1、第一篇 集合与不等式 专题1.05从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式【考试要求】1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系【知识梳理】1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.2.三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图象一元
2、二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集Rax2bxc0 (a0)的解集x|x1xx23.(xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式的解集不等式解集ab(xa)(xb)0x|xbx|xax|xa(xa)(xb)0x|axbx|bx0(0(a(a0)的解集为(，a)(a，)；|x|0)的解集为(a，a).记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.2.解不等式ax2bxc0(0(0对任意实数x恒成立或(2)不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(2)若不
3、等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(3)不等式x2a的解集为，.()(4)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0(a0时，其解集为，；当a0时，其解集为0，当a0时，其解集为.(4)若方程ax2bxc0(a0(a0)的解集为.【教材衍化】2.(必修5P103A2改编)已知集合A，Bx|x2x60，则AB()A.(2，3) B.(2，2)C.(2，2 D.2，2【答案】C【解析】因为Ax|x2，Bx|2x3，所以ABx|20，令3x22x20，得x1，x2，3x22x20的解集为.【真题体验】4.(2018烟台月考)不等式0的解集为()A.2，1
4、B.(2，1C.(，2)(1，) D.(，2(1，)【答案】B【解析】原不等式化为即解得20的解集为x|1x0的解集为x|1x2，所以方程ax2bx10的解为1和2，所以12，(1)2，所以a，b，所以ab.6.(2018汉中调研)已知函数f(x)ax2ax1，若对任意实数x，恒有f(x)0，则实数a的取值范围是_.【答案】4，0【解析】若a0，则f(x)10恒成立，若a0，则由题意，得解得4a0，综上，得a4，0.【考点聚焦】考点一一元二次不等式的解法多维探究角度1不含参数的不等式【例11】 求不等式2x2x30的解集.【答案】见解析【解析】化2x2x30，解方程2x2x30，得x11，x2
5、，不等式2x2x30的解集为(，1)，即原不等式的解集为(，1).角度2含参数的不等式命题点1通过判别式分类讨论【例12】 解关于x的不等式kx22xk0.当k0时，若44k20，即0k1时，不等式的解为x；若0，即k1时，不等式无解.当k0，即1k0时，不等式的解为x，若0，即k1时，不等式的解集为R；若0，即k1时，不等式的解为x1，综上所述，k1时，不等式的解集为；0k0；当1k0时，不等式的解集为；k1时，不等式的解集为x|x1；k1时，不等式的解集为R.命题点2通过根的大小分类讨论【例13】 解关于x的不等式ax222xax(aR).【答案】见解析【解析】原不等式可化为ax2(a2)
6、x20.当a0时，原不等式化为x10，解得x1.当a0时，原不等式化为(x1)0，解得x或x1.当a0时，原不等式化为(x1)0.当1，即a2时，解得1x；当1，即a2时，解得x1满足题意；当1，即2a0的解集是_.【答案】(，2)(1，1)(2，)【解析】由题原不等式可转化为|x|23|x|20，解得|x|2，所以x(，2)(1，1)(2，).考点二一元二次方程与一元二次不等式【例2】 已知不等式ax2bx10的解集是x|x，则不等式x2bxa0的解集是_.【答案】x|x3或x2【解析】由题意，知，是方程ax2bx10的两个根，且a0，所以解得故不等式x2bxa0为x25x60，解得x3或x
7、2.【规律方法】1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.【训练2】 (2019天津和平区一模)关于x的不等式axb0的解集是()A.(，1)(3，) B.(1，3)C.(1，3) D.(，1)(3，)【答案】C【解析】关于x的不等式axb0即axb的解集是(1，)，ab0可化为(x1)(x3)0，解得1x3，所求不等式的解集是(1，3).考点三一元二次不等式恒成立问题多维探究角度1在实数R上恒成立【例31】 (2018大庆实验中学
8、期中)对于任意实数x，不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，则实数a的取值范围是()A.(，2) B.(，2C.(2，2) D.(2，2【答案】D【解析】当a20，即a2时，40恒成立；当a20，即a2时，则有解得2a0(或0)对于一切xR恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a0时是否满足题意.3.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.【易错防范】1.当0(a0)的解集为R还是，要注意区别.2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免
9、盲目讨论.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018合肥调研)已知集合Ay|yex，xR，BxR|x2x60，则AB等于()A.(0，2) B.(0，3C.2，3 D.2，3【答案】B【解析】因为Ay|y0，Bx|2x3，故ABx|0x3.2.不等式2的解集是()A. B.C.(1，3 D.(1，3【答案】C【解析】不等式可化为0，即0，解得x1或10的解集为()A.(，0) B.C. D.【答案】A【解析】当x0时，原不等式即为x(12x)0，所以0x；当x0，所以x0恒成立，则b的取值范围是()A.(1，0) B.(2，)C.(，1)(2，) D.不能确定【
10、答案】C【解析】由f(1x)f(1x)知f(x)图象的对称轴为直线x1，则有1，故a2.由f(x)的图象可知f(x)在1，1上为增函数.所以x1，1时，f(x)minf(1)12b2b1b2b2，令b2b20，解得b2.5.(2019淄博月考)已知二次函数f(x)ax2(a2)x1(aZ)，且函数f(x)在(2，1)上恰有一个零点，则不等式f(x)1的解集是()A.(，1)(0，) B.(，0)(1，)C.(1，0) D.(0，1)【答案】C【解析】由(a2)24aa240知，函数f(x)必有两个不同的零点，又f(x)在(2，1)上恰有一个零点，则f(2)f(1)0，即(6a5)(2a3)0，
11、解得a1即为x2x0，解得1x0.二、填空题6.不等式2x2x4的解集为_.【答案】(1，2)【解析】由已知得2x2x22，x2x2即x2x20，解得1x2，故所求解集为 (1，2).7.已知不等式mx2nx0的解集为x|x2，则mn_.【答案】【解析】由已知得m0时，f(x)x22x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_.【答案】(3，0)(3，)【解析】设x0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)(x22x).又f(0)0.于是不等式f(x)x等价于或解得x3或3x0.故不等式的解集为(3，0)(3，).三、解答题9.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售
12、价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)由题意得，y100100.因为售价不能低于成本价，所以100800，解得0x2.所以yf(x)40(10x)(254x)，定义域为x|0x2.(2)由题意得40(10x)(254x)10 260，化简得8x230x130，解得x.所以x的取值范围是.10.解下列不等式：(1)0a2(aR).【答案】见解析【解析】(1)原不等式等价于可得借助于数
13、轴，如图所示，原不等式的解集为x|2x1或2x3.(2)12x2axa2，12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，得x1，x2.当a0时，0，解集为x|xR且x0；当a，解集为.综上所述，当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|xR且x0；当af(x)，则实数x的取值范围是()A.(，1)(2，) B.(，2)(1，)C.(1，2) D.(2，1)【答案】D【解析】易知f(x)在R上是增函数，f(2x2)f(x)，2x2x，解得2xf(2mmt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是()A.(，) B.(，0)C.(，0)(，) D.(，)(，
14、)【答案】A【解析】因为f(x)在R上为奇函数，且在0，)上为增函数，所以f(x)在R上是增函数，结合题意得4t2mmt2对任意实数t恒成立mt24t2m0对任意实数t恒成立m(，).13.设a0，若不等式cos2x(a1)cos xa20对于任意的xR恒成立，则a的取值范围是_.【答案】(，2【解析】令tcos x，t1，1，则不等式f(t)t2(a1)ta20对t1，1恒成立，因此a0，a2.14.(2019济南一中质检)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)ex.若对任意xa，a1，恒有f(xa)f(2x)成立，求实数a的取值范围.【答案】见解析【解析】因为函数f(x)是
15、偶函数，故函数图象关于y轴对称，且在(，0上单调递减，在0，)上单调递增.所以由f(xa)f(2x)可得|xa|2|x|在a，a1上恒成立，从而(xa)24x2在a，a1上恒成立，化简得3x22axa20在a，a1上恒成立，设h(x)3x22axa2，则有解得a.故实数a的取值范围是.【新高考创新预测】15.(试题创新)若实数a，b，c满足对任意实数x，y有3x4y5axbyc3x4y5，则()A.abc的最小值为2B.abc的最小值为4C.abc的最大值为4D.abc的最大值为6【答案】A【解析】由题意可得5(a3)x(b4)yc5恒成立，所以a3，b4，5c5，则2abc12，即abc的最小值是2，最大值是12，A正确，C错误；6abc4，则abc的最小值是6，最大值是4，B错误，D错误，故选A.15