1、第三篇 导数及其应用专题3.02利用导数研究函数的单调性【考试要求】1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；3.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.【知识梳理】1.函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则：(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0，右侧f(x)0x0附近的左侧f(x)0图象
2、形如山峰形如山谷极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【微点提示】1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f(x)0，“f(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数
3、f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(3)函数的极大值一定大于其极小值.()(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0为极值点的充要条件.()(5)函数
4、的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()【教材衍化】2.(选修22P32A4 改编)如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.43.(选修22P32A5(4)改编)函数f(x)2xxln x的极值是()A. B. C.e D.e2【真题体验】4.(2019青岛月考)函数f(x)cos xx在(0，)上的单调性是()A.先增后减 B.先减后增C.单调递增 D.单调递减5.(2017浙江卷)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()6.(2019豫南九校考评)若函数f(x)x(xc)2在
5、x2处有极小值，则常数c的值为()A.4 B.2或6C.2 D.6【考点聚焦】考点一求函数的单调区间【例1】 已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值.(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，求函数g(x)的单调减区间.【规律方法】1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递减区间.2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.【训练1】 (1)已知函数f(x)xln x，则f(x)()A.在(0，)上递增 B.在(0，)上递减C.在上递增
6、 D.在上递减(2)已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsin xcos x，则f(x)的单调递增区间为_.【例2】 (2017全国卷改编)已知函数f(x)ex(exa)a2x，其中参数a0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)0，求a的取值范围.【规律方法】1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0在x0时取到)，f(x)在R上是增函数.【训练2】 已知f(x)aln x，a
7、R，求f(x)的单调区间.考点三函数单调性的简单应用角度1比较大小或解不等式【例31】 (1)已知函数yf(x)对于任意的x满足f(x)cos xf(x)sin x1ln x，其中f(x)是函数f(x)的导函数，则下列不等式成立的是()A.ffC.ff D.ff(2)已知函数f(x)是函数f(x)的导函数，f(1)，对任意实数都有f(x)f(x)0，设F(x)，则不等式F(x)的解集为()A.(，1) B.(1，)C.(1，e) D.(e，)角度2根据函数单调性求参数【例32】 (2019日照质检)已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x.(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区
8、间，求实数a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递减，求实数a的取值范围.【规律方法】1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)是单调递增的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.
9、【训练3】 (1)已知f(x)是定义在区间(0，)内的函数，其导函数为f(x)，且不等式xf(x)2f(x)恒成立，则()A.4f(1)f(2)C.f(1)4f(2)(2)(2019淄博模拟)若函数f(x)kxln x在区间(2，)上单调递增，则k的取值范围是()A.(，2 B.C.2，) D.【反思与感悟】1.已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.4.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零.【
10、分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能是()2.函数f(x)xexex1的单调递增区间是()A.(，e) B.(1，e)C.(e，) D.(e1，)3.(2019青岛二中调研)若函数f(x)x312x在区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是()A.k3或1k1或k3B.不存在这样的实数kC.2k2D.3k1或1kf(e)f(3) B.f(3)f(e)f(2)C.f(3)f(2)f(e) D.f(e)f(3)f(2)5.(2019济宁一中模拟)函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，
11、则f(x)2x4的解集为()A.(1，1) B.(1，)C.(，1) D.(，)二、填空题6.已知函数f(x)(x22x)ex(xR，e为自然对数的底数)，则函数f(x)的单调递增区间为_.7.若函数f(x)ax33x2x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是_.8.若函数f(x)x3x22ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是_.三、解答题9.已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间.10.(2019成都七中检测)设函数f(x)ax2aln x，g(x)，其中aR，e2.718为自然对数
12、的底数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x1时，g(x)0.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2017山东卷)若函数exf(x)(e2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是()A.f(x)2x B.f(x)x2C.f(x)3x D.f(x)cos x12.(2019上海静安区调研)已知函数f(x)xsin xcos xx2，则不等式f(ln x)f2f(1)的解集为()A.(e，) B.(0，e)C.(1，e) D.13.若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)单调递增，则a的取值范围是_.14.已知函数f(x)aln xax3(aR).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数g(x)x3x2在区间(t，3)上总不是单调函数，求m的取值范围.【新高考创新预测】15.(多填题)已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过点(1，6)，函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称.则m_，f(x)的单调递减区间为_.12