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2020届高三精准培优专练五 导数的应用(理) 教师版

1、精准培优专练2020届高三好教育精准培优专练培优点五 导数的应用一、求切线方程例1:曲线在点处的切线方程为 【答案】【解析】,结合导数的几何意义曲线可知在点处的切线方程的斜率为,切线方程为二、求单调区间和极值例2:已知函数(1)讨论的单调性;(2)当时,记在区间的最大值为,最小值为,求的取值范围【答案】(1)见解析;(2)【解析】(1),当时,此时在单调递增;当时,令,解得或;令,解得,此时在,单调递增,在单调递减;当时,令,解得或;令,解得,此时在,单调递增,在单调递减,综上可得,当时,在单调递增当时,在,单调递增,在单调递减当时,在,单调递增,在单调递减(2)由(1)中结论可知,当时,在单

2、调递减,在单调递增此时,当时,令,则,在单调递减又,即当时,综上,当时,的取值范围是三、导数与零点例3:已知函数,为的导函数证明:(1)在区间存在唯一极大值点;(2)有且仅有个零点【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析【解析】(1)对进行求导可得,取,则,在内,为单调递减函数,且,所以在内存在一个,使得,所以在内,为增函数;在内,为减函数,所以在在区间存在唯一极大值点(2)由(1)可知,当时,单调增,且,可得,则在此区间单调减;当时,单调增,且,则在此区间单调增;又,则在上有唯一零点当时,单调减,且,则存在唯一的,使得,在时,单调增;在时,单调减,且,所以在上无零点;当时,单调减,单调减,

3、则在上单调减,所以在上存在一个零点当时,恒成立,则在上无零点,综上可得,有且仅有个零点对点增分集训一、选择题1设函数若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为( )ABCD【答案】D【解析】因为函数是奇函数,所以,解得,所以,所以,所以曲线在点处的切线方程为,化简可得,故选D2函数的图像大致为( )ABCD【答案】B【解析】,为奇函数,舍去A,舍去D;,所以舍去C;因此选B3曲线在点处的切线方程为( )ABCD【答案】C【解析】因为,所以曲线在点处的切线斜率为,故曲线在点处的切线方程为4若函数 (是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有性质,下列函数中具有性质的是( )ABCD【答案】A

4、【解析】对于A,令,则在上单调递增,故具有性质,故选A5已知曲线在点处的切线方程为,则( )A,B,C,D,【答案】D【解析】令,则,得,可得故选D6已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围是( )ABCD【答案】C【解析】当时,函数有两个零点和,不满足题意,舍去;当时,令,得或,时,;时,;时,且,此时在必有零点,故不满足题意,舍去;当时,时,;时,;时,且,要使得存在唯一的零点,且,只需,即,则,故选C7已知函数有唯一零点,则( )ABCD【答案】C【解析】函数的零点满足,设,则,当时,当时,函数单调递减;当时,函数单调递增,当时,函数取得最小值,为设,当时,函数取得最小值,为,若,函

5、数与函数没有交点;若,当时,函数和有一个交点,即,解得故选C8若是函数的极值点,则的极小值为( )ABCD【答案】A【解析】由题可得,因为,所以,故,令,解得或,所以在,上单调递增,在上单调递减,所以的极小值为,故选A二、填空题9曲线在点处的切线的斜率为,则_【答案】【解析】,则,所以10在平面直角坐标系中,点在曲线上,且该曲线在点处的切线经过点(为自然对数的底数),则点的坐标是 【答案】【解析】设点,则又,当时,点A在曲线上的切线为,即,代入点,得,即,考查函数,当时,;当时,且,当时,单调递增,注意到,故存在唯一的实数根,此时,故点的坐标为11若函数在内有且只有一个零点,则在上的最大值与最

6、小值的和为_【答案】【解析】由,得,因为函数在上有且仅有一个零点且,所以,因此,从而函数在上单调递增,在上单调递减,所以,12已知函数,则的最小值是_【答案】【解析】,所以当时,函数单调减,当时,函数单调增,从而得到函数的减区间为,函数的增区间为,所以当时,函数取得最小值,此时,所以,故答案是三、解答题13已知函数(1)讨论函数的单调性,并证明函数有且只有两个零点;(2)设是的一个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线的切线【答案】(1)见解析;(2)证明见解析【解析】(1)函数的定义域为,又,所以函数在上单调递增,又,所以在区间存在一个零点,且,所以在区间上也存在一个零点,所以函数有且只有2个零

7、点(2)因为是函数的一个零点,所以有曲线在处的切线方程为,曲线曲线当切线斜率为时,切点坐标为,切线方程为,化简为,所以曲线在处的切线也是曲线的切线14已知函数(1)讨论的单调性;(2)是否存在,使得在区间的最小值为且最大值为?若存在,求出的所有值;若不存在,说明理由【答案】(1)见解析;(2)存在,或满足题意【解析】(1),当时,此时在单调递增;当时,令,解得或;令,解得,此时在单调递增,在单调递减;当时,令,解得或;令,解得,此时在单调递增,在单调递减,综上可得,当时,在单调递增当时,在单调递增,在单调递减当时,在单调递增,在单调递减(2)由(1)中结论可知,当时,在单调递增,此时,满足题意当时,若,即,则在单调递减,此时,满足题意若,即,则在单调递减,在单调递增此时,当时,由可得,与矛盾,故不成立当时,由可得,与矛盾,故不成立综上可知,或满足题意15已知函数,是的导数(1)证明:在区间存在唯一零点;(2)若时,求的取值范围【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】(1)由题意得,令,当时,单调递增;当时,单调递减,的最大值为,又,即,在区间存在唯一零点(2)由题设知,可得由(1)知,在只有一个零点,设为,且当时,;当时,所以在单调递增,在单调递减又,所以当时,又当,时,故因此,的取值范围是12