1、2018-2019学年河南省洛阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集Ax|（）x2，集合Bx|x|2，则AB（）A（2，1）B（1，0）C（0，2）D（1，2）2（5分）某厂家生产甲、乙、丙三种不同类型的饮品产量之比为2：3：4为检验该厂家产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则样本中乙类型饮品的数量为（）A16B24C32D483（5分）在ABC中，点D在边BC上，若，则（）AB+CD4（5分）计算（）ABCD25（5分）执行如图所示的程序框图，若输人的n值为2019，则S（）A1B
2、CD16（5分）为研究需要，统计了两个变量x，y的数据情况如表：xx1x2x3xnyy1y2y3yn其中数据x1、x2、x3xn，和数据y1、y2、y3，yn的平均数分别为和，并且计算相关系数r0.8，回归方程为x+，有如下几个结论点（，）必在回归直线上，即b+；变量x，y的相关性强当xx1，则必有y1；b0：其中正确的结论个数为（）A1B2C3D47（5分）已知两条直线a，b与两个平而，给出下列命题：若ab，则ab；若a，b，a，b，则若a，b，则ab；若，a，b，则ab其中正确的命题个数为（）A1B2C3D48（5分）设g（x）ln（2x+1），则g（4）g（3）+g（3）g（4）（）A1
3、B1Cln2Dln29（5分）如图是一圆锥的三视图，正视图和侧视图都是顶角为120的等腰三角形，若过该圆锥顶点S的截面三角形面积的最大值为2，则该圆锥的侧面积为（）AB2CD410（5分）已知向量是单位向量，（3，4），且在方向上的投影为，則|2|（）A36B21C9D611（5分）已知圆C的半径为2，在圆内随机取一点P，并以P为中点作弦AB，则弦长|AB|2的概率为（）ABCD12（5分）函数y+的值域为（）A1，B1，2C，2D，2二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）若sin（+），则cos（） 14（5分）已知实数x，y满足xcos+ysin1，则
4、的最小值为 15（5分）在四面体ABCD中，ABACDBDCBC，且四面体ABCD的最大体积为，则四面体A一BCD外接球的表面积为 16（5分）已知曲线y与直线x7y+50交于A，B两点，若直线OA，OB的倾斜角分别为、，则cos（） 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知点A（1，2），B（3，1），C（2，2），D（1，m）（1）若向量，求实数m的值（2）若m3，求向量与的夹角18（12分）在某一次数学测验中，从全校抽出n名同学并记录其测验成绩（满分100分）进行统计按照50.60），60，7
5、0），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出分数的茎叶图（图中仅列出了分数在50，60），90，100的数据）（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）在抽出的名学生中，从分数在80分以上（含80分）的同学中随机选取2名，求所抽取的2名同学至少有一名的成绩在90，100内的概率19（12分）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，点M，N分别是边AB，CD上的点，且MNBC，2若将矩形ABCD沿MN折起使其形成60的二面角（如图）（1）求证：平面CND平面AMND（2）求直线MC与平面AMND所成角的正弦值20（12分）已知函数f（x）2sinxsin（
6、x+）+cos2xsin2x（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向右平移（0）个单位长度，所得函数的图象关于y轴对称求的最小值21（12分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y1）24和圆C2：（x4）2+（y5）24（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标22（12分）已知函数
7、g（x）x22ax+1，且函数yg（x+1）是偶函数，设f（x）（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（lnx）mlnx0在区间（1，e2上恒成立，求实数m的取值范围；（3）若方程f（|2x1|）+k20有三个不同的实数根，求实数k的取值范围2018-2019学年河南省洛阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集Ax|（）x2，集合Bx|x|2，则AB（）A（2，1）B（1，0）C（0，2）D（1，2）【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax|x1x|x1，
8、Bx|2x2；AB（1，2）故选：D【点评】考查描述法、区间表示集合的定义，指数函数的单调性，绝对值不等式的解法，以及交集的运算2（5分）某厂家生产甲、乙、丙三种不同类型的饮品产量之比为2：3：4为检验该厂家产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则样本中乙类型饮品的数量为（）A16B24C32D48【分析】利用分层抽样的性质直接求解【解答】解：某厂家生产甲、乙、丙三种不同类型的饮品，产量之比为2：3：4为检验该厂家产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则样本中乙类型饮品的数量为：7224故选：B【点评】本题考查样本中乙类型饮品的数量的求法，考查分层抽样的性质等基础知
9、识，考查运算求解能力，是基础题3（5分）在ABC中，点D在边BC上，若，则（）AB+CD【分析】，又，结合平面向量的运算法则，通过一步一步代换即可求出答案【解答】解：根据平面向量的运算法则及题给图形可知：+故选：C【点评】本题主要考查平面向量基本定理及其几何意义，难度适中，解题关键是利用，得出4（5分）计算（）ABCD2【分析】利用二倍角公式化简已知，根据特殊角的三角函数值即可求解【解答】解：故选：A【点评】本题主要考查了二倍角公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题5（5分）执行如图所示的程序框图，若输人的n值为2019，则S（）A1BCD1【分析】由已
10、知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况可得答案【解答】解：输入n2019时，k1；第一次执行循环体后，S，k2，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，S，k3，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，S1，k4，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，S，k5，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，S，k6，不满足退出循环的条件；第六次执行循环体后，S0，k7，不满足退出循环的条件；第七次执行循环体后，S，k8，不满足退出循环的条件；可知：数据执行6次，函数值为一个周期循进行循环；在执行第2018次的时候
11、输出：Scos；故输出S值为，故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题6（5分）为研究需要，统计了两个变量x，y的数据情况如表：xx1x2x3xnyy1y2y3yn其中数据x1、x2、x3xn，和数据y1、y2、y3，yn的平均数分别为和，并且计算相关系数r0.8，回归方程为x+，有如下几个结论点（，）必在回归直线上，即b+；变量x，y的相关性强当xx1，则必有y1；b0：其中正确的结论个数为（）A1B2C3D4【分析】根据线性回归方程x+和相关系数r的有关定义，对题目中的命题判断正误即可【解答】解：对于，回归方程x+过样本中心
12、点（，），即b+，所以正确；对于，相关系数r0.8，|r|0.75，变量x，y的相关性强，所以正确；对于，当xx1时，不一定有y1，因此错误；对于，因为r0.80，是负相关，所以b0，正确；综上知，正确的结论序号是故选：C【点评】本题考查了线性回归方程和相关系数的定义与应用问题，是基础题7（5分）已知两条直线a，b与两个平而，给出下列命题：若ab，则ab；若a，b，a，b，则若a，b，则ab；若，a，b，则ab其中正确的命题个数为（）A1B2C3D4【分析】由面面平行的定义，可判断；由线面平行的性质可判断；由面面平行和线面垂直的性质可判断；由面面垂直的性质和线面平行的性质可判断【解答】解：若a
13、b，则ab或a，b异面，错误；若a，b，a，b，则或，相交，故错误；若a，可得a，b，则ab，故正确；若，a，b，则ab，或a，b相交，或a，b异面，故错误故选：A【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判定和性质，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题8（5分）设g（x）ln（2x+1），则g（4）g（3）+g（3）g（4）（）A1B1Cln2Dln2【分析】根据题意，由函数的解析式结合对数的运算性质可得g（x）g（x）ln（2x+1）ln（2x+1）xln2，据此可得g（4）g（3）+g（3）g（4）g（4）g（4）g（3）g（3），计算可得答案【解答】解：根据题意
14、，g（x）ln（2x+1），则g（x）g（x）ln（2x+1）ln（2x+1）xln2，故g（4）g（3）+g（3）g（4）g（4）g（4）g（3）g（3）4ln23ln2ln2；故选：C【点评】本题考出对数的计算，涉及函数值的计算，属于基础题9（5分）如图是一圆锥的三视图，正视图和侧视图都是顶角为120的等腰三角形，若过该圆锥顶点S的截面三角形面积的最大值为2，则该圆锥的侧面积为（）AB2CD4【分析】作出过圆锥顶点的截面，两条母线的夹角是90时，截面三角形的最大面积，然后求出母线长求出底面圆的半径，然后求解该圆锥的侧面积【解答】解：如图，过圆锥顶点P认作一截面PAB，交底面圆与AB，圆锥轴
15、截面的顶角为120，则APB90，过圆锥顶点的截面中，最大截面面积为2l22，l2圆锥的母线长为：2底面半径为：；所以圆锥的侧面积为：故选：B【点评】本题考查了圆锥的结构特征，学生解答此题时容易出错，往往不假思索的认为截面积最大的是轴截面，该题是否是轴截面面积最大取决于轴截面的顶角，此题是基础题10（5分）已知向量是单位向量，（3，4），且在方向上的投影为，則|2|（）A36B21C9D6【分析】利用斜率的投影求出向量的数量积，然后通过向量的模的运算法则求解即可【解答】解：向量是单位向量，（3，4），且在方向上的投影为，可得，|2|6故选：D【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，
16、考查计算能力11（5分）已知圆C的半径为2，在圆内随机取一点P，并以P为中点作弦AB，则弦长|AB|2的概率为（）ABCD【分析】设“弦长小于2的弦”为事件A，根据几何概型的概率求出对应面积比即可【解答】解：设“弦长小于2的弦”为事件A，则AB2，OA2，OP1，如图所示；点P满足的平面区域为除去同心内圆的所有区域，则所求的概率为P（A）1故答案为：故选：B【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题12（5分）函数y+的值域为（）A1，B1，2C，2D，2【分析】函数的定义域为1，1，然后将函数平方后开方变形可得【解答】解：函数的定义域为1，1，y，x1，1，x20，1，y故选：D【点
17、评】本题考查了函数的值域，属中档题二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）若sin（+），则cos（）【分析】利用诱导公式化简所求即可得解【解答】解：sin（+），cos（）sin（）sin（+）故答案为：【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题14（5分）已知实数x，y满足xcos+ysin1，则的最小值为1【分析】先利用辅助角公式化为同名三角函数，结合和三角函数的性质进行分析、求解【解答】解：（其中），又，则sin（+）0，根据三角函数的性质可知0sin（+）1，所以，故最小值为1故答案为1【点评】本题考查三角函数的性质以及
18、辅助角公式，属于中档题目15（5分）在四面体ABCD中，ABACDBDCBC，且四面体ABCD的最大体积为，则四面体A一BCD外接球的表面积为4【分析】由题意画出图形，求出四面体ABCD体积最大时的外接球的半径，则答案可求【解答】解：如图，设BC，则ABACDBDCBC2a，当平面ABC平面BCD时，四面体ABCD的体积最大，为，解得a，此时BC2，ABACDBDC，则ABC与BCD均为等腰直角三角形，则BC中点O为四面体A一BCD外接球的球心半径为1四面体A一BCD外接球的表面积为4124故答案为：4【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题16（5分）已
19、知曲线y与直线x7y+50交于A，B两点，若直线OA，OB的倾斜角分别为、，则cos（）0【分析】求得半圆的圆心到直线的距离，可得弦长|AB|，判断三角形ABO的形状，进而得到所求值【解答】解：曲线y与直线x7y+50交于A，B两点，如图所示，可得半圆的圆心（0，0）到直线的距离为d，可得弦长|AB|2，即有ABO为直角三角形，且AOB为直角，可得cos（）cosAOB0故答案为：0【点评】本题考查圆方程的运用和直线方程的运用，考查圆的弦长公式和数形结合思想，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知点A（1，2），B（3，1），C
20、（2，2），D（1，m）（1）若向量，求实数m的值（2）若m3，求向量与的夹角【分析】（1）由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量共线的性质，求得m的值（2）由题意利用两个向量的夹角公式，求得向量与的夹角【解答】解：（1）点A（1，2），B（3，1），C（2，2），D（1，m），（ 1，0），（2，m1），若向量，则 （m1）0，m1（2）若m3，设向量与的夹角为，则cos，故，即向量与的夹角为【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量共线的性质以及两个向量的夹角公式，属于基础题18（12分）在某一次数学测验中，从全校抽出n名同学并记录其测验成绩（满分100分）进行统计按照50.
21、60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出分数的茎叶图（图中仅列出了分数在50，60），90，100的数据）（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）在抽出的名学生中，从分数在80分以上（含80分）的同学中随机选取2名，求所抽取的2名同学至少有一名的成绩在90，100内的概率【分析】（1）利用频率分布直方图频率的计算公式可得x，y的值；（2）利用求“所抽取的2名同学至少有一名的成绩在90，100内”的对立事件的概率可得成绩在90，100内的概率【解答】解：（1）由茎叶图可知，成绩在区间50，60）内有8名学生，所以：0.01610，n5
22、0；于是：y0.004；x0.030，（2）由（1）可知n50，所以分数在80分以上（含80分）的同学共有：（0.010+0.004）10507人设事件A为“所抽取的2名同学至少有一名的成绩在90，100内”，则事件A的对立事件为：“所抽取的2名同学的成绩均在80，90）内”并记为事件B；所以，P（A）1P（B）1【点评】本题考查频率分布直方图，茎叶图，频率的计算，对立事件，是基础题19（12分）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，点M，N分别是边AB，CD上的点，且MNBC，2若将矩形ABCD沿MN折起使其形成60的二面角（如图）（1）求证：平面CND平面AMND（2）求直线MC与平面A
23、MND所成角的正弦值【分析】（1）推导MNNC，MNND，由此能证明MN平面CND由此能证明平面CND平面AMND（2）由MNNC，MNND，得到CND是将矩形ABCD沿MN折起使其形成60的二面角，从而CND60，过C作CEDN于E，连结ME，则ME是直线MC在平面AMND内的射影，CME是直线MC与平面AMND所成角，由此能求出直线MC与平面AMND所成角的正弦值【解答】证明：（1）由题意MNCD，折起后MNNC，MNND，NCNDN，MN平面CNDMN平面AMND，平面CND平面AMND解：（2）MNNC，MNND，NCNDN，CND是将矩形ABCD沿MN折起使其形成60的二面角，CND
24、60，过C作CEDN于E，平面CND平面AMND，平面CND平面AMNDND，CE平面AMND，且CE连结ME，则ME是直线MC在平面AMND内的射影，CME是直线MC与平面AMND所成角，在RtCME中，CE，CM，sinCME，直线MC与平面AMND所成角的正弦值为【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12分）已知函数f（x）2sinxsin（x+）+cos2xsin2x（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向右平移
25、（0）个单位长度，所得函数的图象关于y轴对称求的最小值【分析】（1）由题意利用查三角恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递减区间（2）由题意函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求出的最小值【解答】解：（1）函数f（x）2sinxsin（x+）+cos2xsin2xsin2x+cos2x2sin（2x+），令2k+2x+2k+，求得k+xk+，可得f（x）的减区间为k+，k+，kZ（2）若将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得y2sin（4x+） 的图象；然后再向右平移（0）个单位长度，可得y2sin（
26、4x4+） 的图象再根据所得函数的图象关于y轴对称，可得4+k+，kZ，故令k1，可得的最小值为 【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题21（12分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y1）24和圆C2：（x4）2+（y5）24（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标【
27、分析】（1）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程（2）与（1）相同，我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l1与l2的方程【解答】解：（1）由于直线x4与圆C1不相交；直线l的斜率存在，设l方程为：yk（x4）（1分）圆C1的圆心到直线l的距
28、离为d，l被C1截得的弦长为2d1（2分）d从而k（24k+7）0即k0或k直线l的方程为：y0或7x+24y280（5分）（2）设点P（a，b）满足条件，由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为ybk（xa），k0则直线l2方程为：yb（xa）（6分）C1和C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等即（8分）整理得|1+3k+akb|5k+4abk|1+3k+akb（5k+4abk）即（a+b2）kba+3或（ab+8）ka+b5因k的取值有无穷多个，所以或（10分
29、）解得或这样的点只可能是点P1（，）或点P2（，）（12分）【点评】在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷本题所用方法就是第三种方法22（12分）已知函数g（x）x22ax+1，且函数yg（x+1）是偶函数，设f（x）（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（lnx）mlnx0在区间（1，e2
30、上恒成立，求实数m的取值范围；（3）若方程f（|2x1|）+k20有三个不同的实数根，求实数k的取值范围【分析】（1）根据已知函数是偶函数结合图象平移可以找出对称轴，从而确定a的值，求出解析式；（2）化简不等式根据恒成立的条件结合换元法利用二次函数的最值求解即可；（3）分x0和x0两种情况讨论，可以构造函数求解【解答】解：（1）因为yg（x+1）是偶函数，所以二次函数g（x）x22ax+1的图象关于x1对称，a1，g（x）x22x+1，f（x）x2（2）不等式f（lnx）mlnx0可化为lnx+2mlnx0，x（1，e2，lnx（0，2，不等式可化为令u，lnx（0，2，n记h（u）u22u+1，u，+），h（u）min0，m的取值范围是（，0（3）当x0时，2x10，所以x0不是方程的根；当x0时，令t|2x1|，则t（0，+），原方程有三个不等的实数根可转化为t24t+1+2k0有两个不同的实数根t1，t2，其中0t11，t21，或者是0t11，t21记（t）t24t+1+2k，其对称轴为t2，所以方程记t24t+1+2k0的两个根不可能为0t11，t21，解得，k的取值范围为（）【点评】此题属于函数与方程的综合应用题，属于难度较大题目