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2018-2019学年河南省天一大联考高一(上)期中数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年河南省天一大联考高一(上)期中数学试卷一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1(5分)已知集合,下列结论正确的是()AABBACCBCDABC2(5分)已知集合,若BA,则实数k的值为()A1或2BC1D23(5分)下列各组函数中,表示同一函数的是()Af(x)2lgx,g(x)lgx2BCf(x)x,g(x)10lgxD4(5分)某班共50名同学都选择了课外兴趣小组,其中选择音乐的有25人,选择体育的有20人,音乐、体育两个小组都没有选的有18人,则这个班同时选择音乐和体育的人数为()A15B14C13D85(5分)定于集合A,B的一种运算“*”:A*Bx|x

2、x1x2,x1A,x2B若P1,2,3,4,Q1,2,则P*Q中的所有元素之和为()A5B4C3D26(5分)若2a0.5,b2.70.3,c0.32.7,则a,b,c的大小关系是()AabcBcbaCcabDacb7(5分)已知2x3ya,且 +2,则a的值为()AB6CD368(5分)函数的零点所在的区间是()ABCD(1,2)9(5分)已知函数,则不等式f(x+1)+f(32x)0的解集为()A(4,+)B(,4)CD10(5分)已知f(x)是定义在R上的单调函数,若ff(x)ex1,则f(e)()AeeBeC1D011(5分)已知幂函数f(x)(m1)xn的图象过点,设af(m),bf

3、(n),cf(lnn),则()AcbaBcabCbcaDabc12(5分)已知函数,若关于x的方程f(x)t0有3个不同的实数根,则实数t的取值范围是()A0,1B(0,1)C0,log23D(0,log23)二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分13(5分)设集合Ax|x1,Bx|x5,那么(RA)B 14(5分)函数的定义域是 15(5分)函数在定义域(,2)(3,+)上的增区间是 16(5分)函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+)上递增,若f(1)0,f(0)0,则不等式xf(x1)0的解集是 三、解答题:本大题共6个小题,共70分17(10分)计算:(1);(2)

4、18(12分)已知函数的定义域为集合A,函数的值域为集合B(1)求AB;(2)设集合Cx|ax3a2,若CAC,求实数a的取值范围19(12分)已知函数f(x)x+ln(1+x)ln(1x)(1)求f(x)的定义域,并直接写出f(x)的单调性;(2)用定义证明函数f(x)的单调性20(12分)已知二次函数f(x)x2+(2a1)x+1a(1)证明:对于任意的aR,g(x)f(x)1必有两个不同的零点;(2)是否存在实数a的值,使得yf(x)在区间(1,0)及(0,2)内各有一个零点?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由21(12分)某工厂生产甲、乙两种产品所得的利润分别为P和Q(

5、万元),它们与投入资金m(万元)的关系为:今将300万资金投入生产甲、乙两种产品,并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于75万元(1)设对乙种产品投入资金x(万元),求总利润y(万元)关于x的函数;(2)如何分配投入资金,才能使总利润最大?并求出最大总利润22(12分)已知函数(1)判断函数奇偶性;(2)求函数f(x)的值域;(3)当x(0,2时,mf(x)+2+2x0恒成立,求实数m的取值范围注:函数在(0,a上单调递减,在上单调递增2018-2019学年河南省天一大联考高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1(5分)已知集合,下列结论正确

6、的是()AABBACCBCDABC【分析】可求出Ax|x0,By|y0,而C表示点集,从而得出AB,从而选A【解答】解:Ax|x0,By|y0,C表示曲线y上的点形成的集合;AB故选:A【点评】考查描述法的定义,以及集合相等的定义2(5分)已知集合,若BA,则实数k的值为()A1或2BC1D2【分析】由集合元素的互异性及子集的概念可知,由此能求出实数k的值【解答】解:集合,BA,由集合元素的互异性及子集的概念可知,解得实数k2故选:D【点评】本题考查实数值的求法,考查集合元素的互异性及子集的概念等基础知识,考查运算求解能力,是基础题3(5分)下列各组函数中,表示同一函数的是()Af(x)2lg

7、x,g(x)lgx2BCf(x)x,g(x)10lgxD【分析】通过判断解析式不同,即可判断A,B两选项的函数不是同一函数,通过求定义域可判断选项C的函数不是同一函数,从而选D【解答】解:Af(x)2lgx,g(x)lgx22lg|x|,解析式不同,不是同一函数;Bf(x)1(x0,解析式不同,不是同一函数;Cf(x)x的定义域为R,g(x)10lgx的定义域为(0,+),定义域不同,不是同一函数;Df(x)2x的定义域为R,的定义域为R,定义域和解析式都相同,是同一函数故选:D【点评】考查函数的定义,判断两函数是否为同一函数的方法:判断定义域和解析式是否都相同4(5分)某班共50名同学都选择

8、了课外兴趣小组,其中选择音乐的有25人,选择体育的有20人,音乐、体育两个小组都没有选的有18人,则这个班同时选择音乐和体育的人数为()A15B14C13D8【分析】设音乐和体育小组都选的人数为x人,你出维恩图,则只选择音乐的有(25x)人,只选择体育小组的有(20x)人,由此得(25x)+x+(20x)+1850,从而能求出音乐和体育都选的学生的人数【解答】解:如图,设音乐和体育小组都选的人数为x人则只选择音乐的有(25x)人,只选择体育小组的有(20x)人,由此得(25x)+x+(20x)+1850,解得x13,音乐和体育都选的学生有13人,故选:C【点评】本题考查这个班同时选择音乐和体育

9、的人数的求法,考查维恩图等基础知识,考查运算求解能力,是基础题5(5分)定于集合A,B的一种运算“*”:A*Bx|xx1x2,x1A,x2B若P1,2,3,4,Q1,2,则P*Q中的所有元素之和为()A5B4C3D2【分析】直接利用新定义,求解即可【解答】解:P*Qx|xx1x2,x1P,x2Q1,0,1,2,3,P*Q中的所有元素之和为5故选:A【点评】本题考查集合的基本运算,新定义的应用,是基础题6(5分)若2a0.5,b2.70.3,c0.32.7,则a,b,c的大小关系是()AabcBcbaCcabDacb【分析】直接利用指数函数和对数函数的性质求解即可【解答】解:由2a0.5可得al

10、og20.51,b2.70.32.701,0.301c0.32.70,acb故选:D【点评】本题考查了指数函数和对数函数的性质,是基础题7(5分)已知2x3ya,且 +2,则a的值为()AB6CD36【分析】利用对数的换底公式和运算法则即可得出【解答】解:2x3ya,xlg2ylg3lga,2,lgalg6,解得a故选:A【点评】本题考查了对数的换底公式和运算法则,属于基础题8(5分)函数的零点所在的区间是()ABCD(1,2)【分析】由函数的解析式可得f()f()0,再根据f(x)是R上的增函数,可得函数在区间(,)上有唯一零点,由此可得选项【解答】解:由函数的在R上是增函数,f()10,f

11、()0,且f()f()0,可得函数在区间(,)上有唯一零点故选:C【点评】本题主要考查求函数的值,函数零点的判定定理,属于基本知识的考查9(5分)已知函数,则不等式f(x+1)+f(32x)0的解集为()A(4,+)B(,4)CD【分析】判断函数的单调性以及函数的奇偶性,转化不等式求解即可【解答】解:函数,是奇函数,在R上是减函数,不等式f(x+1)+f(32x)0,可得f(x+1)f(32x)f(2x3),解得:x+12x3,可得x4,所以不等式f(x+1)+f(32x)0的解集x|x4故选:B【点评】本题考查分段函数的应用,函数的奇偶性以及函数的单调性的应用,考查转化思想以及计算能力10(

12、5分)已知f(x)是定义在R上的单调函数,若ff(x)ex1,则f(e)()AeeBeC1D0【分析】根据题意,分析可得f(x)ex为常数,设f(x)ext,则f(x)ex+t,结合题意可得f(t)1即et+t0,解可得t的值,即可得函数的解析式,将xe代入计算可得答案【解答】解:根据题意,f(x)是定义在R上的单调函数,若ff(x)ex1,则f(x)ex为常数,设f(x)ext,则f(x)ex+t,又由ff(x)ex1,即f(t)1,则有et+t1,分析可得:t0,则f(x)ex,则f(e)ee,故选:A【点评】本题考查抽象函数的求值,关键是求出函数的解析式,属于综合题11(5分)已知幂函数

13、f(x)(m1)xn的图象过点,设af(m),bf(n),cf(lnn),则()AcbaBcabCbcaDabc【分析】由幂函数f(x)(m1)xn的图象过点,列方程组求出m2,n,从而f(x),再由f(x)x在(0,+)是增函数,能比较a,b,c的大小【解答】解:幂函数f(x)(m1)xn的图象过点,解得m2,n,f(x),f(x)x在(0,+)是增函数,0ln1,f(2)f()f(ln),abc即cba故选:A【点评】本题考查三个数的大小的比较,考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,是基础题12(5分)已知函数,若关于x的方程f(x)t0有3个不同的实数根,则实数t的

14、取值范围是()A0,1B(0,1)C0,log23D(0,log23)【分析】画出函数作f(x)的图象,利用数形结合,转化求解即可【解答】解:方程f(x)t0有3个不同的实数根,画出yf(x)的函数图象以及yt中的图象,|log23|log22|1,t(0,1),故选:B【点评】本题考查了方程解与函数图象的关系,属于中档题二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分13(5分)设集合Ax|x1,Bx|x5,那么(RA)B1,5)【分析】由A求出RA,再由交集的运算求出(RA)B【解答】解:RAx|x1,(RA)Bx|1x5故答案为:1,5)【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础14

15、(5分)函数的定义域是2,3)(3,4)【分析】可看出,要使得原函数有意义,则需满足,解出x的范围即可【解答】解:要使函数有意义,则;解得2x4,且x3;该函数定义域为2,3)(3,4)故答案为:2,3)(3,4)【点评】考查函数定义域的概念及求法,对数的真数大于0,指数函数的单调性15(5分)函数在定义域(,2)(3,+)上的增区间是(,2)【分析】根据题意,设tx2x6,则y,由二次函数的性质可得tx2x6在(,2)上为减函数,在(3,+)上为增函数,又由y为减函数,由复合函数的单调性判断方法分析可得答案【解答】解:根据题意,设tx2x6,则y,函数tx2x6在(,2)上为减函数,在(3,

16、+)上为增函数,而y为减函数,则函数f(x)的递增区间为(,2);故答案为:(,2)【点评】本题考查复合函数的单调性判断方法,注意复合函数的定义域,属于基础题16(5分)函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+)上递增,若f(1)0,f(0)0,则不等式xf(x1)0的解集是(,0)(0,2)【分析】根据题意,由函数的单调性和特殊值可得在0,1)上,f(x)0,在(1,+)上,f(x)0,结合函数的奇偶性可得在区间(1,0上,f(x)0,在区间(,1)上,f(x)0,又由xf(x1)0或,分析可得答案【解答】解:根据题意,f(x)在(0,+)上递增,且f(1)0,f(0)0,则在0,1)

17、上,f(x)0,在(1,+)上,f(x)0,又由函数f(x)为偶函数,则在区间(1,0上,f(x)0,在区间(,1)上,f(x)0,xf(x1)0或,分析可得:x0或0x2,即不等式的解集为(,0)(0,2);故答案为:(,0)(0,2)【点评】本题考查抽象函数的性质以及应用,涉及函数奇偶性与单调性的综合应用,属于基础题三、解答题:本大题共6个小题,共70分17(10分)计算:(1);(2)【分析】(1)利用指数性质、运算法则直接求解(2)利用对数性质、运算法则直接求解【解答】解:(1)()+()61()()+721()71(2)lg5+lg2+log53log35lg10+1+12【点评】本

18、题考查对数式、指数式化简求值,考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识,考查运算求解能力,是基础题18(12分)已知函数的定义域为集合A,函数的值域为集合B(1)求AB;(2)设集合Cx|ax3a2,若CAC,求实数a的取值范围【分析】(1)可解出A0,2),B1,4,然后进行交集的运算即可;(2)根据CAC即可得出CA,可讨论C是否为空集:C时,a3a2;C时,解出a的范围即可【解答】解:(1)由得,;解得0x2;A0,2);1x1;2x10;B1,4;AB1,2);(2)CAC;CA;C时,a3a2;a1;C时,则;解得;综上,实数a的取值范围是【点评】考查对数的真数大于0,函数定义域、值

19、域的概念及求法,指数函数的单调性,以及交集的运算,子集的定义19(12分)已知函数f(x)x+ln(1+x)ln(1x)(1)求f(x)的定义域,并直接写出f(x)的单调性;(2)用定义证明函数f(x)的单调性【分析】(1)根据对数函数的性质求出函数的定义域即可;(2)根据函数单调性的定义证明即可【解答】解:(1)由题意得1+x0且1x0,解得:1x1,故函数的定义域是(1,1),函数f(x)在(1,1)递增;(2)证明:在定义域(1,1)内任取x1,x2,且x1x2,则f(x1)f(x2)x1x2+ln,由于1x1x21,故01+x11+x2,故01,同理01,故01,故ln0,由于x1x2

20、0,故f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),故函数f(x)为(1,1)上的增函数【点评】本题考查了函数的定义域以及函数的单调性问题,考查函数单调性的证明,是一道常规题20(12分)已知二次函数f(x)x2+(2a1)x+1a(1)证明:对于任意的aR,g(x)f(x)1必有两个不同的零点;(2)是否存在实数a的值,使得yf(x)在区间(1,0)及(0,2)内各有一个零点?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由【分析】(1)结合二次函数的性质证明即可;(2)假设存在,得到各有a的不等式组,解不等式,判断即可【解答】解:(1)令g(x)0,则f(x)1,即x2+(2a1)xa

21、0,(2a1)2+4a4a2+10对任意的aR恒成立,故x2+(2a1)xa0必有2个不相等的实数根,从而方程f(x)1必有2个不相等的实数根,故对于任意的aR,g(x)f(x)1必有2个不同的零点;(2)不存在,理由如下:由题意,要使yf(x)在区间(1,0)以及(0,2)内各有1个零点,只需即,故,无解,故不存在实数a的值,使得yf(x)在区间(1,0)及(0,2)内各有一个零点【点评】不同考查了二次函数的性质,考查函数的零点以及转化思想,是一道中档题21(12分)某工厂生产甲、乙两种产品所得的利润分别为P和Q(万元),它们与投入资金m(万元)的关系为:今将300万资金投入生产甲、乙两种产

22、品,并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于75万元(1)设对乙种产品投入资金x(万元),求总利润y(万元)关于x的函数;(2)如何分配投入资金,才能使总利润最大?并求出最大总利润【分析】(1)根据题意,对乙种产品投资x(万元),对甲种产品投资(150x)(万元),利用利润公式,可求甲、乙两种产品的总利润y(万元)关于x的函数表达式;(2)利用配方法,可求总利润y的最大值【解答】解:(1)根据题意,对乙种产品投资x(万元),对甲种产品投资(300x)(万元),那么总利润y(300x)+30+40+3x+3+115,由,解得75x225,所以yx+3+1154,其定义域为75,225,(2)令t

23、,因为x75,225,故t5,15,则yt2+3t+115(t10)2+130,所以当t10时,即x100时,ymax130,答:当甲产品投入200万元,乙产品投入100万元时,总利润最大为130万元【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查函数的最值,正确建立函数解析式是关键22(12分)已知函数(1)判断函数奇偶性;(2)求函数f(x)的值域;(3)当x(0,2时,mf(x)+2+2x0恒成立,求实数m的取值范围注:函数在(0,a上单调递减,在上单调递增【分析】(1)根据定义域和定义判断即可;(2)根据指数的范围即可求解f(x)的值域(3)利用换元法转化为对勾函数,即可求解实数m的取值范围【解答】解:函数其定义域为R;f(x)(1)f(x),f(x)是奇函数;(2)由函数f(x)y1,可得,即2x0,即解得:1y1f(x)的值域(1,1)(3)当x(0,2时,mf(x)+2+2x0恒成立,即(1)m+2+2x0恒成立,可得(2x1)m+(2+2x)(2x+1)0;x(0,2;2x10则m,即m;令2x1t,(0,3;那么yt+;当且仅当t时取等号m;可得实数m的取值范围)【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解,换元法,转化思想的应用,对勾函数的最值以及单调性的应用