1、2018-2019学年河南省洛阳一中高一（上）12月月考数学试卷一、选择题1（3分）如图所示，正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A6B8C2+3D2+22（3分）一个三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的表面积为（）ABCD3（3分）若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线（）A平行B异面C相交D平行或异面4（3分）已知函数f（x）的定义域为（1，0），则函数f（2x2）的定义域为（）A（1，1）B（1，）C（，1）D（1，0）5（3分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（3x）f（x+1），当x2时f（x）单调递减且f（a）f（0
2、），则实数a的取值范围是（）A2，+）B0，4C（，0）D（，0）4，+）6（3分）如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）AEF与BB1垂直BEF与BD垂直CEF与CD异面DEF与A1C1异面7（3分）设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PAQC1，则四棱锥BAPQC的体积为（）ABCD8（3分）设m，n为两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列四个命题中为真命题的是（）A若m，n，则mnB若m，m，则C若m，n，mn，则D若，m，n，则mn9（3分）在空间四边形ABCD中，若ABBC，
3、ADCD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是（）A平面ABD平面BDCB平面ABC平面ABDC平面ABC平面ADCD平面ABC平面BED10（3分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）ABCD11（3分）正方体AC1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值等于（）ABCD12（3分）如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为1，E、F分别是棱是AA，CC的中点，过直线EF的平面分别与棱BB，DD交于M，N，设BMx，x0，1，给出以下四种说法：（1）平面MENF平面BDDB；（2）当且仅当x时，四边形MENF的面积最小；（3）四边形MENF周长Lf（
4、x），x0，1是单调函数；（4）四棱锥CMENF的体积Vh（x）为常函数，以上说法中正确的为（）A（2）（3）B（1）（3）（4）C（1）（2）（3）D（1）（2）二、填空题13（3分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为 14（3分）半径分别为5，6的两个圆相交于A，B两点，AB8，且两个圆所在平面相互垂直，则它们的圆心距为 15（3分）已知a，b为直线，为平面，有下列四个命题：（1）a，b，则ab； （2）a，b，则ab；（3）ab，b，则a；（4）ab，a，则b；其中正确命题是 16（3分
5、）关于函数，有下列命题：其图象关于原点对称；当x0时，f（x）是增函数；当x0时，f（x）是减函数；f（x）的最小值是ln2；f（x）在区间（0，1）和（，2）上是减函数；f（x）无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是 三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共70分）17（10分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，E为PD的中点，F为AC和BD的交点（1）证明：PB平面AEC；（2）证明：平面PAC平面PBD18（12分）在120的二面角l的两个面内分别有点A，B，A，B，
6、A，B到棱l的距离AC，BD分别是2，4，且线段AB10（1）求C，D间的距离；（2）求直线AB与平面所成角的正弦值19（12分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点（ I）求证：平面PAC平面PBC；（ II）若AC1，PA1，求圆心O到平面PBC的距离20（12分）如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB2AD2，ACBC，F是AB上一点，且AF，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知CE（1）求证：ADBC；（2）求三棱锥ACFD的体积21（12分）如图，在四棱锥中PABCD，ABBCCDDA，BAD60，AQQD，PAD是正三角形（1）求证
7、：ADPB；（2）已知点M是线段PC上，MCPM，且PA平面MQB，求实数的值22（12分）已知函数f（x）2x（xR），（1）解不等式f（x）f（2x）1692x；（2）若函数q（x）f（x）f（2x）m在1，1上有零点，求m的取值范围；（3）若函数f（x）g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，若不等式2ag（x）+h（2x）0对任意x1，2恒成立，求实数a的取值范围2018-2019学年河南省洛阳一中高一（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1（3分）如图所示，正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A6B8C2
8、+3D2+2【分析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求【解答】解：作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段CBx轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变，点C和B在原图形中对应的点C和B的纵坐标是OB的2倍，则OB2，所以OC3，则四边形OABC的长度为8故选：B【点评】本题考查了平面图形的直观图，考查了数形结合思想，解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法，能正确的画出直观图的原图形2（3分）一个三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的表面积为（）ABCD【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为三棱锥，底面为等腰直角三角形，高PC3
9、，求出各面面角，则答案可求【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，底面为等腰直角三角形，高PC3，PAPB，AB，三棱锥的表面积为8+故选：B【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题3（3分）若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线（）A平行B异面C相交D平行或异面【分析】分别在两个互相平行的平面内的两条直线，没有公共点，故平行或异面【解答】解：分别在两个互相平行的平面内的两条直线，没有公共点，故平行或异面，故选：D【点评】熟练掌握空间直线平面之间位置关系的判定、性质、定义是解答本题的关键4（3分）已知函数f（x）的定义域为（1，
10、0），则函数f（2x2）的定义域为（）A（1，1）B（1，）C（，1）D（1，0）【分析】由12x20，求解x的范围得答案【解答】解：f（x）的定义域为（1，0），由12x20，得x1函数f（2x2）的定义域为（，1）故选：C【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题5（3分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（3x）f（x+1），当x2时f（x）单调递减且f（a）f（0），则实数a的取值范围是（）A2，+）B0，4C（，0）D（，0）4，+）【分析】由题意可得f（x）的图象关于直线x2对称，当x2时f（x）单调递减，可得x2时f（x）单调递增，即有f（2）为
11、最大值，即可得到所求不等式的解集【解答】解：定义域为R的函数f（x）满足f（3x）f（x+1），可得f（x）的图象关于直线x2对称，当x2时f（x）单调递减，可得x2时f（x）单调递增，即有f（2）为最大值，则f（a）f（0），又f（0）f（4），可得0a2或2a4，即为0a4故选：B【点评】本题考查函数的对称性和单调性的应用，考查不等式的解法，属于基础题6（3分）如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）AEF与BB1垂直BEF与BD垂直CEF与CD异面DEF与A1C1异面【分析】观察正方体的图形，连B1C，则B1C交BC1于F且
12、F为BC1中点，推出EFA1C1；分析可得答案【解答】解：连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，三角形B1AC中EF，所以EF平面ABCD，而B1B面ABCD，所以EF与BB1垂直；又ACBD，所以EF与BD垂直，EF与CD异面由EF，ACA1C1得EFA1C1故选：D【点评】本题考查异面直线的判定，考查空间想象能力，是基础题7（3分）设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PAQC1，则四棱锥BAPQC的体积为（）ABCD【分析】由已知中三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PAQC1，我们可得SAPQC，
13、即VBAPQC，再结合同底等高的棱柱的体积为棱锥体积的3倍，即可求出答案【解答】解：三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，又P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PAQC1，四棱锥BAPQC的底面积SAPQC又VBACC1A1VBAPQC故选：C【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积、棱锥的体积，其中分析出棱锥与原棱柱之间底面积、高之间的比例关系是解答本题的关键8（3分）设m，n为两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列四个命题中为真命题的是（）A若m，n，则mnB若m，m，则C若m，n，mn，则D若，m，n，则mn【分析】根据空间直线和平面平行的判定定理和性质定理分别进行判断即可【解答】解：A
14、平行同一平面的两个平面不一定平行，故A错误，B平行同一直线的两个平面不一定平行，故B错误，C根据直线平行的性质可知不一定成立，故C错误，D根据面面平行的性质定理得，若，m，n，则mn成立，故D正确故选：D【点评】本题主要考查空间直线和平面平行的位置的关系的判定，根据相应的性质定理和判定定理是解决本题的关键9（3分）在空间四边形ABCD中，若ABBC，ADCD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是（）A平面ABD平面BDCB平面ABC平面ABDC平面ABC平面ADCD平面ABC平面BED【分析】利用面面垂直的判定定理去分别判断【解答】解：连接DE，BE因为E为对角线AC的中点，且ABBC，AD
15、CD，所以DEAC，BEAC因为DEBEE，所以AC面BDEAC面ABC，所以平面ABC平面BED，故选：D【点评】本题主要考查了面面垂直的判定，要求熟练掌握面面垂直的判定定理10（3分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）ABCD【分析】利用三视图的空间几何体的结构特征，镶嵌在长方体中求解【解答】解：根据三视图得出几何体为四棱锥，是长方体的一部分，把它镶嵌在长方体中，长宽为4，高为5，宽为3，体对角线外接球的半径，R，该几何体的外接球的体积为：，故选：D【点评】本题综合考查了空间几何体的三角图的运用，空间思维能力的运用，属于中档题，构造思想的运用11（3分）正方体AC
16、1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值等于（）ABCD【分析】先找二面角A1BDA的平面角，在A1OA中，A1OA即为二面角A1BDA的平面角【解答】解：连接AC交BD与点O如图所示，因为AA1BD，ACBD，所以A1OA即为二面角A1BDA的平面角，在A1OA中，AA1a，AOa，所以二面角A1BDA的正切值为故选：C【点评】这是利用面面垂直来找二面角的问题，找二面角的关键是过公共棱上同一点，在两半平面内作棱的垂线，找两垂线所成角常用方法是用三垂线定理或其逆定理12（3分）如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为1，E、F分别是棱是AA，CC的中点，过直线EF的平面分别
17、与棱BB，DD交于M，N，设BMx，x0，1，给出以下四种说法：（1）平面MENF平面BDDB；（2）当且仅当x时，四边形MENF的面积最小；（3）四边形MENF周长Lf（x），x0，1是单调函数；（4）四棱锥CMENF的体积Vh（x）为常函数，以上说法中正确的为（）A（2）（3）B（1）（3）（4）C（1）（2）（3）D（1）（2）【分析】（1）利用面面垂直的判定定理去证明EF平面BDDB（2）四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可（3）判断周长的变化情况（4）求出四棱锥的体积，进行判断【解答】解：（1）连结BD，BD，则由正方体的性质可知，EF平面B
18、DDB，所以平面MENF平面BDDB，所以正确（2）连结MN，因为EF平面BDDB，所以EFMN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小所以正确（3）因为EFMN，所以四边形MENF是菱形当x0，时，EM的长度由大变小当x，1时，EM的长度由小变大所以函数Lf（x）不单调所以错误（4）连结CE，CM，CN，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以CEF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥因为三角形CEF的面积是个常数M，N到平面CEF的距离是个常数，所以四棱锥CMENF的体积Vh（
19、x）为常函数，所以正确故选：C【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高二、填空题13（3分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为90【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成角【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（1，0，2），E（0，0，1），G（
20、0，2，1），F（1，1，0），（1，0，1），（1，1，1），设异面直线A1E与GF所成角为，cos|cos|0，异面直线A1E与GF所成角为90故答案为：90【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用14（3分）半径分别为5，6的两个圆相交于A，B两点，AB8，且两个圆所在平面相互垂直，则它们的圆心距为【分析】作出图形，结合图形分别求出两圆圆心到相交弦的距离，由此能求出两圆的圆心距【解答】解：如图，半径分别为5，6的两个圆O1，O2相交于A，B两点，AB8，两个圆所在平面EFCD平面MNCD，取AB中点O，连结OO1，OO
21、2，则OO1OO2，OO13，OO22，它们的圆心距|O1O2|故答案为：【点评】本题考查两圆圆心距的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、转化化归思想，考查运用意识，是中档题15（3分）已知a，b为直线，为平面，有下列四个命题：（1）a，b，则ab； （2）a，b，则ab；（3）ab，b，则a；（4）ab，a，则b；其中正确命题是（2）【分析】利用空间直线与平面的平行与垂直判定及性质即可解决【解答】解：对于（1），a，b，则ab，、位置关系不确定，a、b的位置关系不能确定；对于（2），由垂直于同一平面的两直线平行，知结论正确；对于（3），ab，b，则a或a；对
22、于（4），ab，a，则b或b故答案为：（2）【点评】本题考查线面位置关系的判定及性质，属于基础题16（3分）关于函数，有下列命题：其图象关于原点对称；当x0时，f（x）是增函数；当x0时，f（x）是减函数；f（x）的最小值是ln2；f（x）在区间（0，1）和（，2）上是减函数；f（x）无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是【分析】由f（x）f（x），可得f（x）的图象关于y轴对称，即可判断；结合对勾函数的单调性，即可判断；由基本不等式可得f（x）的最小值，即可判断；由的结论，即可判断；由的结论，即可判断【解答】解：函数，由f（x）lnf（x），可得f（x）为偶函数，故f（x）的图象关于y
23、轴对称，则不正确；当x0时，f（x）ln（x+）在x1递增，在0x1递减；当x0时，f（x）在x1是减函数，1x0是增函数，故不正确；f（x）ln（|x|+）ln2，当且仅当x1取得等号，即f（x）的最小值是ln2，故正确；由f（x）在在0x1递减，在x1是减函数，则f（x）在区间（0，1）和（，2）上是减函数，故正确；f（x）有最小值ln2，无最大值，故不正确故答案为：【点评】本题考查函数的性质和运用，主要是对称性和单调性、最值的求法，考查定义法和运算能力，属于中档题三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共
24、70分）17（10分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，E为PD的中点，F为AC和BD的交点（1）证明：PB平面AEC；（2）证明：平面PAC平面PBD【分析】（1）连接EF，利用中位线定理得出EFPB，故而PB平面AEC；（2）由PA平面ABCD得PABD，结合ACBD可得BD平面PAC，故而平面PAC平面PBD【解答】解：（1）证明：连接EF，四边形ABCD是菱形，F是BD的中点，又E是PD的中点，PBEF，又EF平面AEC，PB平面AEC，PB平面AEC；（2）PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，四边形ABCD是菱形，BDAC，又AC平面PAC，P
25、A平面PAC，ACPAA，BD平面PAC，又BD平面PBD，平面PAC平面PBD【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题18（12分）在120的二面角l的两个面内分别有点A，B，A，B，A，B到棱l的距离AC，BD分别是2，4，且线段AB10（1）求C，D间的距离；（2）求直线AB与平面所成角的正弦值【分析】（1），设C，D间的距离为a，则（）2+2，由此能求出C，D间的距离（2）过点C在平面内作CEDB，且CEBD，连结BE，AE，过点A作AO平面，交EC延长线于O，连结BO，则ABO是直线AB与平面所成角，由此能求出直线AB与平面所成角的正弦值【解答】解：（1），设C，D间的
26、距离为a，在120的二面角l的两个面内分别有点A，B，A，B，A，B到棱l的距离AC，BD分别是2，4，且线段AB10（）2+2，即1004+a2+16+224cos60，解得a6，C，D间的距离为6（2）过点C在平面内作CEDB，且CEBD，连结BE，AE，过点A作AO平面，交EC延长线于O，由题意得CO，AO，连结BO，则ABO是直线AB与平面所成角，sin直线AB与平面所成角的正弦值为【点评】本题考查空间中两点间距离的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（12分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆所在的平面，C是
27、圆上的点（ I）求证：平面PAC平面PBC；（ II）若AC1，PA1，求圆心O到平面PBC的距离【分析】（1）证明ACBC，PABC，然后证明BC平面PAC，转化证明平面PAC平面PBC（2）过A点作ADPC于点D，连BD，取BD的中点E，连OE，说明OE长就是O到平面PBC的距离，然后求解即可【解答】解：（1）证明：由AB是圆的直径得ACBC，由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABCBC平面PAC，（4分）又BC平面PBC，所以平面PAC平面PBC（6分）（2）过A点作ADPC于点D，则由（1）知AD平面PBC，（8分）连BD，取BD的中点E，连OE，则OEAD，又AD平面PBCOE平
28、面PBC，所以OE长就是O到平面PBC的距离（10分）由中位线定理得（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理以及点、线、面距离的求法，考查转化思想以及计算能力20（12分）如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB2AD2，ACBC，F是AB上一点，且AF，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知CE（1）求证：ADBC；（2）求三棱锥ACFD的体积【分析】（1）根据ADBD，ADCE得出AD平面BCD，故而ADBC；（2）根据VACFDVCADF，代入体积公式计算【解答】（1）证明：AD是圆的直径，ADBD，又CE平面ABD，AD平面ABD，ADCE，又BDCE
29、E，AD平面BCD，又BC平面BCD，ADBC（2）解：AB2AD2，AD，BD3，又AFAB，SADFVACFDVCADF【点评】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题21（12分）如图，在四棱锥中PABCD，ABBCCDDA，BAD60，AQQD，PAD是正三角形（1）求证：ADPB；（2）已知点M是线段PC上，MCPM，且PA平面MQB，求实数的值【分析】（1）连结BD，则ABD为正三角形，从而ADBQ，ADPQ，进而AD平面PQB，由此能证明ADPB（2）连结AC，交BQ于N，连结MN，由AQBC，得，根据线面平行的性质定理得MNPA，由此能求出实数的值【解答】证明：（1
30、）如图，连结BD，由题意知四边形ABCD为菱形，BAD60，ABD为正三角形，又AQQD，Q为AD的中点，ADBQ，PAD是正三角形，Q为AD中点，ADPQ，又BQPQQ，AD平面PQB，又PB平面PQB，ADPB解：（2）连结AC，交BQ于N，连结MN，AQBC，PN平面MQB，PA平面PAC，平面MQB平面PACMN，根据线面平行的性质定理得MNPA，综上，得，MC2PM，MCPM，实数的值为2【点评】本题考查线线垂直的证明，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养22（12分）已知函数f（x）2x（xR），（1）解不等式f（x）f（2x）1692x；（2）若函
31、数q（x）f（x）f（2x）m在1，1上有零点，求m的取值范围；（3）若函数f（x）g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，若不等式2ag（x）+h（2x）0对任意x1，2恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）设t2x，利用f（x）1692x，转化不等式为二次不等式，求解即可（2）设t2x，求出，利用二次函数的性质求解最值然后求解m的取值范围为（3）利用函数的奇偶性以及函数恒成立，结合基本不等式求解函数的最值，推出结果【解答】解：（1）设t2x，由f（x）1692x得：tt2169t，即t210t+160（7分）2t8，即22x8，1x3不等式的解集为（1，3）（4分）（2）设t2x，x1，1，f（x）的值域为函数有零点等价于方程有解等价于m在f（x）的值域内，m的取值范围为（10分）（3）由题意得解得2ag（x）+h（2x）0即，对任意x1，2恒成立，又x1，2时，令，在上单调递增，当时，有最大值，所以（16分）【点评】本题考查函数与方程的综合应用，二次函数的性质，基本不等式以及函数恒成立的转化，考查计算能力