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专题8.5椭圆及其几何性质 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)原卷版

1、第八篇 平面解析几何专题8.05椭圆及其几何性质【考试要求】1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.【知识梳理】1.椭圆的定义在平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式:集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a0,c0,且a,c为常数:(1)若ac,则集合P为椭圆;(2)若ac,则集合P为线段;(3)若ac,则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性

2、质范围axabybbxbaya对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a),B1(b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a,b,c的关系c2a2b2【微点提醒】点P(x0,y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0,y0)在椭圆内1.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.()(3)方程mx2ny21(m0,n0,m

3、n)表示的曲线是椭圆.()(4)1(ab0)与1(ab0)的焦距相同.()【教材衍化】2.(选修21P49T1改编)若F1(3,0),F2(3,0),点P到F1,F2的距离之和为10,则P点的轨迹方程是_.3.(选修21P49A6改编)已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点,且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标为_.【真题体验】4.(2018张家口调研)椭圆1的焦点坐标为()A.(3,0) B.(0,3) C.(9,0) D.(0,9)5.(2018全国卷)已知椭圆C:1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A. B. C. D.6.(2018武汉模拟)曲线1与曲线1

4、(k0,n0,mn),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可.【训练2】 (1)(2018济南模拟)已知椭圆C:1(ab0),若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)(2018榆林模拟)已知F1(1,0),F2(1,0)是椭圆C的焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|3,则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1考点三椭圆的几何性质多维探究角度1椭圆的长轴、短轴、焦距【例31】 (2018泉州质检)已知椭圆1的长轴在x轴上,焦距为4,则m等于()A.8 B.7 C.6 D.5角度2椭圆的离心率【例

5、32】 (2018全国卷)已知F1,F2是椭圆C:1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P120,则C的离心率为()A. B. C. D.角度3与椭圆性质有关的最值或范围问题【例33】 (2017全国卷)设A,B是椭圆C:1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB120,则m的取值范围是()A.(0,19,) B.(0,9,)C.(0,14,) D.(0,4,)【规律方法】1.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2a2c2消去b,转化为含有e的

6、方程(或不等式)求解.2.在求与椭圆有关的一些量的范围,或者最值时,经常用到椭圆标准方程中x,y的范围、离心率的范围等不等关系.【训练3】 (1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最小值为()A.1 B. C.2 D.2(2)(2019豫南九校联考)已知两定点A(1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:yx3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为()A. B. C. D.【反思与感悟】1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性,正确理解、掌握定义是关键,应注意定义中的常数大于|F1F2|,避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.2.

7、求椭圆的标准方程,常采用“先定位,后定量”的方法(待定系数法).先“定位”,就是先确定椭圆和坐标系的相对位置,以椭圆的中心为原点的前提下,看焦点在哪条坐标轴上,确定标准方程的形式;再“定量”,就是根据已知条件,通过解方程(组)等手段,确定a2,b2的值,代入所设的方程,即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置,这时的标准方程常可设为mx2ny21(m0,n0且mn)【易错防范】1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小.2.在解关于离心率e的二次方程时,要注意利用椭圆的离心率e(0,1)进行根的取舍,否则将产生增根.3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如,ax

8、a,byb,0e1等,在求椭圆相关量的范围时,要注意应用这些不等关系.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时:40分钟)一、选择题1.椭圆1的焦距为2,则m的值等于()A.5 B.3 C.5或3 D.82.(2019聊城模拟)已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点,若AF1B的周长为12,则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.13.已知圆(x1)2(y1)22经过椭圆C:1(ab0)的右焦点F和上顶点B,则椭圆C的离心率为()A. B. C.2 D.4.(2019湖北重点中学联考)已知椭圆1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂

9、直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则ABF1内切圆的半径为()A. B.1 C. D.5.已知椭圆1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|PF2|2,则PF1F2的面积是()A. B.2 C.2 D.二、填空题6.已知椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,2)且a2b,则椭圆的标准方程为_.7.设F1,F2为椭圆C:1(ab0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若F2AB的面积为4的等边三角形,则椭圆C的方程为_.8.(2019昆明诊断)椭圆1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,当m取最大值时,点P的坐标是_.三、解答题9.已知椭圆的中心在原点,两焦点F1,F2在x轴

10、上,且过点A(4,3).若F1AF2A,求椭圆的标准方程.10.已知椭圆1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90,求椭圆的离心率;(2)若2,求椭圆的方程.【能力提升题组】(建议用时:20分钟)11.已知椭圆1(ab0)的左顶点为M,上顶点为N,右焦点为F,若0,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.12.(2019湖南湘东五校联考)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形,且60PF1F21)上两点A,B满足2,则当m_时,点B横坐标的绝对值最大.14.(2019石家庄月考)已知点M(,)在椭圆C:1(ab0)上,且椭圆的离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(3,2),求PAB的面积.【新高考创新预测】15.(多填题)已知椭圆C:1(ab0)的右焦点为F(1,0),其关于直线ybx的对称点Q在椭圆上,则离心率e_,SFOQ_.13