1、2018-2019学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合Ax|yln（1x），Bx|2x1，则AB（）Ax|x1Bx|0x1Cx|0x1Dx|x02（5分）下列直线中过第一、二、四象限的是（）Ay2x+1Bx2y+10Cy22（x1）D13（5分）若a（），b（），elog，则下列大小关系正确的是（）AcabBcbaCabcDacb4（5分）若圆锥的轴截面（过圆锥轴的一个截面）是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）AB2C3D45（5分）已知直线l1：A1x+B1y
2、+C10和直线l2：A2x+B2y+C20，下列说法正确的是（）A若A1B2A2B10，则l1l2B若l1l2，则C若A1A2+B1B20，则l1l2D若l1l2，则16（5分）一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视图为圆内接一个正方形，则该几何体的体积为（）AB328C1616D7（5分）给出以下命题（其中a，b，l是空间中不同的直线，是空间中不同的平面）：若ab，b；则a；若ab，b，则a；若，l，则l；若la，lb，a，b，则l其中正确的个数为（）A0个B1个C2个D3个8（5分）与直线3x4y+50关于y轴对称的直线方程是（）A3x+4y50B3x+4y+50
3、C3x4y+50D3x4y509（5分）已知f（x）a|x|+x21（a0且a1），f（1）2，若实数m满足f（m1）2，则实数m的取值范围是（）A（，0B2，+）C0，+）D（，02，+）10（5分）同时与圆x2+y2+6x70和圆x2+y26y270都相切的直线共有（）A1条B2条C3条D4条11（5分）若函数f（x）（a0且a1）的值域是4，+），则实数a的取值范围是（）A（1，+）B（2，+）C（1，2D（，212（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（）A无论点F在BC1上怎么移动，异面直线A1F与CD所成角都不可能是30B无论
4、点F在BC1上怎么移动，都有A1FB1DC当点F移动至BC1中点时，才有A1F与B1D相交于一点，记为点E，且2D当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1所成角最大且为60二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）在空间直角坐标系中，点A（1，0，2）到点B（2，4，3）的距离为 14（5分）两条平行直线3x4y120与ax8y+110间的距离是 15（5分）在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是矩形，且PA5，AB4，AD3，则该四棱锥外接球的表面积为 16（5分）已知函数f（x），若方程f（x）kx+2k10有3个实数根，则k的取值范围是 三、解
5、答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知函数f（x）axbx，且f（1）2，f（2）12（1）求a，b的值；（2）若x2，1，求f（x）的值域18（12分）求过点（2，4）且与圆（x1）2+（y2）21相切的直线方程19（12分）如图，边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的点，且BEBF1，现将ADE，DCF分别沿DE，DF折起使A，C两点重合于点P（1）求证：平面PDF平面PEF；（2）求E到平面PDF的距离20（12分）已知函数f（x）1g（10x+1）+kx是偶函数（1）求k的值；（2）若关于x的方程f（lgx）m0在
6、，4上有解，求m的取值范围21（12分）四棱锥EABCD中，正方形ABCD所在平面与正三角形ABE所在平面互相垂直，点P是AE的中点，点Q是BD的中点（1）求证：PQ平面BCE；（2）求二面角EBDA的正切值22（12分）已知圆C的圆心在y轴上，点P是圆C的上任一点，且当点P的坐标为（，）时，P到直线3x+4y240距离最大（1）求直线12x5y80被圆C截得的弦长；（2）已知Q（1，2），经过原点，且斜率为k（k0）的直线l与圆C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（）求证：为定值；（）若|QA|2+|QB|222，求直线l的方程2018-2019学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷
7、参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合Ax|yln（1x），Bx|2x1，则AB（）Ax|x1Bx|0x1Cx|0x1Dx|x0【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax|x1，Bx|x0；ABx|0x1故选：B【点评】考查描述法的定义，对数函数的定义域，指数函数的单调性，以及交集的运算2（5分）下列直线中过第一、二、四象限的是（）Ay2x+1Bx2y+10Cy22（x1）D1【分析】根据题意，依次分析选项中直线所经过的象限，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：
8、对于A，y2x+1经过一、二、三象限，不符合题意；对于B，x2y+10，即y+，经过一、二、三象限，不符合题意；对于C，y22（x1），经过点（1，2）且斜率为负，过第一、二、四象限，符合题意；对于D，1经过点（2，0）和（0，3），经过一、二、三象限，不符合题意；故选：C【点评】本题考查直线的斜截式方程和一般式方程，注意直线的形式，属于基础题3（5分）若a（），b（），elog，则下列大小关系正确的是（）AcabBcbaCabcDacb【分析】可以看出，从而得出a，b，c的大小关系【解答】解：，；cab故选：A【点评】考查指数函数、对数函数的单调性，增函数和减函数的定义4（5分）若圆锥的轴截
9、面（过圆锥轴的一个截面）是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）AB2C3D4【分析】根据圆锥的轴截面求出圆锥的母线长和底面圆半径，计算它的侧面积【解答】解：圆锥的轴截面边长为2的等边三角形，如图所示；则圆锥的母线长为l2，底面圆半径为r1，所以圆锥的侧面积为S侧面积rl122故选：B【点评】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题5（5分）已知直线l1：A1x+B1y+C10和直线l2：A2x+B2y+C20，下列说法正确的是（）A若A1B2A2B10，则l1l2B若l1l2，则C若A1A2+B1B20，则l1l2D若l1l2，则1【分析】利用直线与直线平行、直线与直线垂直的性
10、质直接求解【解答】解：由直线l1：A1x+B1y+C10和直线l2：A2x+B2y+C20，得：若A1A2+B1B20，则l1l2故选：C【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6（5分）一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视图为圆内接一个正方形，则该几何体的体积为（）AB328C1616D【分析】根据三视图知该几何体是半球体，中间挖去一个正四棱锥，结合图中数据求出它的体积【解答】解：根据三视图知，该几何体是半球体，中间挖去一个正四棱锥，画出图形如图所示；结合图形中的数据，计算该几何体的体积为VV半球
11、体V四棱锥23442故选：D【点评】本题考查了利用三视图求简单几何体的体积应用问题，是基础题7（5分）给出以下命题（其中a，b，l是空间中不同的直线，是空间中不同的平面）：若ab，b；则a；若ab，b，则a；若，l，则l；若la，lb，a，b，则l其中正确的个数为（）A0个B1个C2个D3个【分析】在中，a或a；在中，a或a；在中，l与相交、平行或l；在中，l与有可能不垂直【解答】解：由a，b，l是空间中不同的直线，是空间中不同的平面，知：在中，若ab，b，则a或a，故错误；在中，若ab，b，则a或a，故错误；在中，若，l，则l与相交、平行或l，故错误；在中，若la，lb，a，b，则l与有可能
12、不垂直，故错误故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题8（5分）与直线3x4y+50关于y轴对称的直线方程是（）A3x+4y50B3x+4y+50C3x4y+50D3x4y50【分析】令x0，可得直线3x4y+50与y轴的交点令y0，可得直线3x4y+50与x轴的交点，此点关于y轴的对称点为可得：与直线3x4y+50关于y轴对称的直线经过两点：，利用截距式即可得出【解答】解：令x0，则y，可得直线3x4y+50与y轴的交点令y0，可得x，可得直线3x4y+50与x轴的交点，此点关于y轴的对称点为与直线
13、3x4y+50关于y轴对称的直线经过两点：，其方程为：1，化为：3x+4y50故选：A【点评】本题考查了直线的对称性、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（5分）已知f（x）a|x|+x21（a0且a1），f（1）2，若实数m满足f（m1）2，则实数m的取值范围是（）A（，0B2，+）C0，+）D（，02，+）【分析】根据题意，由f（1）2，则f（1）a+（1）212，解可得a的值，即可得f（x）的解析式，据此分析可得f（x）为偶函数且在0，+）上为增函数，据此可得f（m1）2f（m1）f（1）f（|m1|）f（1）|m1|1，解可得m的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，f（
14、x）a|x|+x21，若f（1）2，则f（1）a+（1）212，解可得a2，则f（x）2|x|+x21，则f（x）2|x|+（x）212|x|+x21f（x），则f（x）为偶函数，在0，+）上，f（x）2x+x21，易得f（x）在0，+）上为增函数，f（m1）2f（m1）f（1）f（|m1|）f（1）|m1|1，解可得：m0或m2，即m的取值范围为：（，02，+）；故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于m的不等式，属于基础题10（5分）同时与圆x2+y2+6x70和圆x2+y26y270都相切的直线共有（）A1条B2条C3条D4条【分析】将圆的方程化为标准方程，
15、求出圆心与半径，可得圆心距，即可得出结论【解答】解：圆x2+y2+6x70化为（x+3）2+y216，圆心为（3，0），半径为4，x2+y26y270化为x2+（y3）236，圆心是（0，3），半径为6，圆心距为，644+6，两圆相交，同时与圆x2+y2+6x70和圆x2+y26y270都相切的直线共有2条故选：B【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系，是基础题11（5分）若函数f（x）（a0且a1）的值域是4，+），则实数a的取值范围是（）A（1，+）B（2，+）C（1，2D（，2【分析】先求出当x2时的值域是4，+），然后求出当x2时，f（x）4即可【解答】解：当x2时，
16、f（x）82x4，8），当x2时，f（x）3+logax，函数f（x）的值域是4，+），当x2时的值域是4，+）的子集，若0a1，函数f（x）为减函数，不满足条件当a1时，当x2时，f（x）3+logax是增函数，且f（x）f（2）3+loga2，此时只要43+loga28，即1loga25，得15，则log2a1，得a2，即实数a的取值范围是（，2，故选：D【点评】本题主要考查函数值域的求解，结合分段函数的性质是解决本题的关键12（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（）A无论点F在BC1上怎么移动，异面直线A1F与CD所成角都不可能是
17、30B无论点F在BC1上怎么移动，都有A1FB1DC当点F移动至BC1中点时，才有A1F与B1D相交于一点，记为点E，且2D当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1所成角最大且为60【分析】先分析A，B，C都正确，故用排除法可得选D【解答】解：对于选项A，当点F从B运动到C1时，异面直线A1F与CD所成角由大到小再到大，且F为B1C的中点时最小角的正切值为，最小角大于30，故A正确；对于选项B，在正方形中，DB1面A1BC1，又A1F面A1BC1，所以A1FB1D，故B正确；对于选项C，F为BC1的中点时，也是B1C的中点，它们共面于平面A1B1CD，且必相交，设为E，连A1D和B1
18、C，根据三角形A1DE三角形FB1E，可得2，故选C也正确；故选：D【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）在空间直角坐标系中，点A（1，0，2）到点B（2，4，3）的距离为5【分析】利用两点间距离公式直接求解【解答】解：点A（1，0，2）到点B（2，4，3）的距离：d5故答案为：5【点评】本题两点间距离的求法，考查两点之间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（5分）两条平行直线3x4y120
19、与ax8y+110间的距离是【分析】由两条平行直线3x4y120与ax8y+110，先求出a6，再利用平行线间距离公式能求出两条平行直线3x4y120与ax8y+110间的距离【解答】解：两条平行直线3x4y120与ax8y+110，a6，由3x4y120，得6x8y240，两条平行直线3x4y120与ax8y+110间的距离：d故答案为：【点评】本题考查两条平行线间的距离的求法，考查平行线间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15（5分）在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是矩形，且PA5，AB4，AD3，则该四棱锥外接球的表面积为50【分析】由三线垂直联想长方体，
20、利用长方体外接球直径为其体对角线长即可得解【解答】解：由题意可知AP，AB，AD两两垂直，故四棱锥PABCD为长方体的一部分，其外接球即为该长方体的外接球，外接球直径即为长方体的体对角线长：，S球450故答案为：50【点评】此题考查了四棱锥外接球问题，难度不大16（5分）已知函数f（x），若方程f（x）kx+2k10有3个实数根，则k的取值范围是（）【分析】由函数图象的交点与方程的根的相互转化得：方程f（x）kx+2k10有3个实数根等价于yf（x）的图象与过定点A（2，1）的直线ykx2k+1的交点有3个，由数形结合的数学思想方法得：作yf（x）的图象与过定点A（2，1）的直线ykx2k+1
21、图象，观察其交点个数即可得解【解答】解：方程f（x）kx+2k10有3个实数根等价于yf（x）的图象与过定点A（2，1）的直线ykx2k+1的交点有3个，直线l1为此直线与半圆x2+y24相切的直线，其斜率为，直线l2为此直线与直线y平行的直线，其斜率为，直线l3为此直线与直线y平行的直线，其斜率为，直线l4为此直线过点（2，0）的直线，其斜率为，由图可知：yf（x）的图象与过定点A（2，1）的直线ykx2k+1的交点有3个时，k的取值范围为：（，），故答案为：（，）【点评】本题考查了函数图象的交点与方程的根的相互转化，数形结合的数学思想方法，属中档题三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答
22、应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知函数f（x）axbx，且f（1）2，f（2）12（1）求a，b的值；（2）若x2，1，求f（x）的值域【分析】（1）根据f（1）2，f（2）12，建立方程组进行求解即可（2）利用换元法转化为一元二次函数，结合一元二次函数单调性与最值的关系进行求解即可【解答】解：（1）f（1）2，f（2）12f（1）ab2，f（2）a2b2（ab）（a+b）12，即a+b6，则a4，b2，（2）由（1）知，f（x）4x2x（2x）22x，设t2x，x2，1，t，2，则函数f（x）等价为yt2t（t）2，则当t时，函数取得最小值，当t2时，函数取得最大值2，即
23、函数的值域为，2【点评】本题主要考查函数值域的求解，根据条件建立方程组求出a，b的值，以及利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键18（12分）求过点（2，4）且与圆（x1）2+（y2）21相切的直线方程【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，分2种情况讨论：，要求直线的斜率不存在，则直线的方程为x2，要求直线的斜率存在，设其方程为y4k（x2），即kxy2k+40，由直线与圆相切的定义可得1，解可得k的值，将k的值代入直线的方程，即可得此时直线的方程，综合可得答案【解答】解：根据题意，圆（x1）2+（y2）21的圆心为（1，2），半径r1，分2种情况讨论：，要求直线的斜率不存在，则直线的方
24、程为x2，与圆（x1）2+（y2）21相切，符合题意；，要求直线的斜率存在，设其方程为y4k（x2），即kxy2k+40，若直线与圆相切，则有1，解可得：k，则直线的方程为3x4y+100，故过点（2，4）且与圆（x1）2+（y2）21相切的直线方程为x2或3x4y+100【点评】本题考查直线与圆相切的性质以及应用，注意直线斜率不存在的情况，属于基础题19（12分）如图，边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的点，且BEBF1，现将ADE，DCF分别沿DE，DF折起使A，C两点重合于点P（1）求证：平面PDF平面PEF；（2）求E到平面PDF的距离【分析】（1）推导出PDPE
25、，PDPF，从而PD平面PEF，由此能证明平面PDF平面PEF（2）过E作EGPF于G，则EG平面PFD，从而EG长即为E点到平面PFD的距离，由此能求出E点到平面PFD的距离【解答】证明：（1）翻折前DAAE，DCCF，翻折后A，C两点重合于点P，PDPE，PDPF，PEPFP，PD平面PEF，又PD平面PDF，平面PDF平面PEF解：（2）过E作EGPF于G，平面PDF平面PEF，平面PDF平面PEFPF，EG平面PFD，EG长即为E点到平面PFD的距离，在PEF中，解得EG，E点到平面PFD的距离为【点评】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位
26、置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20（12分）已知函数f（x）1g（10x+1）+kx是偶函数（1）求k的值；（2）若关于x的方程f（lgx）m0在，4上有解，求m的取值范围【分析】（1）由函数的奇偶性得：f（1）f（1），解得：k，经检验，k时，f（x）f（x），（2）方程有解问题，通常采用分离变量值域法，先分离变量得：mlg有解，构造函数g（x），x，4，利用导数求其值域即可得解【解答】解：（1）由函数f（x）1g（10x+1）+kx是偶函数则f（1）f（1），解得：k，经检验，k时，f（x）f（x），即k（2）f（lgx）lg（10lgx+1）lgxlg（x
27、+1）lg，方程f（lgx）m0有解，即mlg有解，设g（x），x，4，则g（x），当x1时，g（x）0，当1x4时，g（x）0，即yg（x）在，1为减函数，在1，4为增函数，又g（4），g（1）2，所以2g（x），即lg2lg，故m的取值范围为：lg2，lg，故答案为：lg2，lg【点评】本题考查了函数的奇偶性、方程有解问题，利用导数求函数的值域，属中档题21（12分）四棱锥EABCD中，正方形ABCD所在平面与正三角形ABE所在平面互相垂直，点P是AE的中点，点Q是BD的中点（1）求证：PQ平面BCE；（2）求二面角EBDA的正切值【分析】（1）连结AC，ACBDQ，推导出PQEC，由此能
28、证明PQ平面BCE（2）取AB中点F，连结EF，则EFAB，EF平面ABCD，EFBD，过F作FGBD于G，则BD平面EFG，BDEG，从而FGE是二面角EBDA的平面角，由此能求出二面角EBDA的正切值【解答】证明：（1）连结AC，ACBDQ，在AEC中，P，Q分别为AE，AC的中点，PQEC，又PQ平面EBC，EC平面EBC，PQ平面BCE解：（2）取AB中点F，连结EF，则EFAB，平面ABCD平面ABE，且平面ABCD平面ABEAB，EF平面ABCD，BD平面ABCD，EFBD，过F作FGBD于G，BD平面EFG，EG平面EFG，BDEG，FGE是二面角EBDA的平面角，设ABa，在R
29、tEFG中，FG，EF，tanFGE二面角EBDA的正切值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题22（12分）已知圆C的圆心在y轴上，点P是圆C的上任一点，且当点P的坐标为（，）时，P到直线3x+4y240距离最大（1）求直线12x5y80被圆C截得的弦长；（2）已知Q（1，2），经过原点，且斜率为k（k0）的直线l与圆C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（）求证：为定值；（）若|QA|2+|QB|222，求直线l的方程【分析】（1）因为P到直线3x+4y240距离最大，
30、所以PC与直线3x+4y240垂直，由此解出a1，从而得圆C的方程，再求出圆心到直线3x+4y240的距离d，再根据勾股定理求出弦长；（2）联立直线与圆消去x可得关于y的一元二次方程，由韦达定理得y1+y2，和y1y2，（）代入y1+y2与y1y2计算可得定值；（）将|QA|2+|QB|222用坐标表示后，利用韦达定理代入化简可得k1，从而可得直线l的方程【解答】解：（1）由题意，设C（0，a），则kPC，P到直线3x+4y240距离最大，（）1，a1，C（0，1），|PC|3，所以半径为3圆C的标准方程为x2+（y1）29，圆心到直线 12x5y80的距离为1，所求弦长为24（2）设直线l的方程为ykx（k0），与圆的方程联立，可得（1+）y22y80，y1+y2，y1y2，（）+为定值；（）|QA|2+|QB|2（x11）2+（y12）2+（x21）2+（y22）2（x12+x22）2（x1+x2）+（y12+y22）4（y1+y2）+10（1+）（y12+y22）（+4）（y1+y2）+10（1+）（y1+y2）2（+4）（y1+y2）2（1+）y1y2+10+2622，4k1直线l的方程为yx【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题