1、第四篇 三角函数与解三角形专题4.02同角三角函数基本关系式与诱导公式【考试要求】1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，tan ；2.能利用定义推导出诱导公式.【知识梳理】1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan .2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【微点提醒】1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin cos )212sin co
2、s ；sin tan cos .2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)sin()sin 成立的条件是为锐角.()(2)六组诱导公式中的角可以是任意角.()(3)若R，则tan 恒成立.()(4)若sin(k)(kZ)，则sin .()【教材衍化】2.(必修4P21A12改编)已知tan 3，则cos2sin2()A. B. C. D.3.(必修4P29B2改编)已知为锐角，且sin ，则cos ()
3、()A. B. C. D.【真题体验】4.(2017全国卷)已知sin cos ，则sin 2()A. B. C. D.5.(2019济南质检)若sin ，且为第四象限角，则tan ()A. B. C. D.6.(2018上海嘉定区月考)化简：_.【考点聚焦】考点一同角三角函数基本关系式角度1公式的直接运用【例11】 (2018延安模拟)已知，且sin ，则cos ()A. B. C. D.角度2关于sin ，cos 的齐次式问题【例12】 已知1，求下列各式的值.(1)；(2)sin2sin cos 2.角度3“sin cos ，sin cos ”之间的关系【例13】 已知x(，0)，sin
4、 xcos x.(1)求sin xcos x的值；(2)求的值.【规律方法】1.同角三角函数关系的用途：根据已知角的一个三角函数值求解另外的三角函数值，对三角函数式进行变换.(1)利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化.(2)利用tan 可以实现角的弦切互化.2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二.3.注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.【训练1】 (1)(2019烟台测试)已知sin cos ，且，则cos s
5、in 的值为()A. B. C. D.(2)已知5，则cos2sin 2的值是()A. B. C.3 D.3考点二诱导公式的应用【例2】 (1)设f()(12sin 0)，则f_.(2)已知cosa，则cossin的值是_.【规律方法】1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2.含2整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接将2的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5)cos()cos .【训练2】 (1)(2019衡水中学调研)若cos，则cos(2)()A. B. C. D.(
6、2)(2017北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin ，则sin _.考点三同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2019菏泽联考)已知，sin，则tan(2)()A. B. C. D.(2)(2019福建四地六校联考)已知为锐角，且2tan()3cos50，tan()6sin()10，则sin 的值是()A. B. C. D.(3)已知x0，sin(x)cos x.求sin xcos x的值；求的值.【规律方法】1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.(1
7、)注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号；(2)熟记一些常见互补的角、互余的角，如与互余等.【训练3】 (1)(2019湖北七州市联考)已知(0，)，且cos ，则sintan ()A. B. C. D.(2)已知是第四象限角，且sin，则tan_.【反思与感悟】1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明.2.三角函数求值、化简的常用方法：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x进行切化弦或弦化切，如，asin2xbsin xcos xccos2x等类型可进行弦化切.(2)和积转换法：如利用(sin co
8、s )212sin cos 的关系进行变形、转化.(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2(1)tan 等.【易错防范】1.利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐.特别注意函数名称和符号的确定.2.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.sin 600的值为()A. B. C. D.2.已知直线2xy10的倾斜角为，则sin 22cos2()A. B. C. D.3.()A.sin 2cos 2 B.sin 2cos 2C.(sin 2
9、cos 2) D.cos 2sin 2 4.已知sin()cos(2)，|，则等于()A. B. C. D.5.已知sin，则cos()A. B. C. D.6.(2019兰州质检)向量a，b(cos ，1)，且ab，则cos()A. B. C. D.7.已知函数f(x)asin(x)bcos(x)，且f(4)3，则f(2 020)的值为()A.1 B.1 C.3 D.3二、填空题8.(2019广东七校联考)已知sin ，且为第三象限的角，则tan _.9.已知tan，则tan_.10.已知sin cos ，则sin cos 的值为_.11.已知tan 3，则cos_.12.(2019邯郸一模)若sin()3sin()，且，则_.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.若sin ，cos 是方程4x22mxm0的两根，则m的值为()A.1 B.1C.1 D.114.已知sincos，且0，则sin _，cos _.15.已知kZ，化简：_.16.是否存在，(0，)，使等式sin(3)cos，cos()cos()同时成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.【新高考创新预测】17.(多填题)已知sin ，则cos()_，cos 2_.11