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2018-2019学年河南省洛阳市高一(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年河南省洛阳市高一(上)期末数学试卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)已知集合Ax|yln(1x),Bx|2x1,则AB()Ax|x1Bx|0x1Cx|0x1Dx|x02(5分)下列直线中过第一、二、四象限的是()Ay2x+1Bx2y+10Cy22(x1)D13(5分)若a(),b(),elog,则下列大小关系正确的是()AcabBcbaCabcDacb4(5分)若圆锥的轴截面(过圆锥轴的一个截面)是一个边长为2的等边三角形,则该圆锥的侧面积为()AB2C3D45(5分)已知直线l1:A1x+B1y

2、+C10和直线l2:A2x+B2y+C20,下列说法正确的是()A若A1B2A2B10,则l1l2B若l1l2,则C若A1A2+B1B20,则l1l2D若l1l2,则16(5分)一几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图都是半径为2的半圆,俯视图为圆内接一个正方形,则该几何体的体积为()AB328C1616D7(5分)给出以下命题(其中a,b,l是空间中不同的直线,是空间中不同的平面):若ab,b;则a;若ab,b,则a;若,l,则l;若la,lb,a,b,则l其中正确的个数为()A0个B1个C2个D3个8(5分)与直线3x4y+50关于y轴对称的直线方程是()A3x+4y50B3x+4y+50

3、C3x4y+50D3x4y509(5分)已知f(x)a|x|+x21(a0且a1),f(1)2,若实数m满足f(m1)2,则实数m的取值范围是()A(,0B2,+)C0,+)D(,02,+)10(5分)同时与圆x2+y2+6x70和圆x2+y26y270都相切的直线共有()A1条B2条C3条D4条11(5分)若函数f(x)(a0且a1)的值域是4,+),则实数a的取值范围是()A(1,+)B(2,+)C(1,2D(,212(5分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点F是线段BC1上的动点,则下列说法错误的是()A无论点F在BC1上怎么移动,异面直线A1F与CD所成角都不可能是30B无论

4、点F在BC1上怎么移动,都有A1FB1DC当点F移动至BC1中点时,才有A1F与B1D相交于一点,记为点E,且2D当点F移动至BC1中点时,直线A1F与平面BDC1所成角最大且为60二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13(5分)在空间直角坐标系中,点A(1,0,2)到点B(2,4,3)的距离为 14(5分)两条平行直线3x4y120与ax8y+110间的距离是 15(5分)在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是矩形,且PA5,AB4,AD3,则该四棱锥外接球的表面积为 16(5分)已知函数f(x),若方程f(x)kx+2k10有3个实数根,则k的取值范围是 三、解

5、答题:(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知函数f(x)axbx,且f(1)2,f(2)12(1)求a,b的值;(2)若x2,1,求f(x)的值域18(12分)求过点(2,4)且与圆(x1)2+(y2)21相切的直线方程19(12分)如图,边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC上的点,且BEBF1,现将ADE,DCF分别沿DE,DF折起使A,C两点重合于点P(1)求证:平面PDF平面PEF;(2)求E到平面PDF的距离20(12分)已知函数f(x)1g(10x+1)+kx是偶函数(1)求k的值;(2)若关于x的方程f(lgx)m0在

6、,4上有解,求m的取值范围21(12分)四棱锥EABCD中,正方形ABCD所在平面与正三角形ABE所在平面互相垂直,点P是AE的中点,点Q是BD的中点(1)求证:PQ平面BCE;(2)求二面角EBDA的正切值22(12分)已知圆C的圆心在y轴上,点P是圆C的上任一点,且当点P的坐标为(,)时,P到直线3x+4y240距离最大(1)求直线12x5y80被圆C截得的弦长;(2)已知Q(1,2),经过原点,且斜率为k(k0)的直线l与圆C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点()求证:为定值;()若|QA|2+|QB|222,求直线l的方程2018-2019学年河南省洛阳市高一(上)期末数学试卷

7、参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)已知集合Ax|yln(1x),Bx|2x1,则AB()Ax|x1Bx|0x1Cx|0x1Dx|x0【分析】可解出集合A,B,然后进行交集的运算即可【解答】解:Ax|x1,Bx|x0;ABx|0x1故选:B【点评】考查描述法的定义,对数函数的定义域,指数函数的单调性,以及交集的运算2(5分)下列直线中过第一、二、四象限的是()Ay2x+1Bx2y+10Cy22(x1)D1【分析】根据题意,依次分析选项中直线所经过的象限,综合即可得答案【解答】解:根据题意,依次分析选项:

8、对于A,y2x+1经过一、二、三象限,不符合题意;对于B,x2y+10,即y+,经过一、二、三象限,不符合题意;对于C,y22(x1),经过点(1,2)且斜率为负,过第一、二、四象限,符合题意;对于D,1经过点(2,0)和(0,3),经过一、二、三象限,不符合题意;故选:C【点评】本题考查直线的斜截式方程和一般式方程,注意直线的形式,属于基础题3(5分)若a(),b(),elog,则下列大小关系正确的是()AcabBcbaCabcDacb【分析】可以看出,从而得出a,b,c的大小关系【解答】解:,;cab故选:A【点评】考查指数函数、对数函数的单调性,增函数和减函数的定义4(5分)若圆锥的轴截

9、面(过圆锥轴的一个截面)是一个边长为2的等边三角形,则该圆锥的侧面积为()AB2C3D4【分析】根据圆锥的轴截面求出圆锥的母线长和底面圆半径,计算它的侧面积【解答】解:圆锥的轴截面边长为2的等边三角形,如图所示;则圆锥的母线长为l2,底面圆半径为r1,所以圆锥的侧面积为S侧面积rl122故选:B【点评】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题,是基础题5(5分)已知直线l1:A1x+B1y+C10和直线l2:A2x+B2y+C20,下列说法正确的是()A若A1B2A2B10,则l1l2B若l1l2,则C若A1A2+B1B20,则l1l2D若l1l2,则1【分析】利用直线与直线平行、直线与直线垂直的性

10、质直接求解【解答】解:由直线l1:A1x+B1y+C10和直线l2:A2x+B2y+C20,得:若A1A2+B1B20,则l1l2故选:C【点评】本题考查实数值的求法,考查直线与直线平行、直线与直线垂直的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题6(5分)一几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图都是半径为2的半圆,俯视图为圆内接一个正方形,则该几何体的体积为()AB328C1616D【分析】根据三视图知该几何体是半球体,中间挖去一个正四棱锥,结合图中数据求出它的体积【解答】解:根据三视图知,该几何体是半球体,中间挖去一个正四棱锥,画出图形如图所示;结合图形中的数据,计算该几何体的体积为VV半球

11、体V四棱锥23442故选:D【点评】本题考查了利用三视图求简单几何体的体积应用问题,是基础题7(5分)给出以下命题(其中a,b,l是空间中不同的直线,是空间中不同的平面):若ab,b;则a;若ab,b,则a;若,l,则l;若la,lb,a,b,则l其中正确的个数为()A0个B1个C2个D3个【分析】在中,a或a;在中,a或a;在中,l与相交、平行或l;在中,l与有可能不垂直【解答】解:由a,b,l是空间中不同的直线,是空间中不同的平面,知:在中,若ab,b,则a或a,故错误;在中,若ab,b,则a或a,故错误;在中,若,l,则l与相交、平行或l,故错误;在中,若la,lb,a,b,则l与有可能

12、不垂直,故错误故选:A【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题8(5分)与直线3x4y+50关于y轴对称的直线方程是()A3x+4y50B3x+4y+50C3x4y+50D3x4y50【分析】令x0,可得直线3x4y+50与y轴的交点令y0,可得直线3x4y+50与x轴的交点,此点关于y轴的对称点为可得:与直线3x4y+50关于y轴对称的直线经过两点:,利用截距式即可得出【解答】解:令x0,则y,可得直线3x4y+50与y轴的交点令y0,可得x,可得直线3x4y+50与x轴的交点,此点关于y轴的对称点为与直线

13、3x4y+50关于y轴对称的直线经过两点:,其方程为:1,化为:3x+4y50故选:A【点评】本题考查了直线的对称性、截距式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题9(5分)已知f(x)a|x|+x21(a0且a1),f(1)2,若实数m满足f(m1)2,则实数m的取值范围是()A(,0B2,+)C0,+)D(,02,+)【分析】根据题意,由f(1)2,则f(1)a+(1)212,解可得a的值,即可得f(x)的解析式,据此分析可得f(x)为偶函数且在0,+)上为增函数,据此可得f(m1)2f(m1)f(1)f(|m1|)f(1)|m1|1,解可得m的取值范围,即可得答案【解答】解:根据题意,f(

14、x)a|x|+x21,若f(1)2,则f(1)a+(1)212,解可得a2,则f(x)2|x|+x21,则f(x)2|x|+(x)212|x|+x21f(x),则f(x)为偶函数,在0,+)上,f(x)2x+x21,易得f(x)在0,+)上为增函数,f(m1)2f(m1)f(1)f(|m1|)f(1)|m1|1,解可得:m0或m2,即m的取值范围为:(,02,+);故选:D【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,关键是得到关于m的不等式,属于基础题10(5分)同时与圆x2+y2+6x70和圆x2+y26y270都相切的直线共有()A1条B2条C3条D4条【分析】将圆的方程化为标准方程,

15、求出圆心与半径,可得圆心距,即可得出结论【解答】解:圆x2+y2+6x70化为(x+3)2+y216,圆心为(3,0),半径为4,x2+y26y270化为x2+(y3)236,圆心是(0,3),半径为6,圆心距为,644+6,两圆相交,同时与圆x2+y2+6x70和圆x2+y26y270都相切的直线共有2条故选:B【点评】本题考查圆与圆的位置关系,考查直线与圆的位置关系,是基础题11(5分)若函数f(x)(a0且a1)的值域是4,+),则实数a的取值范围是()A(1,+)B(2,+)C(1,2D(,2【分析】先求出当x2时的值域是4,+),然后求出当x2时,f(x)4即可【解答】解:当x2时,

16、f(x)82x4,8),当x2时,f(x)3+logax,函数f(x)的值域是4,+),当x2时的值域是4,+)的子集,若0a1,函数f(x)为减函数,不满足条件当a1时,当x2时,f(x)3+logax是增函数,且f(x)f(2)3+loga2,此时只要43+loga28,即1loga25,得15,则log2a1,得a2,即实数a的取值范围是(,2,故选:D【点评】本题主要考查函数值域的求解,结合分段函数的性质是解决本题的关键12(5分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点F是线段BC1上的动点,则下列说法错误的是()A无论点F在BC1上怎么移动,异面直线A1F与CD所成角都不可能是

17、30B无论点F在BC1上怎么移动,都有A1FB1DC当点F移动至BC1中点时,才有A1F与B1D相交于一点,记为点E,且2D当点F移动至BC1中点时,直线A1F与平面BDC1所成角最大且为60【分析】先分析A,B,C都正确,故用排除法可得选D【解答】解:对于选项A,当点F从B运动到C1时,异面直线A1F与CD所成角由大到小再到大,且F为B1C的中点时最小角的正切值为,最小角大于30,故A正确;对于选项B,在正方形中,DB1面A1BC1,又A1F面A1BC1,所以A1FB1D,故B正确;对于选项C,F为BC1的中点时,也是B1C的中点,它们共面于平面A1B1CD,且必相交,设为E,连A1D和B1

18、C,根据三角形A1DE三角形FB1E,可得2,故选C也正确;故选:D【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想,是中档题二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13(5分)在空间直角坐标系中,点A(1,0,2)到点B(2,4,3)的距离为5【分析】利用两点间距离公式直接求解【解答】解:点A(1,0,2)到点B(2,4,3)的距离:d5故答案为:5【点评】本题两点间距离的求法,考查两点之间距离公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题14(5分)两条平行直线3x4y120

19、与ax8y+110间的距离是【分析】由两条平行直线3x4y120与ax8y+110,先求出a6,再利用平行线间距离公式能求出两条平行直线3x4y120与ax8y+110间的距离【解答】解:两条平行直线3x4y120与ax8y+110,a6,由3x4y120,得6x8y240,两条平行直线3x4y120与ax8y+110间的距离:d故答案为:【点评】本题考查两条平行线间的距离的求法,考查平行线间距离公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题15(5分)在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是矩形,且PA5,AB4,AD3,则该四棱锥外接球的表面积为50【分析】由三线垂直联想长方体,

20、利用长方体外接球直径为其体对角线长即可得解【解答】解:由题意可知AP,AB,AD两两垂直,故四棱锥PABCD为长方体的一部分,其外接球即为该长方体的外接球,外接球直径即为长方体的体对角线长:,S球450故答案为:50【点评】此题考查了四棱锥外接球问题,难度不大16(5分)已知函数f(x),若方程f(x)kx+2k10有3个实数根,则k的取值范围是()【分析】由函数图象的交点与方程的根的相互转化得:方程f(x)kx+2k10有3个实数根等价于yf(x)的图象与过定点A(2,1)的直线ykx2k+1的交点有3个,由数形结合的数学思想方法得:作yf(x)的图象与过定点A(2,1)的直线ykx2k+1

21、图象,观察其交点个数即可得解【解答】解:方程f(x)kx+2k10有3个实数根等价于yf(x)的图象与过定点A(2,1)的直线ykx2k+1的交点有3个,直线l1为此直线与半圆x2+y24相切的直线,其斜率为,直线l2为此直线与直线y平行的直线,其斜率为,直线l3为此直线与直线y平行的直线,其斜率为,直线l4为此直线过点(2,0)的直线,其斜率为,由图可知:yf(x)的图象与过定点A(2,1)的直线ykx2k+1的交点有3个时,k的取值范围为:(,),故答案为:(,)【点评】本题考查了函数图象的交点与方程的根的相互转化,数形结合的数学思想方法,属中档题三、解答题:(本大题共6小题,共70分解答

22、应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知函数f(x)axbx,且f(1)2,f(2)12(1)求a,b的值;(2)若x2,1,求f(x)的值域【分析】(1)根据f(1)2,f(2)12,建立方程组进行求解即可(2)利用换元法转化为一元二次函数,结合一元二次函数单调性与最值的关系进行求解即可【解答】解:(1)f(1)2,f(2)12f(1)ab2,f(2)a2b2(ab)(a+b)12,即a+b6,则a4,b2,(2)由(1)知,f(x)4x2x(2x)22x,设t2x,x2,1,t,2,则函数f(x)等价为yt2t(t)2,则当t时,函数取得最小值,当t2时,函数取得最大值2,即

23、函数的值域为,2【点评】本题主要考查函数值域的求解,根据条件建立方程组求出a,b的值,以及利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键18(12分)求过点(2,4)且与圆(x1)2+(y2)21相切的直线方程【分析】根据题意,分析圆的圆心与半径,分2种情况讨论:,要求直线的斜率不存在,则直线的方程为x2,要求直线的斜率存在,设其方程为y4k(x2),即kxy2k+40,由直线与圆相切的定义可得1,解可得k的值,将k的值代入直线的方程,即可得此时直线的方程,综合可得答案【解答】解:根据题意,圆(x1)2+(y2)21的圆心为(1,2),半径r1,分2种情况讨论:,要求直线的斜率不存在,则直线的方

24、程为x2,与圆(x1)2+(y2)21相切,符合题意;,要求直线的斜率存在,设其方程为y4k(x2),即kxy2k+40,若直线与圆相切,则有1,解可得:k,则直线的方程为3x4y+100,故过点(2,4)且与圆(x1)2+(y2)21相切的直线方程为x2或3x4y+100【点评】本题考查直线与圆相切的性质以及应用,注意直线斜率不存在的情况,属于基础题19(12分)如图,边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC上的点,且BEBF1,现将ADE,DCF分别沿DE,DF折起使A,C两点重合于点P(1)求证:平面PDF平面PEF;(2)求E到平面PDF的距离【分析】(1)推导出PDPE

25、,PDPF,从而PD平面PEF,由此能证明平面PDF平面PEF(2)过E作EGPF于G,则EG平面PFD,从而EG长即为E点到平面PFD的距离,由此能求出E点到平面PFD的距离【解答】证明:(1)翻折前DAAE,DCCF,翻折后A,C两点重合于点P,PDPE,PDPF,PEPFP,PD平面PEF,又PD平面PDF,平面PDF平面PEF解:(2)过E作EGPF于G,平面PDF平面PEF,平面PDF平面PEFPF,EG平面PFD,EG长即为E点到平面PFD的距离,在PEF中,解得EG,E点到平面PFD的距离为【点评】本题考查面面垂直的证明,考查点到平面的距离的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位

26、置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题20(12分)已知函数f(x)1g(10x+1)+kx是偶函数(1)求k的值;(2)若关于x的方程f(lgx)m0在,4上有解,求m的取值范围【分析】(1)由函数的奇偶性得:f(1)f(1),解得:k,经检验,k时,f(x)f(x),(2)方程有解问题,通常采用分离变量值域法,先分离变量得:mlg有解,构造函数g(x),x,4,利用导数求其值域即可得解【解答】解:(1)由函数f(x)1g(10x+1)+kx是偶函数则f(1)f(1),解得:k,经检验,k时,f(x)f(x),即k(2)f(lgx)lg(10lgx+1)lgxlg(x

27、+1)lg,方程f(lgx)m0有解,即mlg有解,设g(x),x,4,则g(x),当x1时,g(x)0,当1x4时,g(x)0,即yg(x)在,1为减函数,在1,4为增函数,又g(4),g(1)2,所以2g(x),即lg2lg,故m的取值范围为:lg2,lg,故答案为:lg2,lg【点评】本题考查了函数的奇偶性、方程有解问题,利用导数求函数的值域,属中档题21(12分)四棱锥EABCD中,正方形ABCD所在平面与正三角形ABE所在平面互相垂直,点P是AE的中点,点Q是BD的中点(1)求证:PQ平面BCE;(2)求二面角EBDA的正切值【分析】(1)连结AC,ACBDQ,推导出PQEC,由此能

28、证明PQ平面BCE(2)取AB中点F,连结EF,则EFAB,EF平面ABCD,EFBD,过F作FGBD于G,则BD平面EFG,BDEG,从而FGE是二面角EBDA的平面角,由此能求出二面角EBDA的正切值【解答】证明:(1)连结AC,ACBDQ,在AEC中,P,Q分别为AE,AC的中点,PQEC,又PQ平面EBC,EC平面EBC,PQ平面BCE解:(2)取AB中点F,连结EF,则EFAB,平面ABCD平面ABE,且平面ABCD平面ABEAB,EF平面ABCD,BD平面ABCD,EFBD,过F作FGBD于G,BD平面EFG,EG平面EFG,BDEG,FGE是二面角EBDA的平面角,设ABa,在R

29、tEFG中,FG,EF,tanFGE二面角EBDA的正切值为【点评】本题考查线面平行的证明,考查二面角的正切值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题22(12分)已知圆C的圆心在y轴上,点P是圆C的上任一点,且当点P的坐标为(,)时,P到直线3x+4y240距离最大(1)求直线12x5y80被圆C截得的弦长;(2)已知Q(1,2),经过原点,且斜率为k(k0)的直线l与圆C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点()求证:为定值;()若|QA|2+|QB|222,求直线l的方程【分析】(1)因为P到直线3x+4y240距离最大,

30、所以PC与直线3x+4y240垂直,由此解出a1,从而得圆C的方程,再求出圆心到直线3x+4y240的距离d,再根据勾股定理求出弦长;(2)联立直线与圆消去x可得关于y的一元二次方程,由韦达定理得y1+y2,和y1y2,()代入y1+y2与y1y2计算可得定值;()将|QA|2+|QB|222用坐标表示后,利用韦达定理代入化简可得k1,从而可得直线l的方程【解答】解:(1)由题意,设C(0,a),则kPC,P到直线3x+4y240距离最大,()1,a1,C(0,1),|PC|3,所以半径为3圆C的标准方程为x2+(y1)29,圆心到直线 12x5y80的距离为1,所求弦长为24(2)设直线l的方程为ykx(k0),与圆的方程联立,可得(1+)y22y80,y1+y2,y1y2,()+为定值;()|QA|2+|QB|2(x11)2+(y12)2+(x21)2+(y22)2(x12+x22)2(x1+x2)+(y12+y22)4(y1+y2)+10(1+)(y12+y22)(+4)(y1+y2)+10(1+)(y1+y2)2(+4)(y1+y2)2(1+)y1y2+10+2622,4k1直线l的方程为yx【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,属中档题