圆C：1(ab0)的一个焦点与上、下顶点两两相连构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线xy20相切.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A，B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由.12