1、2018-2019学年河南省南阳一中高一（下）开学数学试卷（2月份）一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）设全集UR，集合Ax|0x4，集合Bx|3x5，则A（UB）（）Ax|1x3B1，2Cx|x5Dx|0x32（5分）若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（）ABCD3（5分）设一个半径为r的球的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两个点A，B，其坐标分别为（1，2，2），（2，2，1），则（）A|AB|rB|AB|rC|AB|rD|AB|r4（5分）从编号为150的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方
2、法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A5，10，15，20，25B3，13，23，33，43C1，2，3，4，5D2，4，8，16，325（5分）若aln2，则有（）AabcBbacCbcaDcab6（5分）三条直线l1：ax+by10，l2：2x+（a+2）y+10，l3：bx2y+10，若l1，l2都和l3垂直，则a+b等于（）A2B6C2或6D0或47（5分）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（）A30人，30人，30人B30人，45人，15人C20人，3
3、0人，10人D30人，50人，10人8（5分）总体由编号为01，02，19，20的20个个体组成利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A08B07C02D019（5分）已知定义域为R的偶函数f（x）在（，0上是减函数，且2，则不等式f（log4x）2的解集为（）AB（2，+）CD10（5分）已知圆C：x2+y2+2x0与过点A（1，0）的直线l有公共点，则直线l斜率k的
4、取值范围是（）ABCD1，111（5分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在2500，3000）（元）月收入段应抽出人数为（）A20B25C35D4512（5分）已知函数f（x），对于任意sR且s0均存在唯一实数t，使得f（s）f（t），且st若关于x的方程|f（x）|f（）|有4个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A（2，1）B（1，0）C（4，2）D（4，1）（1，0）二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）甲、乙两
5、名运动员在某个赛季一些场次中得分的茎叶图如图所示，则水平发挥较好的运动员是 14（5分）在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3xy0与x+3y0的距离之和等于2，则点P到坐标原点的距离的最小值为 15（5分）已知符号函数sgn（x），则函数f（x）sgn（x）2x的所有零点构成的集合为 16（5分）如图，在棱长均相等的正四棱锥PABCD最终，O为底面正方形的重心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：PC平面OMN；平面PCD平面OMN；OMPA；直线PD与直线MN所成角的大小为90其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）
6、三、解答题（共70分）17（10分）如图，甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：（1）求甲、乙两人射击命中环数的平均数和方差；（2）请从平均数和方差相结合看，分析谁的射击水平好18（12分）为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，已知第二小组频数为12（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请
7、说明19（12分）已知f（x）为定义在1，1上的奇函数，当x1，0时，函数解析式为f（x）（bR）（）求b的值，并求出f（x）在0，1上的解析式；（）求f（x）在0，1上的最值20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD60，AB2AD，PD平面ABCD，点M为PC的中点（1）求证：PA平面BMD；（2）求证：ADPB；（3）若ABPD2，求点A到平面BMD的距离21（12分）已知直线l经过两点A（2，1），B（6，3）（1）求直线l的方程；（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于点（2，0），求圆C的方程；（3）若过B点向（2）中圆C引切线，BS、BT，S、
8、T分别是切点，求ST直线的方程22（12分）已知圆M（M为圆心）的方程为x2+（y2）21，直线l的方程为x2y0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B（1）若APB60，试求点P的坐标；（2）求证：经过A、P、M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标2018-2019学年河南省南阳一中高一（下）开学数学试卷（2月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）设全集UR，集合Ax|0x4，集合Bx|3x5，则A（UB）（）Ax|1x3B1，2Cx|x5Dx|0x3【分析】先求UB，然后求A（UB）【解答】解：（UB）x|x3或x5，A（UB）x|0x3
9、故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2（5分）若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（）ABCD【分析】利用倾斜角、斜率的计算公式即可得出【解答】解：设直线的倾斜角为，则tan，又0，故选：A【点评】本题考查了直线的倾斜角熟练掌握倾斜角、斜率的计算公式是解题的关键3（5分）设一个半径为r的球的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两个点A，B，其坐标分别为（1，2，2），（2，2，1），则（）A|AB|rB|AB|rC|AB|rD|AB|r【分析】由已知求得球的半径，再由空间中两点间的距离公式求得|AB|，则答案可求【解答】解：由已知可得r，而|AB|，|AB|r
10、故选：C【点评】本题考查空间中两点间距离公式的应用，是基础题4（5分）从编号为150的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A5，10，15，20，25B3，13，23，33，43C1，2，3，4，5D2，4，8，16，32【分析】由系统抽样的特点知，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为10的一组数据是由系统抽样得到的【解答】解：从50枚某型导弹中随机抽取5枚，采用系统抽样间隔应为 10，只有
11、B答案中导弹的编号间隔为10，故选：B【点评】一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本5（5分）若aln2，则有（）AabcBbacCbcaDcab【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：0aln21，1，0，bac故选：B【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6（5分）三条直线l1：ax+by10，l2：2x+（a+2）y+10，l3：bx2y+10，若l1，l2都和l3垂直，则a+b等于（）A2B6C2或6D0或4【分析】根据相互
12、垂直的自尊心斜率之间的关系对b分类讨论即可得出【解答】解：l1，l2都和l3垂直，若b0，则a+20，解得a2，a+b2若b0，则1，1，联立解得a2，b4，a+b6综上可得：a+b的值为2或6故选：C【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（5分）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（）A30人，30人，30人B30人，45人，15人C20人，30人，10人D30人，50人，10人【分析】先计算各校学生
13、数的比例，再根据分层比求各校应抽取的学生数【解答】解：甲校、乙校、丙校的学生数比例为3600：5400：18002：3：1，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生30人，45人，15人故选：B【点评】本题考查简单的分层抽样，属基本题8（5分）总体由编号为01，02，19，20的20个个体组成利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A08B07C02D01【分析
14、】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01故选：D【点评】本题主要考查简单随机抽样在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的9（5分）已知定义域为R的
15、偶函数f（x）在（，0上是减函数，且2，则不等式f（log4x）2的解集为（）AB（2，+）CD【分析】由题意知不等式即f（log4x），即 log4x，或 log4x，利用对数函数的定义域和单调性求出不等式的解集【解答】解：由题意知 不等式f（log4x）2，即 f（log4x），又偶函数f（x）在（，0上是减函数，f（x）在0，+）上是增函数，log4xlog42，或 log4x，0x，或 x2，故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的单调性及特殊点10（5分）已知圆C：x2+y2+2x0与过点A（1，0）的直线l有公共点，则直线l斜率k的取值范围是（）ABCD1，1
16、【分析】运用点到直线的距离公式和直线和圆的位置关系可解决【解答】解：根据题意得，圆心（1，0）r1设直线方程为y0k（x1），即kxyk0圆心到直线的距离d1，解得k故选：B【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式11（5分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在2500，3000）（元）月收入段应抽出人数为（）A20B25C35D45【分析】根据频率分布直方图，结合频率、频数与样本容量的关系，即可求出结果【解答】解
17、：根据频率分布直方图，得；在2500，3000）（元）月收入段的频率是0.00055000.25；在该收入段应抽出的人数为1000.2525故选：B【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率的应用问题，是基础题目12（5分）已知函数f（x），对于任意sR且s0均存在唯一实数t，使得f（s）f（t），且st若关于x的方程|f（x）|f（）|有4个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A（2，1）B（1，0）C（4，2）D（4，1）（1，0）【分析】根据f（x）在0，+）上的单调性和值域结合函数性质判断f（x）在（，0）上的单调性和值域，得出a，b，m的关系，根据|f（x）|f（）有4
18、个不相等的实数根可知0f（）m，由此求出a的范围得答案【解答】解：由题意可知f（x）在0，+）上单调递增，值域为m，+），对于任意sR，且s0，均存在唯一实数t，使得f（s）f（t），且st，f（x）在（，0）上是减函数，值域为（m，+），a0，且b+1m，即b1m|f（x）|f（）有4个不相等的实数根，0f（）m，又m1，0m，即0（+1）mm，4a2，则a的取值范围是（4，2），故选：C【点评】本题考查了函数的性质应用，函数图象的运用，属于中档题二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）甲、乙两名运动员在某个赛季一些场次中得分的茎叶图如图所示，则水平发挥较好的运动员是甲【分析】比较两个
19、运动员发挥的好坏，应该比较他们的平均数，计算出平均数对比即可【解答】解：依题意，甲的平均值为（10+15+22+23+31+32+34+35+37+38+44+44+49+51）1433.21，乙的平均数（8+12+14+17+21+29+29+33+36）922.11故水平发挥较好的运动员是甲故填：甲【点评】本题考查了茎叶图的应用，属于基础题14（5分）在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3xy0与x+3y0的距离之和等于2，则点P到坐标原点的距离的最小值为【分析】先确定两条直线满足垂直关系，设出点到直线的距离分别为a，b，然后根据条件得到a+b2，利用二次函数的性质即可求P到原点距离的最小
20、值【解答】解：3xy0与x+3y0的互相垂直，且交点为原点，设P到直线的距离分别为a，b，则a0，b0，则a+b2，即b2a0，得0a2，由勾股定理可知OP，0a2，当a1时，OP的距离最小为OP故答案为：【点评】本题主要考查点到距离的公式，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键15（5分）已知符号函数sgn（x），则函数f（x）sgn（x）2x的所有零点构成的集合为【分析】分类讨论，分别求出等价函数，分别求解其零点个数，然后相加即可【解答】解：x0时，函数f（x）sgn（x）2x转化为函数f（x）12x，令12x0，得x，即当x0时函数f（x）sgn（x）2x的零点是；x0时，函数f（x）
21、sgn（x）2x转化为函数f（x）0，函数f（x）sgn（x）2x的零点是0；x0时，函数f（x）sgn（x）2x转化为函数f（x）12x，令12x0，得x，即当x0时函数f（x）sgn（x）2x的零点是；综上函数f（x）sgn（x）x的零点的集合为：故答案为：【点评】本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，考查转化思想，分类讨论思想，是基础题16（5分）如图，在棱长均相等的正四棱锥PABCD最终，O为底面正方形的重心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：PC平面OMN；平面PCD平面OMN；OMPA；直线PD与直线MN所成角的大小为90其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）
22、【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论【解答】解：如图，连接AC，易得PCOM，所以PC平面OMN，结论正确同理PDON，所以平面PCD平面OMN，结论正确由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2+BC2PA2+PC2AC2，所以PCPA，又PCOM，所以OMPA，结论正确由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MNAB，又四边形ABCD为正方形，所以ABCD，所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，为PDC，知三角形PDC为等边三角形，所以PDC60，故错误故答案为：【点评】本题考查线面平行、面面平行，考查线线角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题（共7
23、0分）17（10分）如图，甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：（1）求甲、乙两人射击命中环数的平均数和方差；（2）请从平均数和方差相结合看，分析谁的射击水平好【分析】（1）根据图中给出的数据，代入平均数和方差的计算公式求解即可（2）平均数反映了甲乙二人的射击水平，方差则反应成绩的稳定性，结合数据分析即可【解答】解：由折线图可知，甲射击10次中靶环数分别为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7乙射击10次中靶环数分别为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10（1）（9+5+7+8+7+6+8+6+7+7）7环（2+4+6+8+7+7+8+9+9+10）7环，（97
24、）2+（57）2+（77）24+（67）22+（87）22）1.2，（27）2+（47）2+（67）2+（77）22+（87）22+（97）22+（107）25.4（2）因为平均数相同，说明两个运动员的水平相当，所以甲的射击稳定性比乙好，故甲的射击水平好【点评】本题通过折线图考查了样本数据的平均数与方差的计算和意义，属于基础题18（12分）为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，已知第二小组频数为12（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在11
25、0以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明【分析】（1）根据各个小矩形的面积之比，做出第二组的频率，再根据所给的频数，做出样本容量（2）从频率分步直方图中看出次数子啊110以上的频数，用频数除以样本容量得到达标率，进而估计高一全体学生的达标率（3）这组数据的中位数落在的位置是刚好把频率分步直方图分成两个相等的部分的位置，测试中各个小组的频数分别是6，12，51，45，27，9前3组频数之和是69，后3组频数之和是81，得到中位数落在第四小组【解答】解：（1）各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3第二
26、小组的频率是0.08第二小组频数为12，样本容量是150（2）次数在110以上（含110次）为达标，高一学生的达标率是88%即高一有88%的学生达标（3）这组数据的中位数落在的位置是刚好把频率分步直方图分成两个相等的部分的位置，测试中各个小组的频数分别是6，12，51，45，27，9前3组频数之和是69，后3组频数之和是81，中位数落在第四小组，即跳绳次数的中位数落在第四小组中【点评】本题考查频率分步直方图，考查用样本的频率分布估计总体的频率分布，本题解题的关键是读懂直方图，本题是一个基础题19（12分）已知f（x）为定义在1，1上的奇函数，当x1，0时，函数解析式为f（x）（bR）（）求b的
27、值，并求出f（x）在0，1上的解析式；（）求f（x）在0，1上的最值【分析】（）利用奇函数f（0）0，即可求出b的值，利用函数的奇偶性直接并求出f（x）在0，1上的解析式；（）利用换元法化简函数为求f（x）为二次函数，然后求解在0，1上的最值【解答】解：（）f（x）为定义在1，1上的奇函数，且f（x）在x0处有意义，f（0）0，即f（0）1b0b1（3分）设x0，1，则x1，0f（x）4x2x又f（x）f（x）f（x）4x2xf（x）2x4x所以，f（x）在0，1上的解析式为f（x）2x4x（6分）（）当x0，1，f（x）2x4x2x（2x）2，设t2x（t0），则f（t）tt2x0，1，t1
28、，2当t1时，取最大值，最大值为110当t0时，取最小值为2所以，函数在0，1上的最大与最小值分别为0，2（12分）【点评】本题考查换元法的应用，函数的奇偶性以及函数的解析式的求法二次函数的闭区间上的最值的求法，考查计算能力20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD60，AB2AD，PD平面ABCD，点M为PC的中点（1）求证：PA平面BMD；（2）求证：ADPB；（3）若ABPD2，求点A到平面BMD的距离【分析】（1）设AC和BD交于点O，MO为三角形PAC的中位线可得MOPA，再利用直线和平面平行的判定定理，证得结论（2）由PD平面ABCD，可得PDAD，
29、再由cosBAD，证得 ADBD，可证AD平面PBD，从而证得结论（3）点A到平面BMD的距离等于点C到平面BMD的距离h，求出MN、MO的值，利用等体积法求得点C到平面MBD的距离h【解答】（1）证明：设AC和BD交于点O，则由底面ABCD是平行四边形可得O为AC的中点由于点M为PC的中点，故MO为三角形PAC的中位线，故MOPA再由PA不在平面BMD内，而MO在平面BMD内，故有PA平面BMD（2）由PD平面ABCD，可得PDAD，平行四边形ABCD中，BCD60，AB2AD，cosBADcos60，ADBD这样，AD垂直于平面PBD内的两条相交直线，故AD平面PBD，ADPB（3）若AB
30、PD2，则AD1，BDABsinBAD2，由于平面BMD经过AC的中点，故点A到平面BMD的距离等于点C到平面BMD的距离取CD得中点N，则MN平面ABCD，且MNPD1设点C到平面MBD的距离为h，则h为所求由ADPB 可得BCPB，故三角形PBC为直角三角形由于点M为PC的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得MDMB，故三角形MBD为等腰三角形，故MOBD由于PA，MO 由VMBCDVCMBD 可得，（）MN（BDMO ）h，故有 （）1（）h，解得h【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理，直线和平面垂直的性质，用等体积法求点到平面的距离，体现了数形结合和等价转化的数学
31、思想，属于中档题21（12分）已知直线l经过两点A（2，1），B（6，3）（1）求直线l的方程；（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于点（2，0），求圆C的方程；（3）若过B点向（2）中圆C引切线，BS、BT，S、T分别是切点，求ST直线的方程【分析】（1）根据两点式方程即可求直线l的方程；（2）根据直线和圆相切建立条件关系即可求圆C的方程；（3）根据直线和圆相切建立条件关系即可求ST直线的方程【解答】解：（1）由题可知：直线l经过点（2，1），（6，3），由两点式可得直线l的方程为：整理得：x2y0，（2）依题意：设圆C的方程为：（x2）2+y2+ky0，（k0）其圆心为（2，）圆心C
32、在x2y0上，220，k2圆C的方程为（x2）2+y22y0，即（x2）2+（y1）21（3）圆（x2）2+（y1）21的圆心为C（2，1）则BC的中点坐标为（4，2），|BC|S、T分别是切点，以B（6，3），C（2，1）为直径的圆的方程为（x4）2+（y2）25，即x2+y28x4y+150，C的方程为x2+y24x2y+40，两个方程相减得4x+2y110【点评】本题主要考查圆的方程的求解，以及圆的相交弦的求解，考查学生的运算能力22（12分）已知圆M（M为圆心）的方程为x2+（y2）21，直线l的方程为x2y0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B（1）若APB6
33、0，试求点P的坐标；（2）求证：经过A、P、M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标【分析】（1）设P（2m，m），代入圆方程，解得m，进而可知点P的坐标（2）设P（2m，m），MP的中点 ，因为PA是圆M的切线，进而可知经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m的恒等式，进而可求得x和y，得到经过A，P，M三点的圆必过定点的坐标【解答】解：（1）设P（2m，m），由题可知，即（2m）2+（m2）24，（3分）解得：故所求点P的坐标为P（0，0）或 （6分）（2）设P（2m，m），MP的中点，因为PA是圆M的切线所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，故其方程为：（9分）化简得：x2+y22ym（2x+y2）0，此式是关于m的恒等式，故解得或即（0，2）和（）（14分）【点评】本题主要考查了圆方程的综合运用解题的关键是对圆性质的熟练掌握