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专题8.7双曲线及其几何性质 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)解析版

1、第八篇 平面解析几何专题8.07双曲线及其几何性质【考试要求】了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).【知识梳理】1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|2c0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式:集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a,c为常数且a0,c0:(1)若ac时,则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0,b0)1(a0,b0)图形性质范围xa或xa,yRxR,ya或ya对称

2、性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)渐近线yxyx离心率e,e(1,)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长度|A1A2|2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长度|B1B2|2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2a2b2【微点提醒】1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.2.离心率e.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)平面内到

3、点F1(0,4),F2(0,4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()(3)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)双曲线(m0,n0,0)的渐近线方程是0.()(5)若双曲线1(a0,b0)与1(a0,b0)的离心率分别是e1,e2,则1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【解析】(1)因为|MF1|MF2|8|F1F2|,表示的轨迹为两条射线.(2)由双曲线的定义知,应为双曲线的一支,而非双曲线的全部.(3)当m0,n0时表示焦点在x轴上的双曲线,而m0,n0时则表示焦点在y轴上的双曲线.【教材衍化】2.(选修21P62A6改编)经过

4、点A(3,1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_.【答案】1【解析】设双曲线方程为:x2y2(0),把点A(3,1)代入,得8,故所求双曲线方程为1.3.(选修21P61A1改编)已知双曲线x21上一点P到它的一个焦点的距离等于4,那么点P到另一个焦点的距离等于_.【答案】6【解析】设双曲线的焦点为F1,F2,|PF1|4,则|PF1|PF2|2,故|PF2|6或2,又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为ca1,故|PF2|6.【真题体验】4.(2018浙江卷)双曲线y21的焦点坐标是()A.(,0),(,0) B.(2,0),(2,0)C.(0,),(0,) D.(0,2),(0,2)

5、【答案】B【解析】由题可知双曲线的焦点在x轴上,又c2a2b2314,所以c2,故焦点坐标为(2,0),(2,0).5.(2017全国卷)双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx,则a_.【答案】5【解析】由题意可得,所以a5.6.(2018北京卷)若双曲线1(a0)的离心率为,则a_.【答案】4【解析】由题意可得,即a216,又a0,所以a4.【考点聚焦】考点一双曲线的定义及应用【例1】 (1)已知F1,F2为双曲线C:x2y22的左、右焦点,点P在C上,|PF1|2|PF2|,则cos F1PF2()A. B. C. D.(2)(2019济南调研)已知圆C1:(x3)2y21和圆C2:(x3

6、)2y29,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为_.【答案】(1)C(2)x21(x1)【解析】(1)由x2y22,知ab,c2.由双曲线定义知,|PF1|PF2|2a2,又|PF1|2|PF2|,|PF1|4,|PF2|2,在PF1F2中,|F1F2|2c4,由余弦定理,得cos F1PF2.(2)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件,得|MC1|AC1|MA|,|MC2|BC2|MB|,因为|MA|MB|,所以|MC1|AC1|MC2|BC2|,即|MC2|MC1|BC2|AC1|2,所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于|

7、C1C2|6.又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a1,c3,则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1).【规律方法】1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;2.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1|PF2|2a,运用平方的方法,建立与|PF1|,|PF2|的联系.【训练1】 (1)已知双曲线C:1(a0,b0)的离心率为2,左、右焦点分别为F1,F2,点A在双曲线C上,若AF1F2的周长为10a,则AF1F2的面积为()A.2a2 B.a2C.30a2 D.15a2(2

8、)(2019杭州质检)双曲线C的渐近线方程为yx,一个焦点为F(0,),点A(,0),点P为双曲线第一象限内的点,则当点P的位置变化时,PAF周长的最小值为()A.8 B.10 C.43 D.33【答案】(1)B(2)B【解析】(1)由双曲线的对称性不妨设A在双曲线的右支上,由e2,得c2a,AF1F2的周长为|AF1|AF2|F1F2|AF1|AF2|4a,又AF1F2的周长为10a,|AF1|AF2|6a,又|AF1|AF2|2a,|AF1|4a,|AF2|2a,在AF1F2中,|F1F2|4a,cos F1AF2.又0F1AF0,b0)的一条渐近线方程为yx,且与椭圆1有公共焦点,则C的

9、方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)(2018天津卷)已知双曲线1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1d26,则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1【答案】(1)B(2)C【解析】(1)由题设知,又由椭圆1与双曲线有公共焦点,易知a2b2c29,由解得a2,b,则双曲线C的方程为1.(2)由d1d26,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b3.因为双曲线1(a0,b0)的离心率为2,所以2,所以4,所以4,解得a23,所以双曲线的方程为1.【规律方法】1.利用待定系数法求

10、双曲线标准方程的关键是:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出关于参数a,b,c的方程并求出a,b,c的值.2.与双曲线1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为(0).【训练2】 (1)(2019海南二模)已知双曲线C:1(a0,b0)过点(,),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是()A.y21 B.1C.x21 D.1(2)已知双曲线的渐近线方程为2x3y0,且双曲线经过点P(,2),则双曲线的方程为_.【答案】(1)C(2)1【解析】(1)由双曲线C:1(a0,b0)过点(,),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,可得解得双曲线C的

11、标准方程是x21.(2)由双曲线的渐近线方程为yx,可设双曲线方程为(0).因为双曲线过点P(,2),所以,故所求双曲线方程为1.考点三双曲线的性质角度1求双曲线的渐近线【例31】 (一题多解)(2018全国卷)双曲线1(a0,b0)的离心率为,则其渐近线方程为()A.yx B.yxC.yx D.yx【答案】A【解析】法一由题意知,e,所以ca,所以ba,即,所以该双曲线的渐近线方程为yxx.法二由e,得,所以该双曲线的渐近线方程为yxx.角度2求双曲线的离心率【例32】 (1)(2018全国卷)设F1,F2是双曲线C:1(a0,b0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,

12、垂足为P.若|PF1|OP|,则C的离心率为()A. B.2 C. D.(2)(2018泰安联考)已知双曲线C1:1(a0,b0),圆C2:x2y22axa20,若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,则双曲线C1的离心率的取值范围是()A. B.C.(1,2) D.(2,)【答案】(1)C(2)A【解析】(1)不妨设一条渐近线的方程为yx,则F2到yx的距离db,在RtF2PO中,|F2O|c,所以|PO|a,所以|PF1|a,又|F1O|c,所以在F1PO与RtF2PO中,根据余弦定理得cosPOF1cosPOF2,则3a2c2(a)20,得3a2c2,所以e.(2)由双曲线方程

13、可得其渐近线方程为yx,即bxay0,圆C2:x2y22axa20可化为(xa)2y2a2,圆心C2的坐标为(a,0),半径ra,由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,得2b,即c24b2,又知b2c2a2,所以c24(c2a2),即c2a2,所以e1,所以双曲线C1的离心率的取值范围为.角度3与双曲线有关的范围(最值)问题【例33】 已知M(x0,y0)是双曲线C:y21上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若0,则y0的取值范围是()A. B.C. D.【答案】A【解析】因为F1(,0),F2(,0),y1,所以(x0,y0)(x0,y0)xy30,即3y10,解得y00,b0)

14、的一条渐近线与圆(x2)2(y1)21相切,则C的离心率为()A. B. C. D.(2)已知焦点在x轴上的双曲线1,它的焦点到渐近线的距离的取值范围是_.【答案】(1)B(2)(0,2)【解析】(1)双曲线C的渐近线方程为byax0,结合图形易知与圆相切的只可能是byax0,又圆心坐标为(2,1),则1,得3a4b,所以9a216b216(c2a2),则e2,又e1,故e.(2)对于焦点在x轴上的双曲线1(a0,b0),它的一个焦点(c,0)到渐近线bxay0的距离为b.本题中,双曲线1即1,其焦点在x轴上,则解得4m0,b0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为t (t0).2.已知双曲线的标

15、准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程,即方程0就是双曲线1 (a0,b0)的两条渐近线方程.【易错防范】1.双曲线方程中c2a2b2,说明双曲线方程中c最大,解决双曲线问题时不要忽视了这个结论,不要与椭圆中的知识相混淆.2.求双曲线离心率及其范围时,不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1,)这个前提条件,否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.3.双曲线1 (a0,b0)的渐近线方程是yx,1 (a0,b0)的渐近线方程是yx.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时:40分钟)一、选择题1.(2019郑州模拟)设双曲线1(a0,b0

16、)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为()A.yx B.yxC.yx D.y2x【答案】B【解析】因为2b2,所以b1,因为2c2,所以c,所以a,所以双曲线的渐近线方程为yxx.2.双曲线C:1(a0,b0)的一个焦点为F,过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为A,且交y轴于B,若A为BF的中点,则双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.【答案】A【解析】由题易知双曲线C的一条渐近线与x轴的夹角为,故双曲线C的离心率e.3.(2018全国卷)已知双曲线C:1(a0,b0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A. B.2 C. D.2【答案】D【解析】法一由离心

17、率e,得ca,又b2c2a2,得ba,所以双曲线C的渐近线方程为yx.由点到直线的距离公式,得点(4,0)到C的渐近线的距离为2.法二离心率e的双曲线是等轴双曲线,其渐近线方程是yx,点(4,0)到C的渐近线的距离为2.4.(2019天津和平区一模)已知双曲线1(a0,b0)的离心率为,过右焦点F作渐近线的垂线,垂足为M.若FOM的面积为,其中O为坐标原点,则双曲线的方程为()A.x21 B.1C.1 D.1【答案】C【解析】由题意可知e,可得,取一条渐近线为yx,可得F到渐近线yx的距离db,在RtFOM中,由勾股定理可得|OM|a,由题意可得ab,联立解得所以双曲线的方程为1.5.已知F2

18、,F1是双曲线1(a0,b0)的上、下两个焦点,过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B,A,若ABF2为等边三角形,则双曲线的渐近线方程为()A.yx B.yxC.yx D.yx【答案】D【解析】根据双曲线的定义,可得|BF1|BF2|2a,ABF2为等边三角形,|BF2|AB|,|BF1|AB|AF1|2a,又|AF2|AF1|2a,|AF2|AF1|2a4a,在AF1F2中,|AF1|2a,|AF2|4a,F1AF2120,|F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|cos 120,即4c24a216a222a4a28a2,亦即c27a2,则ba,由此可得双曲线C的渐近线

19、方程为yx.二、填空题6.直线l:y2x10过双曲线1(a0,b0)一个焦点且与其一条渐近线平行,则双曲线方程为_.【答案】1【解析】由题意得一个焦点为F(5,0),c5,2,又a2b2c2,所以a25,b220,所以双曲线方程为1.7.设双曲线1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则AFB的面积为_.【答案】【解析】a29,b216,故c5.A(3,0),F(5,0),不妨设直线BF的方程为y(x5),代入双曲线方程解得B.SAFB|AF|yB|2.8.(2019梅州质检)已知双曲线C:1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点.

20、P是双曲线在第一象限上的点,直线PO,PF2分别交双曲线C左、右支于M,N.若|PF1|2|PF2|,且MF2N60,则双曲线C的离心率为_.【答案】【解析】由题意,|PF1|2|PF2|,由双曲线的定义可得,|PF1|PF2|2a,可得|PF1|4a,|PF2|2a,又|F1O|F2O|,|PO|MO|,得四边形PF1MF2为平行四边形,又MF2N60,可得F1PF260,在PF1F2中,由余弦定理可得,4c216a24a224a2acos 60,即4c220a28a2,c23a2,可得ca,所以e.三、解答题9.(2019安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,

21、离心率为,且过点P(4,).(1)求双曲线的方程;(2)(一题多解)若点M(3,m)在双曲线上,求证:0.【答案】见解析【解析】(1)解e,可设双曲线的方程为x2y2(0).双曲线过点(4,),1610,即6.双曲线的方程为x2y26,即1.(2)证明法一由(1)可知,ab,c2,F1(2,0),F2(2,0),kMF1,kMF2,kMF1kMF2.点M(3,m)在双曲线上,9m26,m23,故kMF1kMF21,MF1MF2.0.法二由(1)可知,ab,c2,F1(2,0),F2(2,0),(23,m),(23,m),(32)(32)m23m2,点M(3,m)在双曲线上,9m26,即m230

22、,0.10.设A,B分别为双曲线1(a0,b0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使t,求t的值及点D的坐标.【答案】见解析【解析】(1)由题意知a2,一条渐近线为yx,即bxay0.由焦点到渐近线的距离为,得.又c2a2b2,b23,双曲线的方程为1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),其中x02.又t,即(x1,y1)(x2,y2)t(x0,y0),则x1x2tx0,y1y2ty0.将直线方程yx2代入双曲线方程1得x216x840,其中(16

23、)24840,则x1x216,y1y2(x1x2)412.解得t4,点D的坐标为(4,3).【能力提升题组】(建议用时:20分钟)11.(2019河南适应测试)已知F1,F2分别是双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,若|PF1|PF2|6a,且PF1F2的最小内角为,则双曲线的渐近线方程为()A.y2x B.yxC.yx D.yx【答案】D【解析】不妨设P为双曲线右支上一点,则|PF1|PF2|,由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a,又|PF1|PF2|6a,所以|PF1|4a,|PF2|2a.又因为所以PF1F2为最小内角,故PF1F2.由余弦定理,可得,即(ac)20,

24、所以ca,则ba,所以双曲线的渐近线方程为yx.12.已知点F为双曲线E:1(a0,b0)的右焦点,直线ykx(k0)与E交于不同象限内的M,N两点,若MFNF,设MNF,且,则该双曲线的离心率的取值范围是()A., B.2,1C.2, D.,1【答案】D【解析】如图,设左焦点为F,连接MF,NF,令|MF|r1,|MF|r2,则|NF|MF|r2,由双曲线定义可知r2r12a,点M与点N关于原点对称,且MFNF,|OM|ON|OF|c,rr4c2,由得r1r22(c2a2),又知SMNF2SMOF,r1r22c2sin 2,c2a2c2sin 2,e2,又,sin 2,e22,(1)2.又e

25、1,e,1.13.(2018北京卷)已知椭圆M:1(ab0),双曲线N:1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为_;双曲线N的离心率为_.【答案】12【解析】设椭圆的右焦点为F(c,0),双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A,由题意可知A,由点A在椭圆M上得,1,b2c23a2c24a2b2,b2a2c2,(a2c2)c23a2c24a2(a2c2),4a48a2c2c40,e8e40,e42,e椭1(舍去)或 e椭1,椭圆M的离心率为1.双曲线的渐近线过点A,渐近线方程为yx,故双曲线的离心率e双2.14.已知椭圆C1

26、的方程为y21,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.(1)求双曲线C2的方程;(2)若直线l:ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且2(其中O为原点),求k的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)设双曲线C2的方程为1(a0,b0),则a23,c24,再由a2b2c2,得b21.故C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21,得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得k2且k21.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2.x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又2,得x1x2y1y22,2,即0,解得k23.由得k21,故k的取值范围为.【新高考创新预测】15.(多填题)已知椭圆1与双曲线x21的离心率分别为e1,e2,且有公共的焦点F1,F2,则4ee_,若P为两曲线的一个交点,则|PF1|PF2|_.【答案】03【解析】由题意得椭圆的半焦距满足c4m,双曲线的半焦距满足c1n,又因为两曲线有相同的焦点,所以4m1n,即mn3,则4ee4(1n)3(mn)0.不妨设F1,F2分别为两曲线的左、右焦点,点P为两曲线在第一象限的交点,则解得则|PF1|PF2|3.18