1、第八篇 平面解析几何专题8.07双曲线及其几何性质【考试要求】了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).【知识梳理】1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0：(1)若ac时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称
2、性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b2【微点提醒】1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.2.离心率e.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)平面内到
3、点F1(0，4)，F2(0，4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()(3)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)双曲线(m0，n0，0)的渐近线方程是0.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【解析】(1)因为|MF1|MF2|8|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m0，n0时则表示焦点在y轴上的双曲线.【教材衍化】2.(选修21P62A6改编)经过
4、点A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_.【答案】1【解析】设双曲线方程为：x2y2(0)，把点A(3，1)代入，得8，故所求双曲线方程为1.3.(选修21P61A1改编)已知双曲线x21上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于_.【答案】6【解析】设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|4，则|PF1|PF2|2，故|PF2|6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为ca1，故|PF2|6.【真题体验】4.(2018浙江卷)双曲线y21的焦点坐标是()A.(，0)，(，0) B.(2，0)，(2，0)C.(0，)，(0，) D.(0，2)，(0，2)
5、【答案】B【解析】由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2a2b2314，所以c2，故焦点坐标为(2，0)，(2，0).5.(2017全国卷)双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则a_.【答案】5【解析】由题意可得，所以a5.6.(2018北京卷)若双曲线1(a0)的离心率为，则a_.【答案】4【解析】由题意可得，即a216，又a0，所以a4.【考点聚焦】考点一双曲线的定义及应用【例1】 (1)已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cos F1PF2()A. B. C. D.(2)(2019济南调研)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3
6、)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.【答案】(1)C(2)x21(x1)【解析】(1)由x2y22，知ab，c2.由双曲线定义知，|PF1|PF2|2a2，又|PF1|2|PF2|，|PF1|4，|PF2|2，在PF1F2中，|F1F2|2c4，由余弦定理，得cos F1PF2.(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|
7、C1C2|6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1).【规律方法】1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.【训练1】 (1)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，若AF1F2的周长为10a，则AF1F2的面积为()A.2a2 B.a2C.30a2 D.15a2(2
8、)(2019杭州质检)双曲线C的渐近线方程为yx，一个焦点为F(0，)，点A(，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，PAF周长的最小值为()A.8 B.10 C.43 D.33【答案】(1)B(2)B【解析】(1)由双曲线的对称性不妨设A在双曲线的右支上，由e2，得c2a，AF1F2的周长为|AF1|AF2|F1F2|AF1|AF2|4a，又AF1F2的周长为10a，|AF1|AF2|6a，又|AF1|AF2|2a，|AF1|4a，|AF2|2a，在AF1F2中，|F1F2|4a，cos F1AF2.又0F1AF0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的
9、方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)(2018天津卷)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1【答案】(1)B(2)C【解析】(1)由题设知，又由椭圆1与双曲线有公共焦点，易知a2b2c29，由解得a2，b，则双曲线C的方程为1.(2)由d1d26，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b3.因为双曲线1(a0，b0)的离心率为2，所以2，所以4，所以4，解得a23，所以双曲线的方程为1.【规律方法】1.利用待定系数法求
10、双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值.2.与双曲线1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为(0).【训练2】 (1)(2019海南二模)已知双曲线C：1(a0，b0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是()A.y21 B.1C.x21 D.1(2)已知双曲线的渐近线方程为2x3y0，且双曲线经过点P(，2)，则双曲线的方程为_.【答案】(1)C(2)1【解析】(1)由双曲线C：1(a0，b0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得解得双曲线C的
11、标准方程是x21.(2)由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为(0).因为双曲线过点P(，2)，所以，故所求双曲线方程为1.考点三双曲线的性质角度1求双曲线的渐近线【例31】 (一题多解)(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()A.yx B.yxC.yx D.yx【答案】A【解析】法一由题意知，e，所以ca，所以ba，即，所以该双曲线的渐近线方程为yxx.法二由e，得，所以该双曲线的渐近线方程为yxx.角度2求双曲线的离心率【例32】 (1)(2018全国卷)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，
12、垂足为P.若|PF1|OP|，则C的离心率为()A. B.2 C. D.(2)(2018泰安联考)已知双曲线C1：1(a0，b0)，圆C2：x2y22axa20，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是()A. B.C.(1，2) D.(2，)【答案】(1)C(2)A【解析】(1)不妨设一条渐近线的方程为yx，则F2到yx的距离db，在RtF2PO中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|a，又|F1O|c，所以在F1PO与RtF2PO中，根据余弦定理得cosPOF1cosPOF2，则3a2c2(a)20，得3a2c2，所以e.(2)由双曲线方程
13、可得其渐近线方程为yx，即bxay0，圆C2：x2y22axa20可化为(xa)2y2a2，圆心C2的坐标为(a，0)，半径ra，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得2b，即c24b2，又知b2c2a2，所以c24(c2a2)，即c2a2，所以e1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为.角度3与双曲线有关的范围(最值)问题【例33】 已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.【答案】A【解析】因为F1(，0)，F2(，0)，y1，所以(x0，y0)(x0，y0)xy30，即3y10，解得y00，b0)
14、的一条渐近线与圆(x2)2(y1)21相切，则C的离心率为()A. B. C. D.(2)已知焦点在x轴上的双曲线1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是_.【答案】(1)B(2)(0，2)【解析】(1)双曲线C的渐近线方程为byax0，结合图形易知与圆相切的只可能是byax0，又圆心坐标为(2，1)，则1，得3a4b，所以9a216b216(c2a2)，则e2，又e1，故e.(2)对于焦点在x轴上的双曲线1(a0，b0)，它的一个焦点(c，0)到渐近线bxay0的距离为b.本题中，双曲线1即1，其焦点在x轴上，则解得4m0，b0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为t (t0).2.已知双曲线的标
15、准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程0就是双曲线1 (a0，b0)的两条渐近线方程.【易错防范】1.双曲线方程中c2a2b2，说明双曲线方程中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.3.双曲线1 (a0，b0)的渐近线方程是yx，1 (a0，b0)的渐近线方程是yx.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019郑州模拟)设双曲线1(a0，b0
16、)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()A.yx B.yxC.yx D.y2x【答案】B【解析】因为2b2，所以b1，因为2c2，所以c，所以a，所以双曲线的渐近线方程为yxx.2.双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点为F，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且交y轴于B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.【答案】A【解析】由题易知双曲线C的一条渐近线与x轴的夹角为，故双曲线C的离心率e.3.(2018全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为()A. B.2 C. D.2【答案】D【解析】法一由离心
17、率e，得ca，又b2c2a2，得ba，所以双曲线C的渐近线方程为yx.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为2.法二离心率e的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是yx，点(4，0)到C的渐近线的距离为2.4.(2019天津和平区一模)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M.若FOM的面积为，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为()A.x21 B.1C.1 D.1【答案】C【解析】由题意可知e，可得，取一条渐近线为yx，可得F到渐近线yx的距离db，在RtFOM中，由勾股定理可得|OM|a，由题意可得ab，联立解得所以双曲线的方程为1.5.已知F2
18、，F1是双曲线1(a0，b0)的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为()A.yx B.yxC.yx D.yx【答案】D【解析】根据双曲线的定义，可得|BF1|BF2|2a，ABF2为等边三角形，|BF2|AB|，|BF1|AB|AF1|2a，又|AF2|AF1|2a，|AF2|AF1|2a4a，在AF1F2中，|AF1|2a，|AF2|4a，F1AF2120，|F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|cos 120，即4c24a216a222a4a28a2，亦即c27a2，则ba，由此可得双曲线C的渐近线
19、方程为yx.二、填空题6.直线l：y2x10过双曲线1(a0，b0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为_.【答案】1【解析】由题意得一个焦点为F(5，0)，c5，2，又a2b2c2，所以a25，b220，所以双曲线方程为1.7.设双曲线1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_.【答案】【解析】a29，b216，故c5.A(3，0)，F(5，0)，不妨设直线BF的方程为y(x5)，代入双曲线方程解得B.SAFB|AF|yB|2.8.(2019梅州质检)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点.
20、P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于M，N.若|PF1|2|PF2|，且MF2N60，则双曲线C的离心率为_.【答案】【解析】由题意，|PF1|2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|PF2|2a，可得|PF1|4a，|PF2|2a，又|F1O|F2O|，|PO|MO|，得四边形PF1MF2为平行四边形，又MF2N60，可得F1PF260，在PF1F2中，由余弦定理可得，4c216a24a224a2acos 60，即4c220a28a2，c23a2，可得ca，所以e.三、解答题9.(2019安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，
21、离心率为，且过点P(4，).(1)求双曲线的方程；(2)(一题多解)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0.【答案】见解析【解析】(1)解e，可设双曲线的方程为x2y2(0).双曲线过点(4，)，1610，即6.双曲线的方程为x2y26，即1.(2)证明法一由(1)可知，ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2.点M(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故kMF1kMF21，MF1MF2.0.法二由(1)可知，ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，(23，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2，点M(3，m)在双曲线上，9m26，即m230
22、，0.10.设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标.【答案】见解析【解析】(1)由题意知a2，一条渐近线为yx，即bxay0.由焦点到渐近线的距离为，得.又c2a2b2，b23，双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，其中x02.又t，即(x1，y1)(x2，y2)t(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程yx2代入双曲线方程1得x216x840，其中(16
23、)24840，则x1x216，y1y2(x1x2)412.解得t4，点D的坐标为(4，3).【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019河南适应测试)已知F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为()A.y2x B.yxC.yx D.yx【答案】D【解析】不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，所以|PF1|4a，|PF2|2a.又因为所以PF1F2为最小内角，故PF1F2.由余弦定理，可得，即(ac)20，
24、所以ca，则ba，所以双曲线的渐近线方程为yx.12.已知点F为双曲线E：1(a0，b0)的右焦点，直线ykx(k0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MFNF，设MNF，且，则该双曲线的离心率的取值范围是()A.， B.2，1C.2， D.，1【答案】D【解析】如图，设左焦点为F，连接MF，NF，令|MF|r1，|MF|r2，则|NF|MF|r2，由双曲线定义可知r2r12a，点M与点N关于原点对称，且MFNF，|OM|ON|OF|c，rr4c2，由得r1r22(c2a2)，又知SMNF2SMOF，r1r22c2sin 2，c2a2c2sin 2，e2，又，sin 2，e22，(1)2.又e
25、1，e，1.13.(2018北京卷)已知椭圆M：1(ab0)，双曲线N：1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_.【答案】12【解析】设椭圆的右焦点为F(c，0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，由题意可知A，由点A在椭圆M上得，1，b2c23a2c24a2b2，b2a2c2，(a2c2)c23a2c24a2(a2c2)，4a48a2c2c40，e8e40，e42，e椭1(舍去)或 e椭1，椭圆M的离心率为1.双曲线的渐近线过点A，渐近线方程为yx，故双曲线的离心率e双2.14.已知椭圆C1
26、的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)设双曲线C2的方程为1(a0，b0)，则a23，c24，再由a2b2c2，得b21.故C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得k2且k21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又2，得x1x2y1y22，2，即0，解得k23.由得k21，故k的取值范围为.【新高考创新预测】15.(多填题)已知椭圆1与双曲线x21的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则4ee_，若P为两曲线的一个交点，则|PF1|PF2|_.【答案】03【解析】由题意得椭圆的半焦距满足c4m，双曲线的半焦距满足c1n，又因为两曲线有相同的焦点，所以4m1n，即mn3，则4ee4(1n)3(mn)0.不妨设F1，F2分别为两曲线的左、右焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，则解得则|PF1|PF2|3.18