1、第一篇 集合与不等式专题1.02常用逻辑用语【考试要求】1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系；2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对特称命题进行否定.【知识梳理】1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp2.全称量词与
2、存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示.3.全称命题和特称命题(命题p的否定记为p，读作“非p”) 名称形式全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记xM，p(x)x0M，p(x0)否定x0M，p(x0)xM，p(x)【微点提醒】1.区别A是B的充分不必要条件(AB且BA)，与A的充分不必要条件是B(BA且AB)两者的不同.2.A是B的充分不必要条件B是A的充分不必要条件.3.含有一个量词的命题的
3、否定规律是“改量词，否结论”.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若已知p：x1和q：x1，则p是q的充分不必要条件.()(2)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(2)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.【教材衍化】2.(选修21P26A3改编)命题“xR，x2x0”的否定是()A.x0R，x02x00 B.x0R，x02x00C.xR，x2x0 D.xR，x2x2n，则p为()A.nN，n22n B.
4、nN，n22nC.nN，n22n D.nN，n22n【答案】C【解析】命题p的量词“”改为“”，“n22n”改为“n22n”， p：nN，n22n.5.(2018天津卷)设xR，则“”是“x31”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，得0x1，所以0x31；由x31，得x1，不能推出0x1.所以“”是“x31是ff(1)4”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】(1)C(2)A【解析】(1)|a3b|3ab|(a3b)2(3ab)2a26ab9b29a26abb2，又|a|b|
5、1，ab0ab，因此|a3b|3ab|是“ab”的充要条件.(2)当m1时，f f(1)f f(2)22m14，当f f(1)4时，f f(1)f f(2)22m1422，2m12，解得m.故“m1”是“f f(1)4”的充分不必要条件.【规律方法】充要条件的两种判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.【训练1】 (2018浙江卷)已知平面，直线m，n满足m，n，则“mn”是“m”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若m，n，mn，由线面平行的判定定理知m.若
6、m，m，n，不一定推出mn，直线m与n可能异面，故“mn”是“m”的充分不必要条件.考点二充分条件、必要条件的应用典例迁移【例2】 (经典母题)已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m.若xP是xS的必要条件，求m的取值范围.【答案】见解析【解析】由x28x200，得2x10，Px|2x10.xP是xS的必要条件，则SP.解得m3.又S为非空集合，1m1m，解得m0.综上，m的取值范围是0，3.【迁移探究1】 本例条件不变，若xP是xS的必要不充分条件，求m的取值范围.【答案】见解析【解析】由例知，SP，或解得0m3或0m3，0m3，故m的取值范围是0，3.【迁移探究2】 本例条件不
7、变，若xP的必要条件是xS，求m的取值范围.【答案】见解析【解析】由例知Px|2x10，若xP的必要条件是xS，即xS是xP的必要条件，PS，解得m9.故m的取值范围是9，).【迁移探究3】 本例条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件？并说明理由.【答案】见解析【解析】由例题知Px|2x10.若xP是xS的充要条件，则PS，这样的m不存在.【规律方法】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集
8、合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.(3)数学定义都是充要条件.【训练2】 (2019临沂月考)设p：实数x满足x24ax3a20.若a0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】见解析【解析】由p得(x3a)(xa)0，当a0时，3ax0，则2x3或x2，则x4或x2.设p：A(3a，a)，q：B(，4)2，)，又p是q的充分不必要条件.可知AB，a4或3a2，即a4或a.又a0，a4或a0，即实数a的取值范围为(，4.考点三全称量词与存在量词角度1全(特)称命题的否定【例31】 (1)命题“nN*，f(n)N
9、*且f(n)n”的否定形式是()A.nN*，f(n)N*且f(n)nB.nN*，f(n) N*或f(n)nC.n0N*，f(n0) N*且f(n0)n0D.n0N*，f(n0) N*或f(n0)n0(2)(2019德州调研)命题“x0R，1f(x0)2”的否定形式是()A.xR，1f(x)2B.x0R，12D.xR，f(x)1或f(x)2【答案】(1)D(2)D【解析】(1)全称命题的否定为特称命题，命题的否定是：n0N*，f(n0) N*或f(n0)n0.(2)特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“xR，f(x)1或f(x)2”.角度2含有量词(、)的参数取值问题【例32】 (经典母
10、题)已知f(x)ln(x21)，g(x)m，若对x10，3，x21，2，使得f(x1)g(x2)，则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】当x0，3时，f(x)minf(0)0，当x1，2时，g(x)ming(2)m，对x10，3，x21，2使得f(x1)g(x2)等价于f(x)ming(x)min，得0m，所以m.【迁移探究】 若将“x21，2”改为“x21，2”，其他条件不变，则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】当x1，2时，g(x)maxg(1)m，对x10，3，x21，2使得f(x1)g(x2)等价于f(x)ming(x)max，得0m，m.【规律方法】1.全称命题与特称命题的否定
11、与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.【训练3】 (2019衡水调研)已知命题p：xR，log2(x2xa)0恒成立，命题q：x02，2，2a2x0，若命题p和q都成立，则实数a的取值范围为_.【答案】【解析】当命题p成立时，x2xa1恒成立，即x2xa10恒成立，14(a1).当命题q成立时，2a(2x0)max，x02，2，a2.故a2，a的取值范围是.【反思与感悟】1.充分条件、必要条件、充
12、要条件的判断方法(1)定义法(2)利用集合间的包含关系判断：设Ax|p(x)，Bx|q(x)；若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；若AB，则p是q的充要条件.2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”.【易错防范】1.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.2.注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定.【核心素养提升】逻辑推理、数学运算突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理的
13、关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.类型1形如“对任意x1A，都存在x2B，使得g(x2)f(x1)成立”【例1】 已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)x，g(x)x，若对任意x11，1，总存在x20，2，使得f(x1)2ax1g(x2)成立，求实数a的取值范围.【答案】见解析【解析】由题意知，g(x)在0，2上的值域为.令h(x)f(x)2ax3x22xa(a2)，则h(x)6x2，由h(
14、x)0得x.当x时，h(x)0，所以h(x)minha22a.又由题意可知，h(x)的值域是的子集，所以解得实数a的取值范围是2，0.【评析】理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围.类型2形如“存在x1A及x2B，使得f(x1)g(x2)成立”【例2】 已知函数f(x)函数g(x)ksin2k2(k0)，若存在x10，1及x20，1，使得f(x1)g(x2)成立，求实数k的取值范围.【答案】见解析【解析】由题意，易得函数f(x)的值域为0，1，g(x)
15、的值域为，并且两个值域有公共部分.先求没有公共部分的情况，即22k1或2k0，解得k，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是.【评析】本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.类型3形如“对任意x1A，都存在x2B，使得f(x1)0B.不存在xZ，使x22xm0C.xZ，使x22xm0D.xZ，使x22xm0【答案】D【解析】特称命题的否定为全称命题.故选D.2.命题“所有实数的平方都是正数”的否定是
16、()A.所有实数的平方都不是正数B.有的实数的平方是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数【答案】D【解析】因为“全称命题”的否定一定是“特称命题”，所以命题“所有实数的平方都是正数”的否定是：“至少有一个实数的平方不是正数”.3.设xR，则“2x0”是“|x1|1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由2x0，得x2，由|x1|1，得0x2.当x2时不一定有0x2，而当0x2时一定有x2，“2x0”是“|x1|1”的必要不充分条件.4.(2019焦作模拟)命题p：cos ，命题q：tan 1，则p是q
17、的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由cos ，得2k，kZ，则tan 1，故pq，p是q的不充分条件；由tan 1，得k，kZ，则cos ，故qp，p是q的不必要条件；所以p是q的既不充分也不必要条件.5.(2017浙江卷)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4S62S5”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由S4S62S5S6S5(S5S4)a6a5d，所以S4S62S5等价d0，所以“d0”是“S4S62S5”的充要条件.6.已知命题
18、p：“x0，1，aex”，命题q：“x0R，x024x0a0”.若命题p和q都成立，则实数a的取值范围是()A.(4，) B.1，4 C.e，4 D.(，1)【答案】C【解析】对于p成立，a(ex)max，ae.对于q成立，知x24xa0有解，则164a0，解得a4.综上可知ea4.7.(2017北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】存在负数，使得mn，则mnnn|n|20；反之mn|m|n|cosm，n0cosm，n0m，n，当m，n时，m，n不共线.故“存在
19、负数，使得mn”是“mn1 C.a4 D.a4【答案】D【解析】命题成立的充要条件是x1，2)，ax2恒成立，即a4.命题成立的一个充分不必要条件可以是a4.二、填空题9.直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同交点的充要条件是_.【答案】1k3【解析】直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同交点等价于，解之得1k3(xm)”是“q：x23x4m3或xm，q：4xb”是“f(a)f(b)”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为f(x)3x3x，所以f(x)3xln 33xln 3(1)3xln 33xln 3，易知f(x)0
20、，所以函数f(x)3x3x为(，)上的单调递增函数，从而由“ab”可得“f(a)f(b)”，由“f(a)f(b)”可得“ab”，即“ab”是“f(a)f(b)”的充要条件.15.设p：实数x满足x24ax3a20时，A(a，3a)；当a0时，有解得1a2；当a0时，显然AB，不符合题意.综上所述，实数a的取值范围是(1，2.16.设数列an是等比数列，求证：“an是递增数列”的充要条件为“a1a2a3”.【答案】见解析【解析】证明充分性：设数列an的公比为q，则通项公式为ana1qn1.由a1a2a3，得a1a1q1，a10或0q1，a10，所以数列an为递增数列.必要性：若数列an是递增数列，则必有a1a2a3.综上“a1a2b，则b，但是，故答案可以为1，1(答案不唯一，满足a0，b0即可).13