1、第五篇 数列及其应用专题5.03等比数列及其前n项和【考试要求】1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.体会等比数列与指数函数的关系.【知识梳理】1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：q(n2，q为非零常数).(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G.2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列an的首项为a1，公比是q，则其通项公式为ana1qn1；通项公式的推
2、广：anamqnm.(2)等比数列的前n项和公式：当q1时，Snna1；当q1时，Sn.3.等比数列的性质已知an是等比数列，Sn是数列an的前n项和.(1)若klmn(k，l，m，nN*)，则有akalaman.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm.(3)当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等比数列，其公比为qn.【微点提醒】1.若数列an为等比数列，则数列can(c0)，|an|，a，也是等比数列.2.由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3.在运用等比数列的前n项和公式时，
3、必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数.()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac.()(3)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()(4)数列an为等比数列，则S4，S8S4，S12S8成等比数列.()【教材衍化】2.(必修5P53A1(2)改编)已知an是等比数列，a22，a5，则公比q等于()A. B.2 C.2 D.3.(必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_.【真题体
4、验】4.(2019天津和平区质检)已知等比数列an满足a11，a3a54(a41)，则a7的值为()A.2 B.4 C. D.65.(2018北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为()A.f B.f C.f D.f6.(2015全国卷)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和.若Sn126，则n_.【考点聚焦】考点一等比数列基本量的运算【例
5、1】 (1)(2017全国卷)设等比数列an满足a1a21，a1a33，则a4_.(2)等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3，S6，则a8_.【规律方法】1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn.【训练1】 (1)等比数列an中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S38a13a2，a416，则S4()A.9 B.15 C.18 D.30(2)(2017北
6、京卷)若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，则_.考点二等比数列的判定与证明【例2】 已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.【规律方法】1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n1的情形进行验证.【训练2】 (2019广东省级名校联考)已知Sn是数列an的前n项和，且满足Sn2ann4.(1)证明：Snn2为等比数列；(2)求数列Sn的前n项和Tn.考点三等比
7、数列的性质及应用【例3】 (1)等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()A.12 B.10 C.8 D.2log35(2)已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a34，a4a5a68，则S12()A.40 B.60 C.32 D.50【规律方法】1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【训练3】 (1)(2019菏泽质检
8、)在等比数列an中，若a3，a7是方程x24x20的两根，则a5的值是()A.2 B. C. D.(2)(一题多解)设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则_.【反思与感悟】1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.(1)方程思想：如求等比数列中的基本量.(2)分类讨论思想：如求和时要分q1和q1两种情况讨论，判断单调性时对a1与q分类讨论.【易错防范】1.特别注意q1时，Snna1这一特殊情况.2.Sn，S2nSn，S3nS2n未必成等比数列(例如：当公比q1且n为偶数时，Sn，S2nS
9、n，S3nS2n不成等比数列；当q1或q1时且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列)，但等式(S2nSn)2Sn(S3nS2n)总成立.【核心素养提升】【数学运算】等差(比)数列性质的应用1.数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想.类型1等差数列两
10、个性质的应用在等差数列an中，Sn为an的前n项和：(1)S2n1(2n1)an；(2)设an的项数为2n，公差为d，则S偶S奇nd.【例1】 (1)等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1a0，S2m138，则m_.(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227，则数列的公差d_.类型2等比数列两个性质的应用在等比数列an中，(1)若mnpq(m，n，p，qN*)，则anamapaq；(2)当公比q1时，Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列(nN*).【例2】 (1)等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和等于()A.6
11、B.5 C.4 D.3(2)设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于()A. B. C. D.类型3等比数列前n项和Sn相关结论的活用(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列an中，公比为q.若共有2n项，则S偶S奇q.(2)分段求和：SnmSnqnSm(q为公比).【例3】 (1)已知等比数列an共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_.(2)已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为_.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.公比不为1的等比数列an满足a5a6a4a
12、718，若a1am9，则m的值为()A.8 B.9 C.10 D.112.已知各项均为正数的等比数列an中，a4与a14的等比中项为2，则2a7a11的最小值为()A.16 B.8 C.2 D.43.(2019上海崇明区模拟)已知公比q1的等比数列an的前n项和为Sn，a11，S33a3，则S5()A.1 B.5 C. D.4.(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏5.(2
13、019深圳一模)已知等比数列an的前n项和Sna3n1b，则()A.3 B.1 C.1 D.3二、填空题6.等比数列an中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则_.7.已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn1(nN*)，则通项an_.8.(2018南京模拟)已知数列an中，a12，且4(an1an)(nN*)，则其前9项的和S9_.三、解答题9.(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和.若Sm63，求m.10.已知数列an中，点(an，an1)在直线yx2上，且首项a11.(1)求数列an的通项公式；(2)数列
14、an的前n项和为Sn，等比数列bn中，b1a1，b2a2，数列bn的前n项和为Tn，请写出适合条件TnSn的所有n的值.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.已知等比数列an的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4a3，则使得T11的n的最小值为()A.4 B.5 C.6 D.712.数列an中，已知对任意nN*，a1a2a3an3n1，则aaaa等于()A.(3n1)2 B.(9n1)C.9n1 D.(3n1)13.(2019华大新高考联盟质检)设等比数列an的前n项和为Sn，若a3a112a，且S4S12S8，则_.14.已知数列an满足a11，an12an(为常数).(1)试探究数列an是不是等比数列，并求an；(2)当1时，求数列n(an)的前n项和Tn.【新高考创新预测】15.(创新思维)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1a2a3a4ea1a2a3.若a11，则下列选项可能成立的是()A.a1a2a3a2a3a4 D.以上结论都有可能成立12