1、第五篇 数列及其应用专题5.02等差数列及其前n项和【考试要求】1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.体会等差数列与一次函数的关系.【知识梳理】1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：an1and(nN*，d为常数).(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d.
2、(2)前n项和公式：Snna1.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*).(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列.(4)若Sn为等差数列an的前n项和，则数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列.(5)若Sn为等差数列an的前n项和，则数列也为等差数列.【微点提醒】1.已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a1
3、0，d0，则Sn存在最小值.3.等差数列an的单调性：当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d0时，an是常数列.4.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数).【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(3)若公差d0，则通项公式不是n的一次函数.(4)若公差d0，则前n项
4、和不是二次函数.【教材衍化】2.(必修5P46A2改编)设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于()A.31 B.32 C.33 D.34【答案】B【解析】由已知可得解得S88a1d32.3.(必修5P68A8改编)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.【答案】180【解析】由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.【真题体验】4.(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.若3S3S2S4，a12，则a5()A.12 B.10 C.10 D.12【答案】B【解析】设等差数列an的公差为d，
5、则3(3a13d)2a1d4a16d，即da1.又a12，d3，a5a14d24(3)10.5.(2019上海黄浦区模拟)已知等差数列an中，a21，前5项和S515，则数列an的公差为()A.3 B. C.2 D.4【答案】D【解析】设等差数列an的首项为a1，公差为d，因为所以解得d4.6.(2019苏北四市联考)在等差数列an中，已知a3a80，且S90，S90，S99a50，a50，S1，S2，S9中最小的是S5.【考点聚焦】考点一等差数列基本量的运算【例1】 (1)(一题多解)(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4a524，S648，则an的公差为()A.1 B.2
6、 C.4 D.8(2)(2019潍坊检测)设等差数列an的前n项和为Sn，S1122，a412，若am30，则m()A.9 B.10 C.11 D.15【答案】(1)C(2)B【解析】(1)法一设等差数列an的公差为d，依题意得所以d4.法二等差数列an中，S648，则a1a616a2a5，又a4a524，所以a4a22d24168，则d4.(2)设等差数列an的公差为d，依题意得解得ama1(m1)d7m4030，m10.【规律方法】1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公
7、式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练1】 (1)等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x2)，的第四项等于()A.3 B.4 C.log318 D.log324(2)(一题多解)设等差数列an的前n项和为Sn，S36，S412，则S6_.【答案】(1)A(2)30【解析】(1)log3(2x)，log3(3x)，log3(4x2)成等差数列，log3(2x)log3(4x2)2log3(3x)，log32x(4x2)log3(3x)2，则2x(4x2)9x2，解之得x4，x0(舍去).等差数列的前三项为log38
8、，log312，log318，公差dlog312log38log3，数列的第四项为log318log3log3273.(2)法一设数列an的首项为a1，公差为d，由S36，S412，可得解得所以S66a115d30.法二由an为等差数列，故可设前n项和SnAn2Bn，由S36，S412可得解得即Snn2n，则S636630.考点二等差数列的判定与证明【例2】 (经典母题)若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：成等差数列；(2)求数列an的通项公式.【答案】见解析【解析】(1)证明当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以2，又2，故
9、是首项为2，公差为2的等差数列.(2)解由(1)可得2n，Sn.当n2时，anSnSn1.当n1时，a1不适合上式.故an【迁移探究1】 本例条件不变，判断数列an是否为等差数列，并说明理由.【答案】见解析【解析】因为anSnSn1(n2)，an2SnSn10，所以SnSn12SnSn10(n2).所以2(n2).又2，所以是以2为首项，2为公差的等差数列.所以2(n1)22n，故Sn.所以当n2时，anSnSn1，所以an1，又an1an.所以当n2时，an1an的值不是一个与n无关的常数，故数列an不是一个等差数列.【迁移探究2】 本例中，若将条件变为a1，nan1(n1)ann(n1)，
10、试求数列an的通项公式.【答案】见解析【解析】由已知可得1，即1，又a1，是以为首项，1为公差的等差数列，(n1)1n，ann2n.【规律方法】1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数.(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：(1)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列.(2)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【训练2】 (2017全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S22，S36.(1)求an的通项公式
11、；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列.【答案】见解析【解析】(1)设an的公比为q，由题设可得解得故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n.22Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差数列.考点三等差数列的性质及应用角度1等差数列项的性质【例31】 (2019临沂一模)在等差数列an中，a13a8a15120，则a2a14的值为()A.6 B.12 C.24 D.48【答案】D【解析】在等差数列an中，a13a8a15120，由等差数列的性质，a13a8a155a8120，a824，a2a142a848.角度2等差数列和的性质【例3
12、2】 设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A.63 B.45 C.36 D.27【答案】B【解析】由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列，即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，所以a7a8a945.【规律方法】1.项的性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.2.和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则(1)S2nn(a1a2n)n(anan1)；(2)S2n1(2n1)an.【训练3】 (1)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 015，6，则S2 019_.(2
13、)(2019荆州一模)在等差数列an中，若a3a4a53，a88，则a12的值是()A.15 B.30 C.31 D.64(3)等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于()A. B. C. D.【答案】(1)6 057(2)A(3)A【解析】(1)由等差数列的性质可得也为等差数列.设其公差为d，则6d6，d1.故2 018d2 0152 0183，S2 01932 0196 057.(2)由a3a4a53及等差数列的性质，3a43，则a41.又a4a122a8，得1a1228.a1216115.(3).考点四等差数列的前n项和及其最值【例4】 (2019衡水中学质检)已知数列a
14、n的前n项和为Sn，a10，常数0，且a1anS1Sn对一切正整数n都成立.(1)求数列an的通项公式；(2)设a10，100，当n为何值时，数列的前n项和最大？【答案】见解析【解析】(1)令n1，得a2S12a1，a1(a12)0，因为a10，所以a1，当n2时，2anSn，2an1Sn1，两式相减得2an2an1an(n2).所以an2an1(n2)，从而数列an为等比数列，ana12n1.(2)当a10，100时，由(1)知，an，则bnlg lg lg 100lg 2n2nlg 2，所以数列bn是单调递减的等差数列，公差为lg 2，所以b1b2b6lg lg lg 10，当n7时，bn
15、b7lg 0，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm(当am10时，Sm1也为最大值)；当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm(当am10时，Sm1也为最小值).【训练4】 (1)等差数列an的公差d0，且a3，a5，a15成等比数列，若a55，Sn为数列an的前n项和，则数列的前n项和取最小值时的n为()A.3 B.3或4C.4或5 D.5(2)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为_.【答案】(1)B(2)110【解析】(1)由题意知由d0，解得a13，d2，3n1n4，则n40，得n4，数列的前n项和取最小值时的n为3或4.(2)因为等差数列a
16、n的首项a120，公差d2，Snna1d20n2n221n，又因为nN*，所以n10或n11时，Sn取得最大值，最大值为110.【反思与感悟】1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n项和SnAn2Bn及通项anpnq来判断一个数列是否为等差数列.2.等差数列基本量思想(1)在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解.(2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为ad，a，ad.若偶数个数成等差数列，可设中间两项为ad，ad，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.(3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量.【易错防范】1.用定义法证明等差数列应注
17、意“从第2项起”，如证明了an1and(n2)时，应注意验证a2a1是否等于d，若a2a1d，则数列an不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A.100 B.99 C.98 D.97【答案】C【解析】设等差数列an的公差为d，由已知，得所以所以a100a199d19998.2.(2019淄博调研)设Sn是等差数列an的前n项和，若，则()A.1 B.1 C.2 D.【答案】A【解析】由于1.3.(2019中原名校联考)若数列
18、an满足d(nN*，d为常数)，则称数列an为调和数列，已知数列为调和数列，且x1x2x20200，则x5x16()A.10 B.20 C.30 D.40【答案】B【解析】依题意，xn1xnd，xn是等差数列.又x1x2x20200.x1x2020，从而x5x16x1x2020.4.(2019北京海淀区质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是()A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.2
19、01斤【答案】B【解析】用a1，a2，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a1，a2，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，8a117996，解之得a165.a865717184，即第8个儿子分到的绵是184斤.5.已知等差数列an的前n项和为Sn，a19，4，则Sn取最大值时的n为()A.4 B.5 C.6 D.4或5【答案】B【解析】由an为等差数列，得a5a32d4，即d2，由于a19，所以an2n11，令an2n11，所以Sn取最大值时的n为5.二、填空题6.已知等差数列an的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的
20、项数为_.【答案】10【解析】设项数为2n ，则由S偶S奇nd得，25152n解得n5，故这个数列的项数为10.7.已知数列an满足a11，anan12anan1，则a6_.【答案】【解析】将anan12anan1两边同时除以anan1，2.所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以15211，即a6.8.设Sn是等差数列an的前n项和，S1016，S100S9024，则S100_.【答案】200【解析】依题意，S10，S20S10，S30S20，S100S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S1016，S100S9024，因此S100S902416(101)d169d，解得d，因此
21、S10010S10d1016200.三、解答题9.等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62.【答案】见解析【解析】(1)设数列an首项为a1，公差为d，由题意得解得所以an的通项公式为an.(2)由(1)知，bn.当n1，2，3时，12，bn1；当n4，5时，23，bn2；当n6，7，8时，34，bn3；当n9，10时，45时，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.14.(2019长沙雅礼中学模拟)设Sn为等差数列an的前n项和，已知a1a1326，S981.(1)求an的通项公式；(2)令bn，Tnb1b2bn，若30Tnm0对一切nN*成立，求实数m的最小值.【答案】见解析【解析】(1)等差数列an中，a1a1326，S981，解得d2，ana5(n5)d92(n5)2n1.(2)bn，Tn，随着n的增大而增大，知Tn单调递增.又0，Tn，m5，实数m的最小值为5.【新高考创新预测】15.(多填题)设Sn为等差数列an的前n项和，满足S2S6，2，则a1_，公差d_.【答案】144【解析】由an为等差数列，得数列是首项为a1，公差为的等差数列，2，2d4，又S2S62a146a14a114.16