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专题4.2同角三角函数的基本关系式与诱导公式 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)原卷版

1、第四篇 三角函数与解三角形专题4.02同角三角函数基本关系式与诱导公式【考试要求】1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2cos21,tan ;2.能利用定义推导出诱导公式.【知识梳理】1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin2cos21.(2)商数关系:tan .2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限【微点提醒】1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin cos )212sin co

2、s ;sin tan cos .2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)sin()sin 成立的条件是为锐角.()(2)六组诱导公式中的角可以是任意角.()(3)若R,则tan 恒成立.()(4)若sin(k)(kZ),则sin .()【教材衍化】2.(必修4P21A12改编)已知tan 3,则cos2sin2()A. B. C. D.3.(必修4P29B2改编)已知为锐角,且sin ,则cos ()

3、()A. B. C. D.【真题体验】4.(2017全国卷)已知sin cos ,则sin 2()A. B. C. D.5.(2019济南质检)若sin ,且为第四象限角,则tan ()A. B. C. D.6.(2018上海嘉定区月考)化简:_.【考点聚焦】考点一同角三角函数基本关系式角度1公式的直接运用【例11】 (2018延安模拟)已知,且sin ,则cos ()A. B. C. D.角度2关于sin ,cos 的齐次式问题【例12】 已知1,求下列各式的值.(1);(2)sin2sin cos 2.角度3“sin cos ,sin cos ”之间的关系【例13】 已知x(,0),sin

4、 xcos x.(1)求sin xcos x的值;(2)求的值.【规律方法】1.同角三角函数关系的用途:根据已知角的一个三角函数值求解另外的三角函数值,对三角函数式进行变换.(1)利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化.(2)利用tan 可以实现角的弦切互化.2.应用公式时注意方程思想的应用:对于sin cos ,sin cos ,sin cos 这三个式子,利用(sin cos )212sin cos ,可以知一求二.3.注意公式逆用及变形应用:1sin2cos2,sin21cos2,cos21sin2.【训练1】 (1)(2019烟台测试)已知sin cos ,且,则cos s

5、in 的值为()A. B. C. D.(2)已知5,则cos2sin 2的值是()A. B. C.3 D.3考点二诱导公式的应用【例2】 (1)设f()(12sin 0),则f_.(2)已知cosa,则cossin的值是_.【规律方法】1.诱导公式的两个应用(1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.(2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了.2.含2整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知,在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接将2的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5)cos()cos .【训练2】 (1)(2019衡水中学调研)若cos,则cos(2)()A. B. C. D.(

6、2)(2017北京卷)在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin ,则sin _.考点三同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2019菏泽联考)已知,sin,则tan(2)()A. B. C. D.(2)(2019福建四地六校联考)已知为锐角,且2tan()3cos50,tan()6sin()10,则sin 的值是()A. B. C. D.(3)已知x0,sin(x)cos x.求sin xcos x的值;求的值.【规律方法】1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.2.(1

7、)注意角的范围对三角函数值符号的影响,开方时先判断三角函数值的符号;(2)熟记一些常见互补的角、互余的角,如与互余等.【训练3】 (1)(2019湖北七州市联考)已知(0,),且cos ,则sintan ()A. B. C. D.(2)已知是第四象限角,且sin,则tan_.【反思与感悟】1.同角三角函数基本关系可用于统一函数;诱导公式主要用于统一角,其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明.2.三角函数求值、化简的常用方法:(1)弦切互化法:主要利用公式tan x进行切化弦或弦化切,如,asin2xbsin xcos xccos2x等类型可进行弦化切.(2)和积转换法:如利用(sin co

8、s )212sin cos 的关系进行变形、转化.(3)巧用“1”的变换:1sin2cos2cos2(1tan2)sin2(1)tan 等.【易错防范】1.利用诱导公式进行化简求值时,可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负脱周化锐.特别注意函数名称和符号的确定.2.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时:35分钟)一、选择题1.sin 600的值为()A. B. C. D.2.已知直线2xy10的倾斜角为,则sin 22cos2()A. B. C. D.3.()A.sin 2cos 2 B.sin 2cos 2C.(sin 2

9、cos 2) D.cos 2sin 2 4.已知sin()cos(2),|,则等于()A. B. C. D.5.已知sin,则cos()A. B. C. D.6.(2019兰州质检)向量a,b(cos ,1),且ab,则cos()A. B. C. D.7.已知函数f(x)asin(x)bcos(x),且f(4)3,则f(2 020)的值为()A.1 B.1 C.3 D.3二、填空题8.(2019广东七校联考)已知sin ,且为第三象限的角,则tan _.9.已知tan,则tan_.10.已知sin cos ,则sin cos 的值为_.11.已知tan 3,则cos_.12.(2019邯郸一模)若sin()3sin(),且,则_.【能力提升题组】(建议用时:15分钟)13.若sin ,cos 是方程4x22mxm0的两根,则m的值为()A.1 B.1C.1 D.114.已知sincos,且0,则sin _,cos _.15.已知kZ,化简:_.16.是否存在,(0,),使等式sin(3)cos,cos()cos()同时成立?若存在,求出,的值;若不存在,请说明理由.【新高考创新预测】17.(多填题)已知sin ,则cos()_,cos 2_.11