1、第五篇 数列及其应用专题5.01 数列的概念及简单表示法【考试要求】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.【知识梳理】1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列
2、an的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列an的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.【微点提醒】1.若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打
3、“”或“”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()(2)1，1，1，1，不能构成一个数列.()(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()(4)如果数列an的前n项和为Sn，则对任意nN*，都有an1Sn1Sn.()【教材衍化】2.(必修5P33A4改编)在数列an中，a11，an1(n2)，则a5等于()A. B. C. D.3.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an_.【真题体验】4.(2019山东省实验中学摸底)已知数列an中，a11，an12an1(nN*)，Sn为其前n项和，则S5的值为()A.57 B.61
4、C.62 D.635.(2018北京朝阳区月考)数列0，1，0，1，0，1，0，1，的一个通项公式an等于()A. B.cos C.cos D.cos 6.(2019天津河东区一模)设数列an的前n项和为Sn，且Sn，若a432，则a1_.【考点聚焦】考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】 (1)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是()A.an(1)n11 B.anC.an2sin D.ancos(n1)1(2)已知数列an为，则数列an的一个通项公式是_.【规律方法】由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、
5、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k1，kN*处理.【训练1】 写出下列各数列的一个通项公式：(1)，；(2)，2，8，；(3)5，55，555，5 555，.考点二由an与Sn的关系求通项【例2】 (1)(2019广州质检)已知Sn为数列an的前n项和，且log2(Sn1)n1，则数列an的通项公式为_.(2)(2018全国卷)记Sn为数列an的前
6、n项和.若Sn2an1，则S6_.【规律方法】数列的通项an与前n项和Sn的关系是an当n1时，a1若适合SnSn1，则n1的情况可并入n2时的通项an；当n1时，a1若不适合SnSn1，则用分段函数的形式表示.【易错警示】在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成anSnSn1的形式，但它只适用于n2的情形.例如例2第(1)题易错误求出an2n(nN*).【训练2】 (1)已知数列an的前n项和Sn2n23n，则数列an的通项公式an_.(2)已知数列an的前n项和Sn3n1，则数列的通项公式an_.考点三由数列的递推关系求通项【例3】 (1)在数列a
7、n中，a12，an1anln，则an等于()A.2ln n B.2(n1)ln nC.2nln n D.1nln n(2)若a11，nan1(n1)an(n2)，则数列an的通项公式an_.(3)若a11，an12an3，则通项公式an_.(4)若数列an满足a11，an1，则an_.【规律方法】由数列的递推关系求通项公式的常用方法(1)已知a1，且anan1f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1(a10)，且f(n)，可用“累乘法”求an.(3)已知a1，且an1qanb，则an1kq(ank)(其中k可用待定系数法确定)，可转化为ank为等比数列.(4)形如an1(A，B，C为常数
8、)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.【易错警示】本例(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式.【训练3】 (1)(2019山东、湖北部分重点中学联考)已知数列an的前n项和为Sn，若a12，an1an2n11，则an_.(2)若a11，an12nan，则通项公式an_.考点四数列的性质【例4】 (1)数列an的通项an，则数列an中的最大项是()A.3 B.19 C. D.(2)数列an满足an1a1，则数列的第2 019项为_.【规律方法】1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性.2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而
9、利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定an与an1的大小，常用比差或比商法进行判断.【训练4】 (1)已知数列an满足a11，an1a2an1(nN*)，则a2 020_.(2)若ann2kn4且对于nN*，都有an1an成立，则实数k的取值范围是_.【反思与感悟】1.数列是特殊的函数，要利用函数的观点认识数列.2.已知递推关系求通项公式的三种常见方法：(1)算出前几项，再归纳、猜想.(2)形如“an1panq”这种形式通常转化为an1p(an)，由待定系数法求出，再化为等比数列.(3)递推公式化简整理后，若为an1anf(n)型，则采用累加法；若为f(n)型，则采用累乘法.【易错防范】1
10、.解决数列问题应注意三点(1)在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值是正整数.(2)数列的通项公式不一定唯一.(3)注意anSnSn1中需n2.2.数列an中，若an最大，则anan1且anan1；若an最小，则anan1且anan1.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.数列1，3，6，10，15，的一个通项公式是()A.ann2(n1) B.ann21C.an D.an2.已知数列an满足：任意m，nN*，都有anamanm，且a1，那么a5()A. B. C. D.3.(2019江西重点中学盟校联考)在数列an中，a1，an1(n2，nN*)，则a2
11、019的值为()A. B.5 C. D.4.已知数列an的前n项和为Sn，且a12，an1Sn1(nN*)，则S5()A.31 B.42 C.37 D.475.(2019成都诊断)已知f(x)数列an(nN*)满足anf(n)，且an是递增数列，则a的取值范围是()A.(1，) B.C.(1，3) D.(3，)二、填空题6.在数列1，0，中，0.08是它的第_项.7.若数列an的前n项和Sn3n22n1，则数列an的通项公式an_.8.在数列an中，a12，ln，则an_.三、解答题9.(2016全国卷)已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；
12、(2)求an的通项公式.10.已知Sn为正项数列an的前n项和，且满足Snaan(nN*).(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列an的通项公式.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019山东新高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2 018这2 018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小
13、到大的顺序排成一列，构成数列an，则此数列共有()A.98项 B.97项 C.96项 D.95项12.已知数列an的通项公式an(n2)，则数列an的项取最大值时，n_.13.(2019菏泽模拟)已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn(1)nan，记bn8a22n1，若对任意的nN*，总有bn10成立，则实数的取值范围为_.14.已知数列an中，an1(nN*，aR且a0).(1)若a7，求数列an中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的nN*，都有ana6成立，求a的取值范围.【新高考创新预测】15.(数学文化)著名的斐波那契数列an：1，1，2，3，5，8，满足a1a21，an2an1an，nN*，那么1a3a5a7a9a2 017是斐波那契数列的第_项.12