1、第六篇 平面向量与复数专题6.04复数【考试要求】1.通过方程的解，认识复数；2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义；3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.【知识梳理】1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如abi(aR，bR)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b若b0，则abi为实数；若a0且b0，则abi为纯虚数复数相等abicdiac且bd(a，b，c，dR)共轭复数abi与cdi共轭ac且bd(a，b，c，dR)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚
2、数，各象限内的点都表示虚数复数的模设对应的复数为zabi，则向量的长度叫做复数zabi的模|z|abi|2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR).(2)复数zabi(a，bR)平面向量.3.复数的运算设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则(1)加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(2)减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(3)乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；(4)除法：
3、(cdi0).【微点提醒】1.i的乘方具有周期性in(kZ).2.复数的模与共轭复数的关系z|z|2|2.3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等abicdi列方程时，注意a，b，c，dR的前提条件.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(3)原点是实轴与虚轴的交点.()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小.【教材衍化】2
4、.(选修22P106A2改编)若复数(a23a2)(a1)i是纯虚数，则实数a的值为()A.1 B.2 C.1或2 D.1【答案】B【解析】依题意，有解得a2，故选B.3.(选修22P116A1改编)复数的共轭复数是()A.2i B.2i C.34i D.34i【答案】C【解析】(2i)234i，所以其共轭复数是34i.【真题体验】4.(2017全国卷)()A.12i B.12i C.2i D.2i【答案】D【解析】2i.5.(2018北京卷)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】i，其共轭复数为i，复数的共轭复数对应的
5、点的坐标为，位于第四象限，故选D.6.(2019青岛一模)已知复数z1i(i是虚数单位)，则_.【答案】1【解析】z1i，则z22i，1.【考点聚焦】考点一复数的相关概念【例1】 (1)(2019上海崇明区质检)已知z，则复数z的虚部为()A.i B.2 C.2i D.2(2)已知在复平面内，复数z对应的点是Z(1，2)，则复数z的共轭复数()A.2i B.2iC.12i D.12i(3)(2019大连一模)若复数z为纯虚数，则实数a的值为()A.1 B.0 C. D.1【答案】(1)D(2)D(3)D【解析】(1)z12i，则复数z的虚部为2.故选D.(2)复数z对应的点是Z(1，2)，z1
6、2i，复数z的共轭复数12i，故选D.(3)设zbi，bR且b0，则bi，得到1iabbi，1ab，且1b，解得a1，故选D.【规律方法】1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.2.解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部.【训练1】 (1)已知复数z满足：(2i)z1i，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为()A.i B.iC.i D.i(2)(2019株洲二模)设i为虚数单位，1i，则实数a()A.2 B.1 C.0 D.1【答案】(1)B(2)C【解析】(1)由
7、(2i)z1i，得zi，i.故选B.(2)1i，2ai(1i)(1i)2，解得a0.故选C.考点二复数的几何意义【例2】 (1)已知i是虚数单位，设复数z11i，z212i，则在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)(2019北京新高考调研考试)在复平面内，复数z对应的点与对应的点关于实轴对称，则z()A.1i B.1iC.1i D.1i【答案】(1)D(2)D【解析】(1)由题可得，i，对应在复平面上的点的坐标为，在第四象限.(2)复数z对应的点与1i对应的点关于实轴对称，z1i.故选D.【规律方法】1.复数zabi(a，bR) Z(a，b) (a，
8、b).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.【训练2】 (1)设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)如图，若向量对应的复数为z，则z表示的复数为()A.13i B.3iC.3i D.3i【答案】(1)D(2)D【解析】(1)i，则复数z对应的点为，在第四象限，故选D.(2)由题图可得Z(1，1)，即z1i，所以z1i1i1i1i22i3i.故选D.考点三复数的运算【例3】 (1)(2018全国卷)(1i)(2i)()A.3i B
9、.3iC.3i D.3i(2)(2018全国卷)设z2i，则|z|()A.0 B. C.1 D.(3)设复数z12i，则()A.2i B.2i C.2 D.2(4)_.【答案】(1)D(2)C(3)C(4)1i【解析】(1)(1i)(2i)2i2ii23i.故选D.(2)z2i2i2ii，|z|i|1.故选C.(3)2.故选C.(4)原式i61i.【规律方法】复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注
10、意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR)的形式，再结合复数的几何意义解答.【训练3】 (1)(2018全国卷)i(23i)()A.32i B.32iC.32i D.32i(2)已知i为虚数单位，则()A. B. C. D.(3)设z1i(i是虚数单位)，则z2()A.13i B.13iC.13i D.13i【答案】(1)D(2)D(3)C【解析】(1)i(23i)2i3i232i，故选D.(2).(3)因
11、为z1i，所以z2(1i)212ii22i，1i，则z22i(1i)13i.故选C.【反思与感悟】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.复数zabi(a，bR)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数zabi(a，bR)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.【易错防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.注意复数的虚部是指在abi(a，bR)中的实数b，即虚部是一个实数.【分层训练】【基
12、础巩固题组】(建议用时：30分钟)一、选择题1.已知复数(12i)iabi，aR，bR，则ab()A.3 B.1 C.1 D.3【答案】B【解析】因为(12i)i2i，所以a2，b1，则ab1，选B.2.(2018浙江卷)复数(i为虚数单位)的共轭复数是()A.1i B.1iC.1i D.1i【答案】B【解析】因为1i，所以复数的共轭复数为1i.故选B.3.设复数z满足|1i|i(i为虚数单位)，则复数z()A.i B.iC.1 D.12i【答案】A【解析】复数z满足|1i|ii，则复数zi，故选A.4.下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1i)2 B.i2(1i)C.(1i)2 D.i
13、(1i)【答案】C【解析】i(1i)2i2i2，不是纯虚数，排除A；i2(1i)(1i)1i，不是纯虚数，排除B；(1i)22i，2i是纯虚数.故选C.5.设zi(i为虚数单位)，则|z|()A. B. C. D.2【答案】B【解析】因为ziiii，所以|z|.6.若a为实数，且为实数，则a()A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】因为是一个实数，所以2a10，a.故选B.7.(2019豫南九校质量考评)已知复数xyi(a，x，yR，i是虚数单位)，则x2y()A.1 B. C. D.1【答案】A【解析】由题意得ai(xyi)(2i)2xy(x2y)i，x2y1，故选A.8.(2019福
14、建省普通高中质量检查)若复数z满足(1i)z|i|，则在复平面内，对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由题意，得z1i，所以1i，其在复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限，故选A.二、填空题9.(2018天津卷)i是虚数单位，复数_.【答案】4i【解析】4i.10.复数z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_.【答案】5【解析】(12i)(3i)35i2i255i，所以z的实部为5.11.(2019西安八校联考)若(a，bR)与(2i)2互为共轭复数，则ab_.【答案】7【解析】bai，(2i)244i134i，(a，bR)
15、与(2i)2互为共轭复数，b3，a4，则ab7，故答案为7.12.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为12i，若点A关于直线yx的对称点为B，则向量对应的复数为_.【答案】2i【解析】因为A(1，2)关于直线yx的对称点B(2，1)，所以向量对应的复数为2i.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2019烟台检测)设a，bR，a(i是虚数单位)，则b()A.2 B.1 C.1 D.2【答案】A【解析】因为a，aR，所以0b2，故选A.14.设xR，i是虚数单位，则“x2”是“复数z(x24)(x2)i为纯虚数”的()A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由复数z(x24)(x2)i为纯虚数，得解得x2，所以“x2”是“复数z(x24)(x2)i为纯虚数”的充要条件，故选B.15.计算()A.2i B.0 C.2i D.2【答案】B【解析】i，i，(i4)504i3(i)4504(i)3ii0.16.(2019湖南三湘名校联考)已知i为虚数单位，复数z，则以下为真命题的是()A.z的共轭复数为B.z的虚部为C.|z|3D.z在复平面内对应的点在第一象限【答案】D【解析】z，z的共轭复数为，z的虚部为，|z|，z在复平面内对应的点为，在第一象限，故选D.11