1、第三篇 导数及其应用专题3.01导数的概念及运算【考试要求】1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数yc，yx，yx2，yx3，y，y的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(axb)的导数；6.会使用导数公式表.【知识梳理】1.函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导
2、数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0).(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率.相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0).2.函数yf(x)的导函数如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数f(x)lim 称为函数yf(x)在开区间内的导函数.3.导数公式表基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0
3、)f(x)axln af(x)ln xf(x)f(x)logax (a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有：(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0).5.复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux.【微点提醒】1.f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，且(f(x0)0.2.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数yf(x)的导数f(x)
4、反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率.()(2)函数f(x)sin(x)的导数f(x)cos x.()(3)求f(x0)时，可先求f(x0)，再求f(x0).()(4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)f(x0)表示yf(x)在xx0处的瞬时变化率，(1)错.(2)f(x)sin(x)sin x，则f(x)cos x，(2)错
5、.(3)求f(x0)时，应先求f(x)，再代入求值，(3)错.【教材衍化】2.(选修22P19B2改编)曲线yx311在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.9 B.3 C.9 D.15【答案】C【解析】因为yx311，所以y3x2，所以y|x13，所以曲线yx311在点P(1，12)处的切线方程为y123(x1).令x0，得y9.3.(选修22P3例题改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)4.9t26.5t10，则运动员的速度v_ m/s，加速度a_ m/s2.【答案】9.8t6.59.8【解析】vh(t)9.8t6.5，av(t)9.8.
6、【真题体验】4.(2019青岛质检)已知函数f(x)x(2 018ln x)，若f(x0)2 019，则x0等于()A.e2 B.1 C.ln 2 D.e【答案】B【解析】f(x)2 018ln xx2 019ln x.由f(x0)2 019，得2 019ln x02 019，则ln x00，解得x01.5.(2018天津卷)已知函数f(x)exln x，f(x)为f(x)的导函数，则f(1)的值为_.【答案】e【解析】由题意得f(x)exln xex，则f(1)e.6.(2017全国卷)曲线yx2在点(1，2)处的切线方程为_.【答案】yx1【解析】设yf(x)，则f(x)2x，所以f(1)
7、211，所以在(1，2)处的切线方程为y21(x1)，即yx1.【考点聚焦】考点一导数的运算角度1根据求导法则求函数的导数【例11】 分别求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(3)f(x)ln .【答案】见解析【解析】(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xex.(2)因为yx31，所以y3x2.(3)因为yln ln，所以y(12x).角度2抽象函数的导数计算【例12】 (2019天津河西区调研)已知函数f(x)的导函数是f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln ，则f(1)()A.e B.2 C.2 D.e【答案】B【解析】由已知得f(x)2f(1)，令x1得f
8、(1)2f(1)1，解得f(1)1，则f(1)2f(1)2.【规律方法】1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.【训练1】 (1)若yxcos sin ，则y_.(2)已知f(x)x22xf(1)，则f(0)_.【答案】(1)1cos x(2)4【解析】(1)因为yxsin x，所以yx1cos x.(2)f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2.f(x)2x4，f(0)4.考点二导数的几何意义角度1求切线方程【例21】
9、 (2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为()A.y2x B.yxC.y2x D.yx【答案】D【解析】因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以a10，则a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.角度2求切点坐标【例22】 (1)(2019聊城月考)已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A.3 B.2 C.1 D.(2)设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_.【答案】
10、(1)A(2)(1，1)【解析】(1)设切点的横坐标为x0(x00)，曲线y3ln x的一条切线的斜率为，y，即，解得x03或x02(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3.(2)函数yex的导函数为yex，曲线yex在点(0，1)处的切线的斜率k1e01.设P(x0，y0)(x00)，函数y的导函数为y，曲线y(x0)在点P处的切线的斜率k2，由题意知k1k21，即11，解得x1，又x00，x01.又点P在曲线y(x0)上，y01，故点P的坐标为(1，1).角度3求参数的值或取值范围【例23】 (1)函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是()A.(，
11、2 B.(，2) C.(2，) D.(0，)(2)(2019河南六市联考)已知曲线f(x)xb(x0)在点(1，f(1)处的切线方程为y2x5，则ab_.【答案】(1)B(2)8【解析】(1)由题意知f(x)2在(0，)上有解.f(x)a2在(0，)上有解，则a2.因为x0，所以22，所以a的取值范围是(，2).(2)f(x)1，f(1)1a，又f(1)1ab，曲线在(1，f(1)处的切线方程为y(1ab)(1a)(x1)，即y(1a)x2ab，根据题意有解得ab178.【规律方法】1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方
12、程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上.【训练2】 (1)(2019东莞二调)设函数f(x)x3ax2，若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为xy0，则点P的坐标为()A.(0，0) B.(1，1)C.(1，1) D.(1，1)或(1，1)(2)(2018全国卷)曲线y2ln(x1)在点(0，0)处的切线方程为_.【答案】(1)D(2)y2x【解析】(1)由f(x)x3ax2
13、，得f(x)3x22ax.根据题意可得f(x0)1，f(x0)x0，可列方程组解得或当x01时，f(x0)1，当x01时，f(x0)1.点P的坐标为(1，1)或(1，1).(2)由题意得y.在点(0，0)处切线斜率ky|x02.曲线y2ln(x1)在点(0，0)处的切线方程为y02(x0)，即y2x.【反思与感悟】1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导.2.求曲线的
14、切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点.3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解.【易错防范】1.求导常见易错点：公式(xn)nxn1与(ax)axln a相互混淆；公式中“”“”号记混，如出现如下错误：，(cos x)sin x；复合函数求导分不清内、外层函数.2.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.下列求导数的运算中错误的是()A.(3x)3xln 3B.(x2ln x)2xln xxC.D.(sin
15、xcos x)cos 2x【答案】C【解析】因为，C项错误.2.(2019日照质检)已知f(x)xln x，若f(x0)2，则x0等于()A.e2 B.e C. D.ln 2【答案】B【解析】f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，由f(x0)2，即ln x012，解得x0e.3.函数yx3的图象在原点处的切线方程为()A.yx B.x0C.y0 D.不存在【答案】C【解析】函数yx3的导数为y3x2，则在原点处的切线斜率为0，所以在原点处的切线方程为y00(x0)，即y0.4.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为st33t28t，那么速度为零的时刻是()A.1秒末 B.1
16、秒末和2秒末C.4秒末 D.2秒末和4秒末【答案】D【解析】s(t)t26t8，由导数的定义知vs(t)，令s(t)0，得t2或4，即2秒末和4秒末的速度为零.5.(2019南阳一模)函数f(x)xg(x)的图象在点x2处的切线方程是yx1，则g(2)g(2)()A.7 B.4 C.0 D.4【答案】A【解析】f(x)xg(x)，f(x)1g(x)，又由题意知f(2)3，f(2)1，g(2)g(2)2f(2)1f(2)7.6.已知e为自然对数的底数，曲线yaexx在点(1，ae1)处的切线与直线2exy10平行，则实数a()A. B. C. D.【答案】B【解析】yaex1，在点(1，ae1)
17、处的切线的斜率为y|x1ae1，又切线与直线2exy10平行，ae12e，解得a.7.如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是()【答案】D【解析】由yf(x)的图象知，yf(x)在(0，)上是单调递减的，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也是单调递减的，故可排除A，C；又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.8.(2019广州调研)已知直线ykx2与曲线yxln x相切，则实数k的值为()A.ln 2 B.1C.1ln 2 D.1ln 2【答
18、案】D【解析】由yxln x得yln x1，设切点为(x0，y0)，则kln x01，切点(x0，y0)(x00)既在曲线yxln x上又在直线ykx2上，kx02x0ln x0，kln x0，则ln x0ln x01，x02，kln 21.二、填空题9.已知曲线f(x)2x21在点M(x0，f(x0)处的瞬时变化率为8，则点M的坐标为_.【答案】(2，9)【解析】由题意得f(x)4x，令4x08，则x02，f(x0)9，点M的坐标是(2，9).10.(2017天津卷)已知aR，设函数f(x)axln x的图象在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为_.【答案】1【解析】f(1)a
19、，切点为(1，a).f(x)a，则切线的斜率为f(1)a1，切线方程为：ya(a1)(x1)，令x0得出y1，故l在y轴上的截距为1.11.已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)ln x，则f(2)_.【答案】【解析】因为f(x)x23xf(2)ln x，所以f(x)2x3f(2)，所以f(2)43f(2)3f(2)，所以f(2).12.已知函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线方程为y2x1，则曲线g(x)x2f(x)在点(2，g(2)处的切线方程为_.【答案】6xy50【解析】由题意，知f(2)2213，g(2)437，g(x)2xf(x)，f(2
20、)2，g(2)2226，曲线g(x)x2f(x)在点(2，g(2)处的切线方程为y76(x2)，即6xy50.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2019深圳二模)设函数f(x)xb，若曲线yf(x)在点(a，f(a)处的切线经过坐标原点，则ab()A.1 B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】由题意可得，f(a)ab，f(x)1，所以f(a)1，故切线方程是yab(xa)，将(0，0)代入得ab(a)，故b，故ab2.14.已知函数f(x)|x3axb|(a，bR)，若对任意的x1，x20，1，f(x1)f(x2)2|x1x2|恒成立，则实数a的取值范围是_.【答案】2，1【解析
21、】当x1x2时，f(x1)f(x2)2|x1x2|恒成立；当x1x2时，由f(x1)f(x2)2|x1x2|得2，故函数f(x)在0，1上的导函数f(x)满足|f(x)|2，函数yx3axb的导函数为y3x2a，其中0，1上的值域为a，a3，则有解得2a1.综上所述，实数a的取值范围为2，1.15.函数g(x)ln x图象上一点P到直线yx的最短距离为_.【答案】【解析】设点(x0，ln x0)是曲线g(x)ln x的切线中与直线yx平行的直线的切点，因为g(x)(ln x)，则1，x01，则切点坐标为(1，0)，最短距离为(1，0)到直线yx的距离，即为.16.若函数f(x)x2axln x
22、存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_.【答案】2，)【解析】f(x)x2axln x，定义域为(0，)，f(x)xa.f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，即xa0有解，ax2(当且仅当x1时取等号).【新高考创新预测】17.(新定义题型)定义1：若函数f(x)在区间D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在区间D上也可导，则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数，记作f(x)f(x).定义2：若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正，即f(x)0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凹函数.已知函数f(x)x3x21在区间D上为凹函数，则x的取值范围是_.【答案】【解析】因为f(x)x3x21，因为f(x)3x23x，f(x)6x3，令f(x)0，解得x，故x的取值范围是.13