1、第三篇 导数及其应用专题3.05 导数与函数的零点【考点聚焦突破】考点一判断零点的个数【例1】 (2019青岛期中)已知二次函数f(x)的最小值为4，且关于x的不等式f(x)0的解集为x|1x3，xR(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)4ln x的零点个数【规律方法】利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g(x)易求，g(x)0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间
2、上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数【训练1】 已知函数f(x)ex1，g(x)x，其中e是自然对数的底数，e2.718 28.(1)证明：函数h(x)f(x)g(x)在区间(1，2)上有零点；(2)求方程f(x)g(x)的根的个数，并说明理由考点二已知函数零点个数求参数的取值范围【例2】 函数f(x)axxln x在x1处取得极值(1)求f(x)的单调区间；(2)若yf(x)m1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围【规律方法】与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断
3、函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题【训练2】 已知函数f(x)exaxa(aR且a0)(1)若f(0)2，求实数a的值，并求此时f(x)在2，1上的最小值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围考点三函数零点的综合问题【例3】 设函数f(x)e2xaln x.(1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数；(2)证明：当a0时，f(x)2aaln .【规律方法】1.在(1)中，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，从而f(x)在(0，)上至多有一个零点，问题的关键是找到b，使f(b)0.2由(1)知，
4、函数f(x)存在唯一零点x0，则f(x0)为函数的最小值，从而把问题转化为证明f(x0)2aaln .【训练3】 (2019天津和平区调研)已知函数f(x)ln xxm(m2，m为常数)(1)求函数f(x)在的最小值；(2)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，且x1x2，证明：x1x21.【反思与感悟】1解决函数yf(x)的零点问题，可通过求导判断函数图象的位置、形状和发展趋势，观察图象与x轴的位置关系，利用数形结合的思想方法判断函数的零点是否存在及零点的个数等2通过等价变形，可将“函数F(x)f(x)g(x)的零点”与“方程f(x)g(x)的解”问题相互转化【易错防范】函数yf(x)在某一
5、区间(a，b)上存在零点，必要时要由函数零点存在定理作为保证.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：30分钟)一、选择题1.已知函数f(x)的定义域为1，4，部分对应值如下表：x10234f(x)12020f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示.当1a2时，函数yf(x)a的零点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题2.直线xt分别与函数f(x)ex1的图象及g(x)2x1的图象相交于点A和点B，则|AB|的最小值为_.3.若函数f(x)1(a0)，讨论函数g(x)f(x)零点的个数.【能力提升题组】(建议用时：25分钟)6.(2018江苏卷改编)若函数f(x)2x3ax21(aR)在区间(0，)内有且只有一个零点，求f(x)在1，1上的最大值与最小值的和.7.已知函数f(x)axln x，其中a为常数.(1)当a1时，求f(x)的单调递增区间；(2)当0e时，若f(x)在区间(0，e)上的最大值为3，求a的值；(3)当a1时，试推断方程|f(x)|是否有实数根.6