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专题5.3等比数列及其前n项和 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)原卷版

1、第五篇 数列及其应用专题5.03等比数列及其前n项和【考试要求】1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式;2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题;3.体会等比数列与指数函数的关系.【知识梳理】1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式:q(n2,q为非零常数).(2)如果三个数a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,其中G.2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列an的首项为a1,公比是q,则其通项公式为ana1qn1;通项公式的推

2、广:anamqnm.(2)等比数列的前n项和公式:当q1时,Snna1;当q1时,Sn.3.等比数列的性质已知an是等比数列,Sn是数列an的前n项和.(1)若klmn(k,l,m,nN*),则有akalaman.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,akm,ak2m,仍是等比数列,公比为qm.(3)当q1,或q1且n为奇数时,Sn,S2nSn,S3nS2n,仍成等比数列,其公比为qn.【微点提醒】1.若数列an为等比数列,则数列can(c0),|an|,a,也是等比数列.2.由an1qan,q0,并不能立即断言an为等比数列,还要验证a10.3.在运用等比数列的前n项和公式时,

3、必须注意对q1与q1分类讨论,防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)等比数列公比q是一个常数,它可以是任意实数.()(2)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2ac.()(3)数列an的通项公式是anan,则其前n项和为Sn.()(4)数列an为等比数列,则S4,S8S4,S12S8成等比数列.()【教材衍化】2.(必修5P53A1(2)改编)已知an是等比数列,a22,a5,则公比q等于()A. B.2 C.2 D.3.(必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为_.【真题体

4、验】4.(2019天津和平区质检)已知等比数列an满足a11,a3a54(a41),则a7的值为()A.2 B.4 C. D.65.(2018北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为()A.f B.f C.f D.f6.(2015全国卷)在数列an中,a12,an12an,Sn为an的前n项和.若Sn126,则n_.【考点聚焦】考点一等比数列基本量的运算【例

5、1】 (1)(2017全国卷)设等比数列an满足a1a21,a1a33,则a4_.(2)等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn,已知S3,S6,则a8_.【规律方法】1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q1时,an的前n项和Snna1;当q1时,an的前n项和Sn.【训练1】 (1)等比数列an中各项均为正数,Sn是其前n项和,且满足2S38a13a2,a416,则S4()A.9 B.15 C.18 D.30(2)(2017北

6、京卷)若等差数列an和等比数列bn满足a1b11,a4b48,则_.考点二等比数列的判定与证明【例2】 已知数列an的前n项和Sn1an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5,求.【规律方法】1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时,要注意对n1的情形进行验证.【训练2】 (2019广东省级名校联考)已知Sn是数列an的前n项和,且满足Sn2ann4.(1)证明:Snn2为等比数列;(2)求数列Sn的前n项和Tn.考点三等比

7、数列的性质及应用【例3】 (1)等比数列an的各项均为正数,且a5a6a4a718,则log3a1log3a2log3a10()A.12 B.10 C.8 D.2log35(2)已知数列an是等比数列,Sn为其前n项和,若a1a2a34,a4a5a68,则S12()A.40 B.60 C.32 D.50【规律方法】1.在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若mnpq,则amanapaq”,可以减少运算量,提高解题速度.2.在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.【训练3】 (1)(2019菏泽质检

8、)在等比数列an中,若a3,a7是方程x24x20的两根,则a5的值是()A.2 B. C. D.(2)(一题多解)设等比数列an的前n项和为Sn,若3,则_.【反思与感悟】1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.2.(1)方程思想:如求等比数列中的基本量.(2)分类讨论思想:如求和时要分q1和q1两种情况讨论,判断单调性时对a1与q分类讨论.【易错防范】1.特别注意q1时,Snna1这一特殊情况.2.Sn,S2nSn,S3nS2n未必成等比数列(例如:当公比q1且n为偶数时,Sn,S2nS

9、n,S3nS2n不成等比数列;当q1或q1时且n为奇数时,Sn,S2nSn,S3nS2n成等比数列),但等式(S2nSn)2Sn(S3nS2n)总成立.【核心素养提升】【数学运算】等差(比)数列性质的应用1.数学运算是指在明析运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为:理解数列问题,掌握数列运算法则,探究运算思路,求得运算结果.通过对数列性质的学习,发展数学运算能力,促进数学思维发展.2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则,能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题,能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法,体会其中的数学思想.类型1等差数列两

10、个性质的应用在等差数列an中,Sn为an的前n项和:(1)S2n1(2n1)an;(2)设an的项数为2n,公差为d,则S偶S奇nd.【例1】 (1)等差数列an的前n项和为Sn,已知am1am1a0,S2m138,则m_.(2)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227,则数列的公差d_.类型2等比数列两个性质的应用在等比数列an中,(1)若mnpq(m,n,p,qN*),则anamapaq;(2)当公比q1时,Sn,S2nSn,S3nS2n,成等比数列(nN*).【例2】 (1)等比数列an中,a42,a55,则数列lg an的前8项和等于()A.6

11、B.5 C.4 D.3(2)设等比数列an中,前n项和为Sn,已知S38,S67,则a7a8a9等于()A. B. C. D.类型3等比数列前n项和Sn相关结论的活用(1)项的个数的“奇偶”性质:等比数列an中,公比为q.若共有2n项,则S偶S奇q.(2)分段求和:SnmSnqnSm(q为公比).【例3】 (1)已知等比数列an共有2n项,其和为240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q_.(2)已知an是首项为1的等比数列,Sn是an的前n项和,且9S3S6,则数列的前5项和为_.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时:40分钟)一、选择题1.公比不为1的等比数列an满足a5a6a4a

12、718,若a1am9,则m的值为()A.8 B.9 C.10 D.112.已知各项均为正数的等比数列an中,a4与a14的等比中项为2,则2a7a11的最小值为()A.16 B.8 C.2 D.43.(2019上海崇明区模拟)已知公比q1的等比数列an的前n项和为Sn,a11,S33a3,则S5()A.1 B.5 C. D.4.(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏5.(2

13、019深圳一模)已知等比数列an的前n项和Sna3n1b,则()A.3 B.1 C.1 D.3二、填空题6.等比数列an中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则_.7.已知数列an的前n项和为Sn,且满足anSn1(nN*),则通项an_.8.(2018南京模拟)已知数列an中,a12,且4(an1an)(nN*),则其前9项的和S9_.三、解答题9.(2018全国卷)等比数列an中,a11,a54a3.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和.若Sm63,求m.10.已知数列an中,点(an,an1)在直线yx2上,且首项a11.(1)求数列an的通项公式;(2)数列

14、an的前n项和为Sn,等比数列bn中,b1a1,b2a2,数列bn的前n项和为Tn,请写出适合条件TnSn的所有n的值.【能力提升题组】(建议用时:20分钟)11.已知等比数列an的各项均为正数且公比大于1,前n项积为Tn,且a2a4a3,则使得T11的n的最小值为()A.4 B.5 C.6 D.712.数列an中,已知对任意nN*,a1a2a3an3n1,则aaaa等于()A.(3n1)2 B.(9n1)C.9n1 D.(3n1)13.(2019华大新高考联盟质检)设等比数列an的前n项和为Sn,若a3a112a,且S4S12S8,则_.14.已知数列an满足a11,an12an(为常数).(1)试探究数列an是不是等比数列,并求an;(2)当1时,求数列n(an)的前n项和Tn.【新高考创新预测】15.(创新思维)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1a2a3a4ea1a2a3.若a11,则下列选项可能成立的是()A.a1a2a3a2a3a4 D.以上结论都有可能成立12