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【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三上学期开学考试数学(理)试题(含答案)

1、2019-2020学年度秋四川省棠湖中学高三开学考试理科数学试题第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)13.某校高三科创班共48人,班主任为了解学生高考前的心理状况,将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查,若抽到的最大学号为48,则抽到的最小学号为_14.的展开式中的系数为_.(用数字作答)15.已知函数  在点  处的切线方程为  ,则      16.的内角所对的边分别为,已知,则的最小值为_三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17 21题为

2、必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)17.(本大题满分12分)数列满足:,.(1)求的通项公式;(2)设,数列的前项和为,求满足的最小正整数.18.(本大题满分12分)某机构用“10分制”调查了各阶层人士对某次国际马拉松赛事的满意度,现从调查人群中随机抽取16名,如图茎叶图记录了他们的满意度分数以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶:(1)指出这组数据的众数和中位数;(2)若满意度不低于分,则称该被调查者的满意度为“极满意”,求从这16人中随机选取3人,至少有2人满意度是“极满意”的概率;(3)以这16人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据

3、,若从该被调查群体人数很多任选3人,记表示抽到“极满意”的人数,求的分布列及数学期望19.(本大题满分12分)如图,在边长为4的正方形中,点分别是的中点,点在上,且,将分别沿折叠,使点重合于点,如图所示.试判断与平面的位置关系,并给出证明;求二面角的余弦值.20.(本大题满分12分)设函数,其中为自然对数的底数(1)若,求的单调区间;(2)若,求证:无零点21.(本大题满分12分)已知抛物线的焦点为,椭圆的中心在原点,为其右焦点,点为曲线和在第一象限的交点,且(1)求椭圆的标准方程;(2)设为抛物线上的两个动点,且使得线段的中点在直线上,为定点,求面积的最大值(二)选考题:共10分,请考生在第

4、22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.  选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系中,以为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为为参数,直线与曲线分别交于两点.(1)若点的极坐标为,求的值;(2)求曲线的内接矩形周长的最大值.23.选修4-5:不等式选讲(10分) 已知,(1)求的最小值(2)证明:2019-2020学年度秋四川省棠湖中学高三开学考试理科数学试题答案1.A2.A3.A4.A5.A6.D7.C8.A9.B10.A11.D12.D13.6        

5、 14.8015.4      16. 17.(1)n=1时,可求得首项,n2时,将已知中的n用n-1代换后,与已知作差可得,再验证n=1也符合,即可得到数列an的通项;(2)由(1)可得bn的通项公式,由裂项相消法可得Sn,再由不等式,得到所求最小值n(1)n=1时,可得a14,n2时,与两式相减可得(2n1)+1=2n,n=1时,也满足,.(2)=Sn,又,可得n>9,可得最小正整数n为1018.由茎叶图可知:这组数据的众数为86,中位数被调查者的满意度为“极满意”共有4人其满意度分别为,从这16人中随机选取3人,至少有2人是“极满意”的概率由题意可得:

6、分布列是 0 1 2来源:Z#xx#k.Com 3 P      来源:学科网根据二项分布的性质得到:.19.(1)平面证明如下:在图1中,连接,交于,交于,则,在图2中,连接交于,连接,在中,有,平面,平面,故平面;(2)连接交与点,图2中的三角形与三角形PDF分别是图1中的与,又,平面,则,又,平面,则为二面角的平面角可知,则在中,则在中,由余弦定理,得来源:学科网二面角的余弦值为20.(1)若,则, 令,则,当时,即单调递增,又,当时,单调递减,当时,单调递增的单调递减区间为,单调递增区间为 (2)当时,,显然无零点 当时,(i)当时,,显然无零点 (ii)

7、当时,易证,,令,则,令,得,当时,;当时,故,从而,显然无零点.综上,无零点21.(1)设椭圆的方程为,半焦距为由已知,点,则设点,据抛物线定义,得由已知,则从而,所以点设点为椭圆的左焦点,则,据椭圆定义,得,则从而,所以椭圆的标准方式是(2)设点,则两式相减,得,即因为为线段的中点,则所以直线的斜率从而直线的方程为,即联立,得,则所以设点到直线的距离为,则所以由,得令,则设,则由,得从而在上是增函数,在上是减函数,所以,故面积的最大值为22.(1)由,将x=cos,y=sin代入得到+3=12,所以曲线C的直角坐标方程为+3=12,的极坐标为,化为直角坐标为(-2,0)由直线l的参数方程为:(t为参数),知直线l是过点P(-2,0),且倾斜角为的直线,把直线的参数方程代入曲线C得,所以|PM|PN|t1t2|4(2)由曲线C的方程为 ,来源:学+科+网Z+X+X+K不妨设曲线C上的动点,则以P为顶点的内接矩形周长l,又由sin()1,则l16;因此该内接矩形周长的最大值为1623.(1)因为,所以,即,来源:Zxxk.Com当且仅当时等号成立,此时取得最小值3