1、第五篇 数列及其应用专题5.02等差数列及其前n项和【考试要求】1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.体会等差数列与一次函数的关系.【知识梳理】1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：an1and(nN*，d为常数).(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d.
2、(2)前n项和公式：Snna1.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*).(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列.(4)若Sn为等差数列an的前n项和，则数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列.(5)若Sn为等差数列an的前n项和，则数列也为等差数列.【微点提醒】1.已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a1
3、0，d0，则Sn存在最小值.3.等差数列an的单调性：当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d0时，an是常数列.4.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数).【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()【教材衍化】2.(必修5P46A2改编)设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于(
4、)A.31 B.32 C.33 D.343.(必修5P68A8改编)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.【真题体验】4.(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.若3S3S2S4，a12，则a5()A.12 B.10 C.10 D.125.(2019上海黄浦区模拟)已知等差数列an中，a21，前5项和S515，则数列an的公差为()A.3 B. C.2 D.46.(2019苏北四市联考)在等差数列an中，已知a3a80，且S90，且a1anS1Sn对一切正整数n都成立.(1)求数列an的通项公式；(2)设a10，100，当n为何值时，数列的前n项和最大？【规律
5、方法】求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法：(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn(a0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求Sn的最值.当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm(当am10时，Sm1也为最大值)；当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm(当am10时，Sm1也为最小值).【训练4】 (1)等差数列an的公差d0，且a3，a5，a15成等比数列，若a55，Sn为数列an的前n项和，则数列的前n项和取最小值时的n为()A.3 B.3或4C.4或5 D.5(2)已知等差数列an的首项
6、a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为_.【反思与感悟】1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n项和SnAn2Bn及通项anpnq来判断一个数列是否为等差数列.2.等差数列基本量思想(1)在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解.(2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为ad，a，ad.若偶数个数成等差数列，可设中间两项为ad，ad，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.(3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量.【易错防范】1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an1and(n2)时，应注意验证a2a1是否等于d，
7、若a2a1d，则数列an不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A.100 B.99 C.98 D.972.(2019淄博调研)设Sn是等差数列an的前n项和，若，则()A.1 B.1 C.2 D.3.(2019中原名校联考)若数列an满足d(nN*，d为常数)，则称数列an为调和数列，已知数列为调和数列，且x1x2x20200，则x5x16()A.10 B.20 C.30 D.404.(2019北京海淀区质检)中国古诗词中，
8、有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是()A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤5.已知等差数列an的前n项和为Sn，a19，4，则Sn取最大值时的n为()A.4 B.5 C.6 D.4或5二、填空题6.已知等差数列an的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为_.7.已知数列an满足a11，anan12anan1，则a6_.8.设Sn是等差数列an的
9、前n项和，S1016，S100S9024，则S100_.三、解答题9.等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62.10.已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk110.(1)求a及k的值；(2)设数列bn的通项公式bn，证明：数列bn是等差数列，并求其前n项和Tn.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019济宁模拟)设数列an满足a11，a22，且2nan(n1)an1(n1)an1(n2且nN*)，则a18()A. B. C.3 D.12.(2019青岛诊断)已知等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn(nN*)，若，则()A. B. C. D.313.设数列an的通项公式为an2n10(nN*)，则|a1|a2|a15|_.14.(2019长沙雅礼中学模拟)设Sn为等差数列an的前n项和，已知a1a1326，S981.(1)求an的通项公式；(2)令bn，Tnb1b2bn，若30Tnm0对一切nN*成立，求实数m的最小值.【新高考创新预测】15.(多填题)设Sn为等差数列an的前n项和，满足S2S6，2，则a1_，公差d_.13