1、第四篇 三角函数与解三角形专题4.02同角三角函数基本关系式与诱导公式【考试要求】1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，tan ；2.能利用定义推导出诱导公式.【知识梳理】1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan .2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【微点提醒】1.同角三角函数关系式的常用变形(sin cos )212sin cos
2、 ；sin tan cos .2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)sin()sin 成立的条件是为锐角.()(2)六组诱导公式中的角可以是任意角.()(3)若R，则tan 恒成立.()(4)若sin(k)(kZ)，则sin .()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)中对于任意R，恒有sin()sin .(3)中当的终边落在y轴，商数关系不成立.(4)当k为奇数时，sin ，当k为偶数时，
3、sin .【教材衍化】2.(必修4P21A12改编)已知tan 3，则cos2sin2()A. B. C. D.【答案】B【解析】由同角三角函数关系得cos2sin2.3.(必修4P29B2改编)已知为锐角，且sin ，则cos ()()A. B. C. D.【答案】A【解析】因为为锐角，所以cos ，故cos()cos .【真题体验】4.(2017全国卷)已知sin cos ，则sin 2()A. B. C. D.【答案】A【解析】(sin cos )212sin cos 1sin 2，sin 21.5.(2019济南质检)若sin ，且为第四象限角，则tan ()A. B. C. D.【答
4、案】D【解析】sin ，为第四象限角，cos ，因此tan .6.(2018上海嘉定区月考)化简：_.【答案】1【解析】原式1.【考点聚焦】考点一同角三角函数基本关系式角度1公式的直接运用【例11】 (2018延安模拟)已知，且sin ，则cos ()A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，且sin sin，所以为第三象限角，所以cos .角度2关于sin ，cos 的齐次式问题【例12】 已知1，求下列各式的值.(1)；(2)sin2sin cos 2.【答案】见解析【解析】由已知得tan .(1).(2)sin2sin cos 2222.角度3“sin cos ，sin cos ”之
5、间的关系【例13】 已知x(，0)，sin xcos x.(1)求sin xcos x的值；(2)求的值.【答案】见解析【解析】(1)由sin xcos x，平方得sin2x2sin xcos xcos2x，整理得2sin xcos x.所以(sin xcos x)212sin xcos x.由x(，0)，知sin x0，所以cos x0，则sin xcos x0，故sin xcos x.(2).【规律方法】1.同角三角函数关系的用途：根据已知角的一个三角函数值求解另外的三角函数值，对三角函数式进行变换.(1)利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化.(2)利用tan 可以实现角的弦
6、切互化.2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二.3.注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.【训练1】 (1)(2019烟台测试)已知sin cos ，且，则cos sin 的值为()A. B. C. D.(2)已知5，则cos2sin 2的值是()A. B. C.3 D.3【答案】(1)B(2)A【解析】(1)，cos 0，sin sin ，cos sin 0.又(cos sin )212sin cos 12，cos sin
7、.(2)由5得5，可得tan 2，则cos2sin 2cos2sin cos .考点二诱导公式的应用【例2】 (1)设f()(12sin 0)，则f_.(2)已知cosa，则cossin的值是_.【答案】(1)(2)0【解析】(1)f()，f.(2)coscoscosa，sinsina，cossinaa0.【规律方法】1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2.含2整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接将2的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5)cos()cos .【训练2】
8、 (1)(2019衡水中学调研)若cos，则cos(2)()A. B. C. D.(2)(2017北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin ，则sin _.【答案】(1)D(2)【解析】(1)由cos，得sin .cos(2)cos 2(12sin2)2sin2121.(2)与的终边关于y轴对称，则2k，kZ，2k，kZ.sin sin(2k)sin .考点三同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2019菏泽联考)已知，sin，则tan(2)()A. B. C. D.(2)(2019福建四地六校联考)已知为锐角，且2tan(
9、)3cos50，tan()6sin()10，则sin 的值是()A. B. C. D.【答案】(1)A(2)C【解析】(1)，sin，cos ，sin ，tan 2.tan(2)tan 2.(2)由已知得消去sin ，得tan 3，sin 3cos ，代入sin2cos21，化简得sin2，则sin (为锐角). (3)已知x0，sin(x)cos x.求sin xcos x的值；求的值.【答案】见解析【解析】由已知，得sin xcos x，两边平方得sin2x2sin xcos xcos2 x，整理得2sin xcos x.(sin xcos x)212sin xcos x，由x0知，sin
10、 x0，又sin xcos x0，sin xcos x0，故sin xcos x.【规律方法】1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.(1)注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号；(2)熟记一些常见互补的角、互余的角，如与互余等.【训练3】 (1)(2019湖北七州市联考)已知(0，)，且cos ，则sintan ()A. B. C. D.(2)已知是第四象限角，且sin，则tan_.【答案】(1)C(2)【解析】(1)(0，)，且cos ，sin ，因此sintan cos sin .(2)由题意，得
11、cos，tan.tantan.【反思与感悟】1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明.2.三角函数求值、化简的常用方法：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x进行切化弦或弦化切，如，asin2xbsin xcos xccos2x等类型可进行弦化切.(2)和积转换法：如利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化.(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2(1)tan 等.【易错防范】1.利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化
12、锐.特别注意函数名称和符号的确定.2.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.sin 600的值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】sin 600sin(360240)sin 240sin(18060)sin 60.2.已知直线2xy10的倾斜角为，则sin 22cos2()A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知tan 2，sin 22cos2.3.()A.sin 2cos 2 B.sin 2cos 2C.(sin 2cos 2) D.cos 2sin 2 【答案】A【解析】|sin 2cos 2|s
13、in 2cos 2.4.已知sin()cos(2)，|，则等于()A. B. C. D.【答案】D【解析】sin()cos(2)，sin cos ，tan ，|，.5.已知sin，则cos()A. B. C. D.【答案】B【解析】因为sin，所以cossinsin.6.(2019兰州质检)向量a，b(cos ，1)，且ab，则cos()A. B. C. D.【答案】A【解析】a，b(cos ，1)，且ab，1tan cos 0，sin ，cossin .7.已知函数f(x)asin(x)bcos(x)，且f(4)3，则f(2 020)的值为()A.1 B.1 C.3 D.3【答案】C【解析】
14、f(4)asin(4)bcos(4)asin bcos 3，f(2 020)asin(2 020)bcos(2 020)asin bcos 3.二、填空题8.(2019广东七校联考)已知sin ，且为第三象限的角，则tan _.【答案】【解析】sin ，且为第三象限的角，cos ，tan .9.已知tan，则tan_.【答案】【解析】，tantantan.10.已知sin cos ，则sin cos 的值为_.【答案】【解析】sin cos ，sin cos .又(sin cos )212sin cos ，又，sin cos .11.已知tan 3，则cos_.【答案】【解析】tan 3，co
15、ssin 2.12.(2019邯郸一模)若sin()3sin()，且，则_.【答案】2【解析】由条件，得sin()3sin()，sin cos 2cos sin ，则tan 2tan ，因此2.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.若sin ，cos 是方程4x22mxm0的两根，则m的值为()A.1 B.1C.1 D.1【答案】B【解析】由题意知sin cos ，sin cos .又12sin cos ，1，解得m1.又4m216m0，m0或m4，m1.14.已知sincos，且0，则sin _，cos _.【答案】【解析】sincoscos (sin )sin cos .0，0sin
16、 cos .又sin2cos21，sin ，cos .15.已知kZ，化简：_.【答案】1【解析】当k2n(nZ)时，原式1；当k2n1(nZ)时，原式1.综上，原式1.16.是否存在，(0，)，使等式sin(3)cos，cos()cos()同时成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.【答案】见解析【解析】假设存在角，满足条件，则由已知条件可得由22，得sin23cos22.sin2，sin .，.当时，由式知cos ，又(0，)，此时式成立；当时，由式知cos ，又(0，)，此时式不成立，故舍去.存在，满足条件.【新高考创新预测】17.(多填题)已知sin ，则cos()_，cos 2_.【答案】【解析】cos()cos ，cos 2cos2sin2.14