1、第七篇 立体几何与空间向量专题7.07利用空间向量求夹角和距离(距离供选用)【考点聚焦突破】考点一用空间向量求异面直线所成的角【例1】 (1)(一题多解)(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. B. C. D.(2)(一题多解)(2019河北、山西、河南三省联考)在三棱锥PABC中，ABC和PBC均为等边三角形，且二面角PBCA的大小为120，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为()A. B. C. D.【答案】(1)C(2)A【解析】(1)法一以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.图(
2、1)则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).又在ABC中，ABC120，AB2，则A(1，0).所以(1，1)，(1，0，1)，则cos，因此，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.法二将直三棱柱ABCA1B1C1补形成直四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图(2)，连接AD1，B1D1，则AD1BC1.图(2)则B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角(或其补角)，易求得AB1，BC1AD1，B1D1.由余弦定理得cosB1AD1.(2)法一取BC的中点O，连接OP，OA，因为ABC和PBC均为等边三角形，所以AOBC，POBC，所以POA就是二面角PBCA的平面角，即
3、POA120，过点B作AC的平行线交AO的延长线于点D，连接PD，则PBD或其补角就是异面直线PB和AC所成的角.设ABa，则PBBDa，POPDa，所以cos PBD.法二如图，取BC的中点O，连接OP，OA，因为ABC和PBC均为等边三角形，所以AOBC，POBC，所以BC平面PAO，即平面PAO平面ABC.且POA就是其二面角PBCA的平面角，即POA120，建立空间直角坐标系如图所示.设AB2，则A(，0，0)，C(0，1，0)，B(0，1，0)，P，所以(，1，0)，cos ，所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为.法三如图所示，取BC的中点O，连接OP，OA，因为ABC和PBC是全
4、等的等边三角形，所以AOBC，POBC，所以POA就是二面角的平面角，设AB2，则，故()()，所以cos ，.即异面直线PB与AC所成角的余弦值为.【规律方法】1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cosv1，v2|求解.2.两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是0，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.【训练1】 (一题多解)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB，E，F分别为BC，BB1的
5、中点，M，N分别为AA1，A1C1的中点，则直线MN与EF所成角的余弦值为()A. B. C. D.【答案】C【解析】法一如图，在原三棱柱的上方，再放一个完全一样的三棱柱，连接AC1，CB1，C1B，易得MNAC1，EFCB1C1B，那么AC1B或AC1B的补角即直线MN与EF所成的角.设AA1ABa，则AC1C1Ba，连接AB，则AB3a，由余弦定理得cos AC1B.故直线MN与EF所成角的余弦值为.法二如图，连接AC1，C1B，CB1，设C1B，CB1交于点O，取AB的中点D，连接CD，OD，则MNAC1OD，EFCB1，那么DOC或其补角即直线MN与EF所成的角.设AA1ABa，则AC
6、1CB1a，于是ODOC，又CD，于是OCD为正三角形，故DOC60，cos DOC，即直线MN与EF所成角的余弦值为.法三取AB的中点O，连接CO，则COAB，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，过点O且平行于CC1的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AB2，则AA12，求得M(1，0，)，N，E，F(1，0，)，所以，cos ，.考点二用空间向量求线面角【例2】 (2018全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点.(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值.
7、【答案】见解析【解析】(1)证明因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.连接OB，因为ABBCAC，所以AB2BC2AC2，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB.由OPOB，OPAC且OBACO，知PO平面ABC.(2)解如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，(0，2，2).取平面PAC的一个法向量(2，0，0).设M(a，2a，0)(0AD.设PC与DE所成角为，PD与平面ABC所成角为，二面角PBCA为，则()A. B.C. D.【答案】A【解析】由题图可知PCA，PDAAD，故tan tan ，则.过点A作AQBC，垂足为Q，连接PQ，则PQA，同理可证得，所以，故选A.29