1、第八篇 平面解析几何专题8.05椭圆及其几何性质【考试要求】1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.【知识梳理】1.椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式：集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性
2、质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0，1)a，b，c的关系c2a2b2【微点提醒】点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内1.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()(3)方程mx2ny21(m0，n0，m
3、n)表示的曲线是椭圆.()(4)1(ab0)与1(ab0)的焦距相同.()【教材衍化】2.(选修21P49T1改编)若F1(3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是_.3.(选修21P49A6改编)已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_.【真题体验】4.(2018张家口调研)椭圆1的焦点坐标为()A.(3，0) B.(0，3) C.(9，0) D.(0，9)5.(2018全国卷)已知椭圆C：1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为()A. B. C. D.6.(2018武汉模拟)曲线1与曲线1
4、(k0，n0，mn)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.【训练2】 (1)(2018济南模拟)已知椭圆C：1(ab0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)(2018榆林模拟)已知F1(1，0)，F2(1，0)是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|3，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1考点三椭圆的几何性质多维探究角度1椭圆的长轴、短轴、焦距【例31】 (2018泉州质检)已知椭圆1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()A.8 B.7 C.6 D.5角度2椭圆的离心率【例
5、32】 (2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A. B. C. D.角度3与椭圆性质有关的最值或范围问题【例33】 (2017全国卷)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A.(0，19，) B.(0，9，)C.(0，14，) D.(0，4，)【规律方法】1.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的
6、方程(或不等式)求解.2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系.【训练3】 (1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A.1 B. C.2 D.2(2)(2019豫南九校联考)已知两定点A(1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：yx3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()A. B. C. D.【反思与感悟】1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.2.
7、求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2ny21(m0，n0且mn)【易错防范】1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小.2.在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，ax
8、a，byb，0e1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.椭圆1的焦距为2，则m的值等于()A.5 B.3 C.5或3 D.82.(2019聊城模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为12，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.13.已知圆(x1)2(y1)22经过椭圆C：1(ab0)的右焦点F和上顶点B，则椭圆C的离心率为()A. B. C.2 D.4.(2019湖北重点中学联考)已知椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂
9、直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则ABF1内切圆的半径为()A. B.1 C. D.5.已知椭圆1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|PF2|2，则PF1F2的面积是()A. B.2 C.2 D.二、填空题6.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)且a2b，则椭圆的标准方程为_.7.设F1，F2为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若F2AB的面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为_.8.(2019昆明诊断)椭圆1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是_.三、解答题9.已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴
10、上，且过点A(4，3).若F1AF2A，求椭圆的标准方程.10.已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若2，求椭圆的方程.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.已知椭圆1(ab0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若0，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.12.(2019湖南湘东五校联考)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60PF1F21)上两点A，B满足2，则当m_时，点B横坐标的绝对值最大.14.(2019石家庄月考)已知点M(，)在椭圆C：1(ab0)上，且椭圆的离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3，2)，求PAB的面积.【新高考创新预测】15.(多填题)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1，0)，其关于直线ybx的对称点Q在椭圆上，则离心率e_，SFOQ_.13