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2018-2019学年河南省南阳市高一(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年河南省南阳市高一(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)已知集合Ax|0x3,则AB()A0,3)B(1,3)C(0,1D(0,1)2(5分)已知圆锥的侧面展开图是一个半圆,则其母线与底面半径之比为()A1BCD23(5分)设ln2xlnx20的两根是、,则log+log()ABCD4(5分)设x,y,z为大于1的正数,且log2xlog3ylog5z,则,中最小的是()ABCD三个数相等5(5分)已知:f(x)ax3+bx+2,若f(2)3,则f(2)()A1B2C3D46(5分)

2、如图所示,A'B'C'是水平放置的ABC的直观图,则在ABC的三边及线段AD中,最长的线段是()AABBADCBCDAC7(5分)已知矩形ABCD,AB4,BC3将矩形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角BACD,则折叠后形成的四面体ABCD的外接球的表面积是()A9B16C25D与的大小有关8(5分)已知原点到直线l的距离为1,圆(x2)2+(y)24与直线l相切,则满足条件的直线l有多少条?()A1条B2条C3条D4条9(5分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别为BC、CD的中点,则异面直线AF和D1E所成角的大小为()A30B45C60D901

3、0(5分)已知函数,且a+b0,b+c0,c+a0,则f(a)+f(b)+f(c)的值()A恒为正B恒为负C恒为0D无法确定11(5分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱为()A4BCD212(5分)已知函数,且g(x)f(x)mx+2m在(1,1内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是()ABCD二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分把正确答案填在答题卷中的横线上)13(5分)ln(2x1)0的解集为   14(5分)若直线l过点(2,1),且在x轴、y轴上的截距相等,则直线l的方程为   15(5分)已知函数(0x2)的图象与函数f(x)l

4、og2x及函数g(x)2x的图象分别交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则的值为   16(5分)已知函数f(x)x2+bx,若函数yf(f(x)的最小值与函数yf(x)的最小值相等,则实数b的取值范围是   三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知直线l1:x+my+60,l2:(m2)x+3y+2m0,求:(1)若l1l2,求m的值;(2)若l1l2,求m的值18(12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,PAAC,PADDAC(1)求证:ADPC;(2)若PAD为等边三角形,PA2,平面

5、PAD平面ABCD,求四棱锥PABCD的体积19(12分)(1)利用函数单调性定义证明:函数,是减函数;(2)已知当x2,1时,函数y4xm2x+5的图象恒在x轴的上方,求实数m的取值范围20(12分)已知正方体ABCDA1B1C1D1,E、F分别为AC和A1D上的点,且EFAC,EFA1D(1)求证:EFBD1;(2)求证:BE、D1F、DA三条直线交于一点21(12分)已知二次函数yx24x+3的图象与x轴、y轴共有三个交点,(1)求经过这三个交点的圆C的标准方程;(2)当直线y2x+m与圆C相切时,求实数m的值;(3)若直线y2x+m与圆C交于M、N两点,且|MN|2,求此时实数m的值2

6、2(12分)已知函数f(x)log2x,x(0,+)(1)解不等式:f2(x)+3f(x)4;(2)若函数F(x)f2(x)+3f(x)m在区间1,2上存在零点,求实数m的取值范围;(3)若函数f(x)的反函数为G(x),且G(x)g(x)+h(x),其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,试比较g(1)与h(1)的大小2018-2019学年河南省南阳市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)已知集合Ax|0x3,则AB()A0,3)B(1,3)C(0,1D(0,1)【分析】求解定义

7、域简化集合B,然后直接利用交集运算得答案【解答】解:1x0,x1,Bx|x1,ABx|0x3x|x1x|0x1,故选:C【点评】本题考查了交集及其运算,考查了定义域的求法,是基础题2(5分)已知圆锥的侧面展开图是一个半圆,则其母线与底面半径之比为()A1BCD2【分析】由已知可得2rl,从而l2r,由此能求出其母线与底面半径之比【解答】解:圆锥的侧面展开图是一个半圆,由已知可得2rl,l2r,故其母线与底面半径之比为:故选:D【点评】本题考查圆锥的母线与底面半径之比的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题3(5分)设ln2xlnx2

8、0的两根是、,则log+log()ABCD【分析】根据方程的根以及根与系数的关系,求得ln+ln和lnln的值,再利用换底公式计算log+log的值【解答】解:ln2xlnx20的两根是、,ln和ln是方程t2t20的两个根,则ln+ln1,lnln2;log+log+故选:D【点评】本题考查了方程的根以及根与系数的关系应用问题,也考查了换底公式应用问题,是基础题4(5分)设x,y,z为大于1的正数,且log2xlog3ylog5z,则,中最小的是()ABCD三个数相等【分析】令log2xlog3ylog5zk(k0),则,对以上三式两边同时乘方,能求出结果【解答】解:令log2xlog3yl

9、og5zk(k0),则x2k,y3k,z5k,所以,对以上三式两边同时乘方,则,最小故选:C【点评】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意对数、指数的性质、运算法则的合理运用5(5分)已知:f(x)ax3+bx+2,若f(2)3,则f(2)()A1B2C3D4【分析】根据f(2)3即可得出8a+2b1,从而可求出f(2)8a+2b+21【解答】解:f(2)3;8a2b+23;8a+2b1;f(2)8a+2b+21+21故选:A【点评】考查奇函数的定义,已知函数求值的方法6(5分)如图所示,A'B'C'是水平放置的ABC的直观图,则在ABC的三边及线

10、段AD中,最长的线段是()AABBADCBCDAC【分析】根据题意,分析可得:在ABC中,ABBC,AC为斜边,进而可分析出ABC的三边及中线AD中,最长的线段【解答】解:,A'B'C'是水平放置的ABC的直观图,则在ABC中,ABBC,AC为斜边,AD为三角形内部的一条线段,AC的长度最长,即最长的线段是AC;故选:D【点评】本题考查平面图形的直观图的作法,要求熟练掌握斜二测画法的边长关系,属于简单题7(5分)已知矩形ABCD,AB4,BC3将矩形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角BACD,则折叠后形成的四面体ABCD的外接球的表面积是()A9B16C25D与的大

11、小有关【分析】根据矩形特性,对角线上的交点到四个顶点的距离相等,从而矩形ABCD对角线AC、BD的交点即为折叠后形成的四面体ABCD的外接球的球心,折叠后形成的四面体ABCD的外接球的半径RAC,由此能求出折叠后形成的四面体ABCD的外接球的表面积【解答】解:矩形ABCD,AB4,BC3将矩形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角BACD根据矩形特性,对角线上的交点到四个顶点的距离相等,矩形ABCD对角线AC、BD的交点即为折叠后形成的四面体ABCD的外接球的球心,折叠后形成的四面体ABCD的外接球的半径RAC,折叠后形成的四面体ABCD的外接球的表面积:S425,故选:C【点评】本题考查四面

12、体外接球的表面积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想,是中档题8(5分)已知原点到直线l的距离为1,圆(x2)2+(y)24与直线l相切,则满足条件的直线l有多少条?()A1条B2条C3条D4条【分析】由题意,满足条件的直线l即为圆x2+y21和圆(x2)2+(y)24的公切线,利用这两个圆有两条外公切线和一条内公切线,即可得出结论【解答】解:由已知,直线l满足到原点的距离为1,到点(2,)的距离为2,满足条件的直线l即为圆x2+y21和圆(x2)2+(y)24的公切线,因为这两个圆有两条外公切线和一条内公切

13、线故选:C【点评】本题考查圆的切线方程,本题解题的关键是得出满足条件的直线l即为圆x2+y21和圆(x2)2+(y)24的公切线9(5分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别为BC、CD的中点,则异面直线AF和D1E所成角的大小为()A30B45C60D90【分析】由空间角及运算:建立空间直角坐标系,列点,求坐标运算即可:A(1,0,0),F(0,0),D1(0,0,1),E(,1,0),所以(1,0),1(,1,1),设,1的夹角为,则cos0,即,即异面直线AF和D1E所成角的大小为90,得解【解答】解:以点D为空间直角坐标系的原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,

14、z轴,DA长为单位长度,则A(1,0,0),F(0,0),D1(0,0,1),E(,1,0),所以(1,0),1(,1,1),设,1的夹角为,则cos0,即,即异面直线AF和D1E所成角的大小为90,故选:D【点评】本题考查了空间角及运算,属中档题10(5分)已知函数,且a+b0,b+c0,c+a0,则f(a)+f(b)+f(c)的值()A恒为正B恒为负C恒为0D无法确定【分析】根据条件判断函数f(x)的奇偶性和单调性,利用函数奇偶性和单调性的性质,进行转化求解即可【解答】解:若x0,则x0,则f(x)lglg(1+x)f(x),若x0,则x0,f(x)lg(1x),f(x)lglg(1x),

15、则f(x)f(x),f(0)lg10,综上f(x)f(x),即f(x)是奇函数,当x0时,f(x)lg(x+1)为增函数,f(x)在R上单调递增的函数,由a+b0,b+c0,c+a0可得ab,bc,ca,所以f(a)f(b),f(b)f(c),f(c)f(a),即f(a)+f(b)0,f(b)+f(c)0,f(c)+f(a)0,等式两边相加得,所以2f(a)+f(b)+f(c)0,所以f(a)+f(b)+f(c)0,故选:A【点评】本题主要考查分段函数的应用,结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键11(5分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱为()A4BCD2【分析】几

16、何体为四棱锥,作出直观图,计算棱长即可得出答案【解答】解:由三视图可知几何体为四棱锥SABCD,由侧视图可知棱锥底面ABCD是边长为2的正方形,顶点S在底面ABCD上的射影M为CD的中点,由主视图可知SM,AM,SA2由对称性可知SBSA2几何体最长的棱为2故选:B【点评】本题考查了常见几何体的结构特征与三视图,属于基础题12(5分)已知函数,且g(x)f(x)mx+2m在(1,1内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是()ABCD【分析】由g(x)f(x)mxm0,即f(x)m(x+1),作出两个函数的图象,利用数形结合即可得到结论【解答】解:由函数,g(x)f(x)mx+2m0,即f

17、(x)m(x2),分别作出函数f(x)和yh(x)m(x2)的图象如图:由图象可知f(1)1,h(x)表示过定点A(1,1)的直线,当h(x)过(1,1)时,m1,此时两个函数有两个交点当直线yh(x)m(x2)经过B时,有1个交点,B(0,),此时满足条件的m的取值范围是m,g(x)f(x)mx+2m在(1,1内有且仅有两个不同的零点,m1,)故选:C【点评】本题主要考查函数零点的应用,利用数形结合是解决此类问题的基本方法,属于中档题二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分把正确答案填在答题卷中的横线上)13(5分)ln(2x1)0的解集为(,1)【分析】根据对数函数的定义与性质,求

18、解即可【解答】解:不等式ln(2x1)0化为02x11,x1,不等式的解集为故答案为:【点评】本题考查了对数函数的定义与性质的应用问题,是基础题14(5分)若直线l过点(2,1),且在x轴、y轴上的截距相等,则直线l的方程为x2y0或x+y30【分析】当直线过原点(0,0)可设方程为ykx,当直线不过原点,可设方程为,分别代入点的坐标可求【解答】解:当直线过原点(0,0)可设方程为ykx,代入(2,1)可得k,故直线方程为yx,即2x+5y0;当直线不过原点,可设方程为,代入(2,1)可得a3,故直线方程为,即x+y30,故答案为:x2y0或x+y30【点评】本题考查直线的截距式方程,和化为一

19、般式方程的能力,体现了分类讨论的思想15(5分)已知函数(0x2)的图象与函数f(x)log2x及函数g(x)2x的图象分别交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则的值为4【分析】结合同底的指数函数和对数函数互为反函数,图象关于yx对称,进行求解即可【解答】解:f(x)log2x及函数g(x)2x的图象关于yx对称,由图象知A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线yx对称,则有y1x2,y2x1,则x12+y12,A在函数(0x2)的图象,x12+y124,故答案为:4【点评】本题主要考查函数与方程的应用,利用互为反函数的图象关于yx对称,利用数形结合是解决本题的关键16(5分)已知函

20、数f(x)x2+bx,若函数yf(f(x)的最小值与函数yf(x)的最小值相等,则实数b的取值范围是b|b2或b0【分析】首先这个函数f(x)的图象是一个开口向上的抛物线,也就是说它的值域就是大于等于它的最小值yf(f(x)它的图象只能是函数f(x)上的一段,而要这两个函数的值域相同,则函数  y必须要能够取到最小值,这样问题就简单了,就只需要f(x)的最小值小于【解答】解:由于f(x)x2+bx,xR则当x时,f(x)min,又函数yf(f(x)的最小值与函数yf(x)的最小值相等,则函数y必须要能够取到最小值,即,得到b0或b2,所以b的取值范围为b|b2或b0故答案为:b|b2

21、或b0【点评】本题考查函数值域的简单应用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知直线l1:x+my+60,l2:(m2)x+3y+2m0,求:(1)若l1l2,求m的值;(2)若l1l2,求m的值【分析】(1)对m分类讨论,利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出(2)由m(m2)30,解得:m3或1经过验证m3时两条直线重合,舍去【解答】解:(1)m0时,两条直线不垂直,舍去m0时,l1l2,1,解得m综上可得:m(2)由m(m2)30,解得:m3或1经过验证m3时两条直线重合,舍去m1时,l1l2【

22、点评】本题考查了直线平行与垂直的充要条件、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题18(12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,PAAC,PADDAC(1)求证:ADPC;(2)若PAD为等边三角形,PA2,平面PAD平面ABCD,求四棱锥PABCD的体积【分析】(1)作PEAD,连接EC,利用全等,易得线面垂直,进而得证;(2)利用(1)中的PE为高,结合题中条件可知底面为菱形,求解不难【解答】解:(1)证明:作PEAD于E,连结CE,PAAC,PADDAC,AE是公共边,PAECAE,PEACEA,PEAD,CEAD,又PE平面PEC,CE平面PEC,且PE

23、CEE,AD平面PEC,又PC平面PEC,ADPC;(2)平面PAD平面ABCD平面PAD平面ABCDAD,又PEAD,PE平面PAD,PE平面ABCD,又PAD为等边三角形,PA2,易知PADCAD,故平行四边形ABCD为有一个角为60的边长为2的菱形,故四棱锥PABCD的体积【点评】此题考查了线面垂直,棱锥体积等,难度适中19(12分)(1)利用函数单调性定义证明:函数,是减函数;(2)已知当x2,1时,函数y4xm2x+5的图象恒在x轴的上方,求实数m的取值范围【分析】(1)利用函数的单调性的定义,化简证明即可(2)令t2x,函数化为yt2mt+50在上恒成立,即在上恒成立求解函数的最小

24、值,推出结果即可【解答】解:(1)证明:任取x1,x2且x1x2,则f(x1)f(x2)(x1+)(x2+)(x1x2)+;0x1x2,x1x20,0x1x25,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),函数在上为减函数;注:不是利用定义证明不得分6分(2)解:令t2x,因为x2,1,所以,则yt2mt+50在上恒成立,即在上恒成立由(1)知10分故12分【点评】本题考查函数与方程的应用,函数的单调性以及函数的最值的求法,考查转化思想以及计算能力20(12分)已知正方体ABCDA1B1C1D1,E、F分别为AC和A1D上的点,且EFAC,EFA1D(1)求证:EFBD1;(2)求证:BE

25、、D1F、DA三条直线交于一点【分析】(1)连结AB1和B1C,A1DB1C,从而EFB1C,EFAC,进而EF平面AB1C,B1C平面BC1D1,B1CBD1,同理可证B1ABD1,从而BD1平面AB1C,由此能证明EFBD1(2)由题意得EF小于BD1(或者D1F和BE不平行),由EFBD1知,直线D1F和BE必相交,设BED1FG,推导出GAD,由此能证明BE、D1F、DA三条直线交于一点【解答】证明:(1)连结AB1和B1C,在正方体ABCDA1B1C1D1中,A1DB1C,EFA1D,EFB1C,又EFAC,ACB1CC,EF平面AB1C,3分又在正方体ABCDA1B1C1D1中,B

26、1CBC1,B1CD1C1,BC1D1C1C1,B1C平面BC1D1,又BD1平面BC1D1B1CBD1,同理可证,B1ABD1,B1AB1CB1,BD1平面AB1C,6分故EFBD18分(2)由题意得EF小于BD1(或者D1F和BE不平行),由(1)EFBD1知,直线D1F和BE必相交,9分不妨设BED1FG,则G平面AA1D1D,G平面ABCD,又平面AA1D1D平面ABCDAD,GAD,故BE、D1F、DA三条直线交于一点12分【点评】本题考查线线平行的证明,考查三条直线交于一点的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题21(1

27、2分)已知二次函数yx24x+3的图象与x轴、y轴共有三个交点,(1)求经过这三个交点的圆C的标准方程;(2)当直线y2x+m与圆C相切时,求实数m的值;(3)若直线y2x+m与圆C交于M、N两点,且|MN|2,求此时实数m的值【分析】(1)求出三个交点的坐标,设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F0,将三个点坐标代入求解即可得圆C的标准方程;(2)求出圆心到直线的距离,即可求出实数m的值;(3)点C到直线y2x+m的距离为d,求解即可实数m的值【解答】解:(1)当x0时,y3;当y0时,x24x+30,得x1或x3三个交点分别为(0,3),(1,0),(3,0),设圆C的方程为x2+y2+

28、Dx+Ey+F0,将三个点坐标代入得:,解得:,即圆C的方程为x2+y24x4y+30,其标准方程为:(x2)2+(y2)25;(2)由(1)知C(2,2),由题意,解得:m3或m7;(3)设点C到直线y2x+m的距离为d,则,则,解得:【点评】本题考查了圆的标准方程,考查了点到直线的距离公式的应用,是中档题22(12分)已知函数f(x)log2x,x(0,+)(1)解不等式:f2(x)+3f(x)4;(2)若函数F(x)f2(x)+3f(x)m在区间1,2上存在零点,求实数m的取值范围;(3)若函数f(x)的反函数为G(x),且G(x)g(x)+h(x),其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函

29、数,试比较g(1)与h(1)的大小【分析】(1)求出函数值的不等式,然后利用对数函数的性质求解即可(2)利用换元法,结合二次函数的性质转化求解即可(3)化简函数的解析式利用函数的奇偶性,转化求解即可【解答】解:(1)由f2(x)+3f(x)4得,f(x)1或f(x)4,即log2x1或log2x4,因此,不等式的解集为4分(2)令F(x)0,得mf2(x)+3f(x),令tf(x)log2x,因为x1,2,所以t0,1即mt2+3t,其中t0,1故m0,48分(3)G(x)2x,即g(x)+h(x)2x因此,因为g(x)为奇函数,h(x)为偶函数得,解之得:,10分所以,因此,g(1)h(1)12分另法:h(1)g(1)h(1)+g(1)G(1)20,所以,g(1)h(1)【点评】本题考查函数与方程的应用,不等式的解法函数的奇偶性的应用,考查转化思想以及计算能力