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专题3.1导数的概念及运算 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)解析版

1、第三篇 导数及其应用专题3.01导数的概念及运算【考试要求】1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想;2.体会极限思想;3.通过函数图象直观理解导数的几何意义;4.能根据导数定义求函数yc,yx,yx2,yx3,y,y的导数;5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如f(axb)的导数;6.会使用导数公式表.【知识梳理】1.函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义:称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导

2、数,记作f(x0)或y|xx0,即f(x0).(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0,f(x0)处的切线的斜率.相应地,切线方程为yy0f(x0)(xx0).2.函数yf(x)的导函数如果函数yf(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新函数,函数f(x)lim 称为函数yf(x)在开区间内的导函数.3.导数公式表基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0

3、)f(x)axln af(x)ln xf(x)f(x)logax (a0,a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x),g(x)存在,则有:(1)f(x)g(x)f(x)g(x);(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x);(3)(g(x)0).5.复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u),ug(x)的导数间的关系为yxyuux.【微点提醒】1.f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值;(f(x0)是函数值f(x0)的导数,且(f(x0)0.2.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数yf(x)的导数f(x)

4、反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f(x)|反映了变化的快慢,|f(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率.()(2)函数f(x)sin(x)的导数f(x)cos x.()(3)求f(x0)时,可先求f(x0),再求f(x0).()(4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)f(x0)表示yf(x)在xx0处的瞬时变化率,(1)错.(2)f(x)sin(x)sin x,则f(x)cos x,(2)错

5、.(3)求f(x0)时,应先求f(x),再代入求值,(3)错.【教材衍化】2.(选修22P19B2改编)曲线yx311在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.9 B.3 C.9 D.15【答案】C【解析】因为yx311,所以y3x2,所以y|x13,所以曲线yx311在点P(1,12)处的切线方程为y123(x1).令x0,得y9.3.(选修22P3例题改编)在高台跳水运动中,t s时运动员相对于水面的高度(单位:m)是h(t)4.9t26.5t10,则运动员的速度v_ m/s,加速度a_ m/s2.【答案】9.8t6.59.8【解析】vh(t)9.8t6.5,av(t)9.8.

6、【真题体验】4.(2019青岛质检)已知函数f(x)x(2 018ln x),若f(x0)2 019,则x0等于()A.e2 B.1 C.ln 2 D.e【答案】B【解析】f(x)2 018ln xx2 019ln x.由f(x0)2 019,得2 019ln x02 019,则ln x00,解得x01.5.(2018天津卷)已知函数f(x)exln x,f(x)为f(x)的导函数,则f(1)的值为_.【答案】e【解析】由题意得f(x)exln xex,则f(1)e.6.(2017全国卷)曲线yx2在点(1,2)处的切线方程为_.【答案】yx1【解析】设yf(x),则f(x)2x,所以f(1)

7、211,所以在(1,2)处的切线方程为y21(x1),即yx1.【考点聚焦】考点一导数的运算角度1根据求导法则求函数的导数【例11】 分别求下列函数的导数:(1)yexln x;(2)yx;(3)f(x)ln .【答案】见解析【解析】(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xex.(2)因为yx31,所以y3x2.(3)因为yln ln,所以y(12x).角度2抽象函数的导数计算【例12】 (2019天津河西区调研)已知函数f(x)的导函数是f(x),且满足f(x)2xf(1)ln ,则f(1)()A.e B.2 C.2 D.e【答案】B【解析】由已知得f(x)2f(1),令x1得f

8、(1)2f(1)1,解得f(1)1,则f(1)2f(1)2.【规律方法】1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导.2.复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.3.抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.【训练1】 (1)若yxcos sin ,则y_.(2)已知f(x)x22xf(1),则f(0)_.【答案】(1)1cos x(2)4【解析】(1)因为yxsin x,所以yx1cos x.(2)f(x)2x2f(1),f(1)22f(1),即f(1)2.f(x)2x4,f(0)4.考点二导数的几何意义角度1求切线方程【例21】

9、 (2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数,则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y2x B.yxC.y2x D.yx【答案】D【解析】因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数,所以a10,则a1,所以f(x)x3x,所以f(x)3x21,所以f(0)1,所以曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.角度2求切点坐标【例22】 (1)(2019聊城月考)已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为()A.3 B.2 C.1 D.(2)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为_.【答案】

10、(1)A(2)(1,1)【解析】(1)设切点的横坐标为x0(x00),曲线y3ln x的一条切线的斜率为,y,即,解得x03或x02(舍去,不符合题意),即切点的横坐标为3.(2)函数yex的导函数为yex,曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01.设P(x0,y0)(x00),函数y的导函数为y,曲线y(x0)在点P处的切线的斜率k2,由题意知k1k21,即11,解得x1,又x00,x01.又点P在曲线y(x0)上,y01,故点P的坐标为(1,1).角度3求参数的值或取值范围【例23】 (1)函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线,则实数a的取值范围是()A.(,

11、2 B.(,2) C.(2,) D.(0,)(2)(2019河南六市联考)已知曲线f(x)xb(x0)在点(1,f(1)处的切线方程为y2x5,则ab_.【答案】(1)B(2)8【解析】(1)由题意知f(x)2在(0,)上有解.f(x)a2在(0,)上有解,则a2.因为x0,所以22,所以a的取值范围是(,2).(2)f(x)1,f(1)1a,又f(1)1ab,曲线在(1,f(1)处的切线方程为y(1ab)(1a)(x1),即y(1a)x2ab,根据题意有解得ab178.【规律方法】1.求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方

12、程是yf(x0)f(x0)(xx0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:切点处的导数是切线的斜率;切点在切线上;切点在曲线上.【训练2】 (1)(2019东莞二调)设函数f(x)x3ax2,若曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程为xy0,则点P的坐标为()A.(0,0) B.(1,1)C.(1,1) D.(1,1)或(1,1)(2)(2018全国卷)曲线y2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为_.【答案】(1)D(2)y2x【解析】(1)由f(x)x3ax2

13、,得f(x)3x22ax.根据题意可得f(x0)1,f(x0)x0,可列方程组解得或当x01时,f(x0)1,当x01时,f(x0)1.点P的坐标为(1,1)或(1,1).(2)由题意得y.在点(0,0)处切线斜率ky|x02.曲线y2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y02(x0),即y2x.【反思与感悟】1.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.对于复合函数求导,关键在于分清复合关系,适当选取中间变量,然后“由外及内”逐层求导.2.求曲线的

14、切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点,则可通过点斜式直接写方程,若已知点不是切点,则需设出切点.3.处理与切线有关的参数问题时,一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解.【易错防范】1.求导常见易错点:公式(xn)nxn1与(ax)axln a相互混淆;公式中“”“”号记混,如出现如下错误:,(cos x)sin x;复合函数求导分不清内、外层函数.2.求切线方程时,把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时:35分钟)一、选择题1.下列求导数的运算中错误的是()A.(3x)3xln 3B.(x2ln x)2xln xxC.D.(sin

15、xcos x)cos 2x【答案】C【解析】因为,C项错误.2.(2019日照质检)已知f(x)xln x,若f(x0)2,则x0等于()A.e2 B.e C. D.ln 2【答案】B【解析】f(x)的定义域为(0,),f(x)ln x1,由f(x0)2,即ln x012,解得x0e.3.函数yx3的图象在原点处的切线方程为()A.yx B.x0C.y0 D.不存在【答案】C【解析】函数yx3的导数为y3x2,则在原点处的切线斜率为0,所以在原点处的切线方程为y00(x0),即y0.4.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为st33t28t,那么速度为零的时刻是()A.1秒末 B.1

16、秒末和2秒末C.4秒末 D.2秒末和4秒末【答案】D【解析】s(t)t26t8,由导数的定义知vs(t),令s(t)0,得t2或4,即2秒末和4秒末的速度为零.5.(2019南阳一模)函数f(x)xg(x)的图象在点x2处的切线方程是yx1,则g(2)g(2)()A.7 B.4 C.0 D.4【答案】A【解析】f(x)xg(x),f(x)1g(x),又由题意知f(2)3,f(2)1,g(2)g(2)2f(2)1f(2)7.6.已知e为自然对数的底数,曲线yaexx在点(1,ae1)处的切线与直线2exy10平行,则实数a()A. B. C. D.【答案】B【解析】yaex1,在点(1,ae1)

17、处的切线的斜率为y|x1ae1,又切线与直线2exy10平行,ae12e,解得a.7.如图所示为函数yf(x),yg(x)的导函数的图象,那么yf(x),yg(x)的图象可能是()【答案】D【解析】由yf(x)的图象知,yf(x)在(0,)上是单调递减的,说明函数yf(x)的切线的斜率在(0,)上也是单调递减的,故可排除A,C;又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交,说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.8.(2019广州调研)已知直线ykx2与曲线yxln x相切,则实数k的值为()A.ln 2 B.1C.1ln 2 D.1ln 2【答

18、案】D【解析】由yxln x得yln x1,设切点为(x0,y0),则kln x01,切点(x0,y0)(x00)既在曲线yxln x上又在直线ykx2上,kx02x0ln x0,kln x0,则ln x0ln x01,x02,kln 21.二、填空题9.已知曲线f(x)2x21在点M(x0,f(x0)处的瞬时变化率为8,则点M的坐标为_.【答案】(2,9)【解析】由题意得f(x)4x,令4x08,则x02,f(x0)9,点M的坐标是(2,9).10.(2017天津卷)已知aR,设函数f(x)axln x的图象在点(1,f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为_.【答案】1【解析】f(1)a

19、,切点为(1,a).f(x)a,则切线的斜率为f(1)a1,切线方程为:ya(a1)(x1),令x0得出y1,故l在y轴上的截距为1.11.已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足关系式f(x)x23xf(2)ln x,则f(2)_.【答案】【解析】因为f(x)x23xf(2)ln x,所以f(x)2x3f(2),所以f(2)43f(2)3f(2),所以f(2).12.已知函数yf(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为y2x1,则曲线g(x)x2f(x)在点(2,g(2)处的切线方程为_.【答案】6xy50【解析】由题意,知f(2)2213,g(2)437,g(x)2xf(x),f(2

20、)2,g(2)2226,曲线g(x)x2f(x)在点(2,g(2)处的切线方程为y76(x2),即6xy50.【能力提升题组】(建议用时:15分钟)13.(2019深圳二模)设函数f(x)xb,若曲线yf(x)在点(a,f(a)处的切线经过坐标原点,则ab()A.1 B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】由题意可得,f(a)ab,f(x)1,所以f(a)1,故切线方程是yab(xa),将(0,0)代入得ab(a),故b,故ab2.14.已知函数f(x)|x3axb|(a,bR),若对任意的x1,x20,1,f(x1)f(x2)2|x1x2|恒成立,则实数a的取值范围是_.【答案】2,1【解析

21、】当x1x2时,f(x1)f(x2)2|x1x2|恒成立;当x1x2时,由f(x1)f(x2)2|x1x2|得2,故函数f(x)在0,1上的导函数f(x)满足|f(x)|2,函数yx3axb的导函数为y3x2a,其中0,1上的值域为a,a3,则有解得2a1.综上所述,实数a的取值范围为2,1.15.函数g(x)ln x图象上一点P到直线yx的最短距离为_.【答案】【解析】设点(x0,ln x0)是曲线g(x)ln x的切线中与直线yx平行的直线的切点,因为g(x)(ln x),则1,x01,则切点坐标为(1,0),最短距离为(1,0)到直线yx的距离,即为.16.若函数f(x)x2axln x

22、存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是_.【答案】2,)【解析】f(x)x2axln x,定义域为(0,),f(x)xa.f(x)存在垂直于y轴的切线,f(x)存在零点,即xa0有解,ax2(当且仅当x1时取等号).【新高考创新预测】17.(新定义题型)定义1:若函数f(x)在区间D上可导,即f(x)存在,且导函数f(x)在区间D上也可导,则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数,记作f(x)f(x).定义2:若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正,即f(x)0恒成立,则称函数f(x)在区间D上为凹函数.已知函数f(x)x3x21在区间D上为凹函数,则x的取值范围是_.【答案】【解析】因为f(x)x3x21,因为f(x)3x23x,f(x)6x3,令f(x)0,解得x,故x的取值范围是.13