1、第八篇 平面解析几何专题8.02两直线的位置关系【考试要求】1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.【知识梳理】1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.2.两直线相交直线l1：A1
2、xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应.相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解.3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|.特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d.【微点提醒】1.两直线平行的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A
3、2xB2yC20平行的充要条件是A1B2A2B10且B1C2B2C10(或A1C2A2C10).2.两直线垂直的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20垂直的充要条件是A1A2B1B20.3.在运用两平行直线间的距离公式d时，一定要注意将两方程中x，y的系数分别化为相同的形式.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点
4、到直线的距离.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)两直线l1，l2有可能重合.(2)如果l1l2，若l1的斜率k10，则l2的斜率不存在.【教材衍化】2.(必修2P114A10改编)两条平行直线3x4y120与ax8y110之间的距离为()A. B. C.7 D.【答案】D【解析】由题意知a6，直线3x4y120可化为6x8y240，所以两平行直线之间的距离为.3.(必修2P89练习2改编)已知P(2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m_.【答案】1【解析】由题意知 1，所以m42m，所以m1.【真题体验】4.(2019淄博调研)直线2x(m1)y40与直线m
5、x3y20平行，则m()A.2 B.3 C.2或3 D.2或3【答案】C【解析】直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则有，故m2或3.5.(2019北京十八中月考)圆(x1)2y22的圆心到直线yx3的距离为()A.1 B.2 C. D.2【答案】C【解析】圆(x1)2y22的圆心坐标为(1，0)，由yx3得xy30，则圆心到直线的距离d.6.(2019宁波期中)经过抛物线y22x的焦点且平行于直线3x2y50的直线l的方程是()A.6x4y30 B.3x2y30C.2x3y20 D.2x3y10【答案】A【解析】因为抛物线y22x的焦点坐标为，直线3x2y50的斜率为，所以所求直线
6、l的方程为y，化为一般式，得6x4y30.【考点聚焦】考点一两直线的平行与垂直【例1】 (1)(2019河北五校联考)直线l1：mx2y10，l2：x(m1)y10，则“m2”是“l1l2”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)已知三条直线2x3y10，4x3y50，mxy10不能构成三角形，则实数m的取值集合为()A. B.C. D.【答案】(1)C(2)D【解析】(1)由l1l2得m(m1)1(2)，得m2或m1，经验证，当m1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m2”是“l1l2”的充要条件.(2)由题意得直线mxy10与2x3y10，4
7、x3y50平行，或者直线mxy10过2x3y10与4x3y50的交点.当直线mxy10与2x3y10，4x3y50分别平行时，m或；当直线mxy10过2x3y10与4x3y50的交点时，m.所以实数m的取值集合为.【规律方法】1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.【训练1】 (一题多解)已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)当l1l2时，求a的值；(2)当l1l
8、2时，求a的值.【答案】见解析【解析】(1)法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线方程可化为l1：yx3，l2：yx(a1)，由l1l2可得解得a1.综上可知，a1.法二由l1l2知即a1.(2)法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不符合；当a1时，l1：yx3，l2：yx(a1)，由l1l2，得1a.法二l1l2，A1A2B1B20，即a2(a1)0，得a.考点二两直线的交点与距离问题【例2】 (1)(一题多解)求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10
9、的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程为_.(2)已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围是_.(3)(2019厦门模拟)若两平行直线3x2y10，6xayc0之间的距离为，则c的值是_.【答案】(1)5x3y10(2)0，10(3)2或6【解析】(1)法一先解方程组得l1，l2的交点坐标为(1，2)，再由l3的斜率求出l的斜率为，于是由直线的点斜式方程求出l：y2(x1)，即5x3y10.法二由于ll3，故l是直线系5x3yC0中的一条，而l过l1，l2的交点(1，2)，故5(1)32C0，由此求出C1，故l的方程为5x3y10.法三由于l过l1，l2
10、的交点，故l是直线系3x2y1(5x2y1)0中的一条，将其整理，得(35)x(22)y(1)0.其斜率，解得，代入直线系方程即得l的方程为5x3y10.(2)由题意得，点P到直线的距离为.又3，即|153a|15，解之得0a10，所以a的取值范围是0，10.(3)依题意知，解得a4，c2，即直线6xayc0可化为3x2y0，又两平行线之间的距离为，所以，解得c2或6.【规律方法】1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.2.利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d
11、|y0b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等.【训练2】 (1)(2019上海黄浦区监测)已知曲线yax(a0且a1)恒过点A(m，n)，则点A到直线xy30的距离为_.(2)(一题多解)直线l过点P(1，2)且到点A(2，3)和点B(4，5)的距离相等，则直线l的方程为_.【答案】(1)(2)x3y50或x1【解析】(1)由题意，可知曲线yax(a0且a1)恒过点(0，1)，所以A(0，1)，点A(0，1)到直线xy30的距离d.(2)法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k.直线l的方
12、程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意.法二当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB中点时，AB的中点为(1，4).直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.考点三对称问题角度1对称问题的求解【例31】 (2019潍坊期中)若点(a，b)关于直线y2x的对称点在x轴上，则a，b满足的条件为()A.4a3b0 B.3a4b0C.2a3b0 D.3a2b0【答案】A【解析】设点(a，b)关于直线y2x的对称点为(t，0)，则有解得4a3b0.角度2对称问题的应用【例32】 (一题多解)光线沿直线l1
13、：x2y50射入，遇直线l：3x2y70后反射，求反射光线所在的直线方程.【答案】见解析【解析】法一由得反射点M的坐标为(1，2).又取直线x2y50上一点P(5，0)，设P关于直线l的对称点P(x0，y0)，由PPl可知，kPP.而PP的中点Q的坐标为，又Q点在l上，3270.由得根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x2y330.法二设直线x2y50上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P(x，y)，则，又PP的中点Q在l上，3270，由可得P点的横、纵坐标分别为x0，y0，代入方程x2y50中，化简得29x2y330，所求反射光线所在的直线方程为29x2y330
14、.【规律方法】1.解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，且直线l与直线MN垂直.2.如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.3.若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：(1)若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；(2)若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B在直线l2上.【训练3】 已知三角形的一个顶点A(4，1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：xy10和l2：x10，则BC边所在直线的方程为_.【答案】2xy30【解析】A不在这两条角平分线上，因此l1，l2是另两个角的角平分线所在直线.点A关
15、于直线l1的对称点A1，点A关于直线l2的对称点A2均在边BC所在直线l上.设A1(x1，y1)，则有解得所以A1(0，3).同理设A2(x2，y2)，易求得A2(2，1).所以BC边所在直线方程为2xy30.【反思与感悟】1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问题.【易错防范】1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断
16、，若直线无斜率，要单独考虑.2.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.【核心素养提升】【数学抽象】活用直线系方程1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.直线系方程的常见类型(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：yy0k(xx0)(k是参数，直线系中未包括直线xx0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线AxByC0的
17、直线系方程是：AxBy0(是参数且C)；(3)垂直于已知直线AxByC0的直线系方程是：BxAy0(是参数)；(4)过两条已知直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程是：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R，但不包括l2).类型1相交直线系方程【例1】 (一题多解)已知两条直线l1：x2y40和l2：xy20的交点为P，求过点P且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程.【答案】见解析【解析】法一解l1与l2组成的方程组得到交点P(0，2)，因为k3，所以直线l的斜率k，方程为y2x，即4x3y60.法二设所求l的直线为4x3yc0，由法一可知：P(0，
18、2)，将其代入方程，得c6，所以直线l的方程为4x3y60.法三设所求直线l的方程为：x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420，因为直线l与l3垂直，所以3(1)4(2)0，所以11，所以直线l的方程为4x3y60.类型2平行直线系方程【例2】 求过点A(1，4)且与直线2x3y50平行的直线方程.【答案】见解析【解析】设所求直线方程为2x3yc0(c5)，由题意知，213(4)c0，所以c10，故所求直线方程为2x3y100.【例3】 已知直线l1与直线l2：x3y60平行，l1能和x轴、y轴围成面积为8的三角形，请求出直线l1的方程.【答案】见解析【解析】设直线l1的方程为：x3yc
19、0(c6)，则令y0，得xc；令x0，得y，依照题意有：|c|8，c4.所以l1的方程是：x3y40.【例4】 (一题多解)已知直线方程3x4y70，求与之平行而且在x轴、y轴上的截距和是1的直线l的方程.【答案】见解析【解析】法一设直线l：1，则ab1和组成的方程组的解为a4，b3.故l的方程为：1，即3x4y120.法二根据平行直线系方程的内容可设直线l为：3x4yc0(c7)，则直线l在两坐标轴上截距分别对应的是，由1，知c12.故直线l的方程为：3x4y120.类型3垂直直线系方程【例5】 求经过A(2，1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程.【答案】见解析【解析】因为所求直线与
20、直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yc0，又直线过点A(2，1)，所以有221c0，解得c0，即所求直线方程为x2y0.类型4直线系方程的应用【例6】 已知三角形三边所在的直线方程分别为：2xy40，xy70，2x7y140，求边2x7y140上的高所在的直线方程.【答案】见解析【解析】设所求高所在的直线方程为2xy4(xy7)0，即(2)x(1)y(47)0，可得(2)2(1)(7)0，解得，所以所求高所在的直线方程为7x2y190.【例7】 求过直线2x7y40与7x21y10的交点，且和A(3，1)，B(5，7)等距离的直线方程.【答案】见解析【解析】设所求直线方程为2x7y4
21、(7x21y1)0，即(27)x(721)y(4)0，由点A(3，1)，B(5，7)到所求直线等距离，可得，整理可得|433|11355|，解得或，所以所求的直线方程为21x28y130或x1.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.直线2xym0和x2yn0的位置关系是()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.不能确定【答案】C【解析】直线2xym0的斜率k12，直线x2yn0的斜率为k2，则k1k2，且k1k21.2.已知两直线方程分别为l1：xy1，l2：ax2y0，若l1l2，则a()A.2 B.2 C. D.【答案】B【解析】因为l1l2，所以k1k21，即
22、1，解得a2.3.(一题多解)过两直线l1：x3y40和l2：2xy50的交点和原点的直线方程为()A.19x9y0 B.9x19y0C.19x3y0 D.3x19y0【答案】D【解析】法一由得则所求直线方程为：yxx，即3x19y0.法二设直线方程为x3y4(2xy5)0，即(12)x(3)y450，又直线过点(0，0)，所以(12)0(3)0450，解得，故所求直线方程为3x19y0.4.从点(2，3)射出的光线沿与向量a(8，4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为()A.x2y40 B.2xy10C.x6y160 D.6xy80【答案】A【解析】由直线与向量a(8，4)平行
23、知，过点(2，3)的直线的斜率k，所以直线的方程为y3(x2)，其与y轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，所以反射光线过点(2，3)与(0，2)，由两点式知A正确.5.(2019运城二模)在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：axy10与过定点Q的直线m：xay30相交于点M，则|MP|2|MQ|2()A. B. C.5 D.10【答案】D【解析】由题意知P(0，1)，Q(3，0)，过定点P的直线axy10与过定点Q的直线xay30垂直，MPMQ，|MP|2|MQ|2|PQ|29110，6.(2019青岛模拟)若直线l1：x3ym0(m0)与直线l2：2x6y
24、30的距离为，则m()A.7 B. C.14 D.17【答案】B【解析】直线l1：x3ym0(m0)，即2x6y2m0，因为它与直线l2：2x6y30的距离为，所以，求得m.7.(2018新余调研)已知坐标原点关于直线l1：xy10的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为()A.2x3y50 B.3x2y50C.3x2y50 D.2x3y50【答案】B【解析】设A(x0，y0)，依题意可得解得即A(1，1).设点B(2，1)到直线l2的距离为d，当d|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又，直线l2的方程为y1(x1)，即3x2y
25、50 .8.一只虫子从点(0，0)出发，先爬行到直线l：xy10上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是()A. B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】点(0，0)关于直线l：xy10的对称点为(1，1)，则最短路程为2.二、填空题9.如果直线ax2y3a0与直线3x(a1)ya7平行，则a_.【答案】3【解析】直线ax2y3a0与直线3x(a1)ya7平行，即直线ax2y3a0与直线3x(a1)y(a7)0平行，解得a3.10.已知入射光线经过点M(3，4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为_.【答案】6xy60【解析
26、】设点M(3，4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0.又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.11.(一题多解)(2019南昌模拟)已知点A(1，0)，B(3，0)，若直线ykx1上存在一点P，满足PAPB，则k的取值范围是_.【答案】【解析】法一设P(x0，kx01)，依题意可得kPAkPB1，即1，即(k21)x(2k4)x040，则(2k4)216(k21)0，化简得3k24k0，解得k0，故k的取值范围是.法二若直线ykx1上存在点P，满足PAPB，则直线ykx1与以AB为直径的圆(x2)2y21有公共点，
27、故1，即3k24k0，故k0，k的取值范围为.三、解答题12.已知方程(2)x(1)y2(32)0与点P(2，2).(1)证明：对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.【答案】见解析【解析】(1)解显然2与(1)不可能同时为零，故对任意的实数，该方程都表示直线.方程可变形为2xy6(xy4)0，解得故直线经过的定点为M(2，2).(2)证明过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|PM|，此时对应的直线方程是y2x2，即xy40.但直线系方程唯独不能表示直线
28、xy40，M与Q不可能重合，即|PM|4，|PQ|0，c0)恒过点P(1，m)且Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，则的最小值为()A. B. C.1 D.9【答案】B【解析】因为动直线l：axbyc20(a0，c0)恒过点P(1，m)，所以abmc20，设点Q(4，0)到直线l的距离为d，当d|PQ|时取最大值，所以3，解得m0.所以ac2，则(ac)(2)，当且仅当c2a时取等号.15.若ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2xy50，AC边上的高BH所在直线方程为x2y50，则直线BC的方程为_.【答案】6x5y90【解析】由AC边上的高BH所在直线方程为x2y5
29、0可以知道kAC2，又A(5，1)，AC边所在直线方程为2xy110，联立直线AC与直线CM方程得解得所以顶点C的坐标为C(4，3).设B(x0，y0)，AB的中点M为，由M在直线2xy50上，得2x0y010，B在直线x2y50上，得x02y050，联立解得所以顶点B的坐标为(1，3).于是直线BC的方程为6x5y90.16.在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2，3)对称，则直线l的方程是_.【答案】6x8
30、y10【解析】由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxb，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1：yk(x3)5b，将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为yk(x31)b52，即ykx34kb，b34kb，解得k，直线l的方程为yxb，直线l1为yxb，取直线l上的一点P，则点P关于点(2，3)的对称点为，6b(4m)b，解得b.直线l的方程是yx，即6x8y10.【新高考创新预测】17.(思维创新)已知常数x1、x2、y1、y2满足：xy1，xy1，x1x2y1y2，则的最大值为_.【答案】【解析】由xy1，xy1可知A(x1，y1)，B(x2，y2)两点都在单位圆O：x2y21上，又x1x2y1y2，与的夹角为60，为A，B两点到直线xy10的距离之和，由数形结合及基本不等式知识易求得其最大值为.18