1、精准培优专练2020届高三好教育精准培优专练培优点十三 三视图与体积表面积一、三视图与体积的结合例1：某几何体的三视图如图所示（图中小正方形网格的边长为），则该几何体的体积是（ ）ABCD【答案】B【解析】由三视图可得该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱（如图所示），其中底面直角梯形的上、下底边分别为，高为，直四棱柱的高为，所以该几何体的体积为，故选B二、三视图与表面积的结合例2：如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两个线段组成，则该几何体的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】由三视图知，该几何体是一个大半圆柱挖去一个小半圆柱得到的，两个半圆柱
2、的底面半径分别为和，高均为，所以该几何体的表面积为对点增分集训一、选择题1某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据三视图知，该几何体是一个直四棱柱内挖去一个圆锥后剩余的部分，画出直观图如图所示，设四棱柱的体积为，圆锥的体积为，结合图中数据，得该几何体的体积，故选C2如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥中最长棱的长度为（ ）ABCD【答案】D【解析】如图，三棱锥即为所求几何体，根据题设条件，知辅助的正方体棱长为，则最长棱为，长度为3古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石
3、头或木头制成一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分（看成一个简单的组合体）的体积为（ ）ABCD【答案】A【解析】由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为，底面圆的半径为，半球的半径为，所以组合体的体积为，故选A4某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面的面积的比值为（ ）ABCD【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是高为的四棱锥，如图所示，记为易知面积最小的面为左侧面，其面积为将底面补为梯形，则底面的面积为，所以面积最小的面与底面的面积的比值为，故选C5一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为的正方形，则该几何体的表面积为（
4、 ）ABCD【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是一个圆柱体和一个球体的四分之一的组合体，则所求的几何体的表面积为，故选B6如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是由底面半径为，高为的半圆柱挖去一个半径为的半球得到的，则该几何体的表面积故选B7某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）ABCD【答案】C【解析】所求几何体可看作将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中所示，长方体的长、宽、高分别为，两个三棱柱的高为，底面是两直角边长分别为和的直角三角形，故该几何
5、体的体积，故选C8某装饰品的三视图如图所示，则该装饰品的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】由装饰品的三视图可知，该装饰品是由一个棱长为的正方体，切去四个四分之一的圆锥所得的几何体，其中圆锥的底面半径为，高为，则该装饰品的表面积为，故选C9如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）ABCD【答案】C【解析】由三视图知，该几何体是由棱长为的正方体截去一个底面半径为、高为的圆锥和一个底面半径为、高为的圆柱而得到的，所以该几何体的体积，故选C10我国古代数学名著九章算术商功中阐述：“斜解立方，得两堑堵斜解堑堵，其一为阳马，一
6、为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为，则对该几何体描述：四个侧面都是直角三角形；最长的侧棱长为；四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；外接球的表面积为其中正确的个数是（ ）ABCD【答案】D【解析】对于，由三视图知“阳马”的直观图如图中四棱锥所示，其中平面，所以，所以，为直角三角形，结合，知平面，所以，故为直角三角形，同理可知为直角三角形，所以“阳马”的四个侧面均为直角三角形，正确；对于，由三视图及直观图得，连接，则，所以“阳马”的最长的侧棱长为，正确；对于，由的侧棱长知，侧面四个直角三
7、角形的斜边均不相等，所以不存在全等的直角三角形，错误；对于，考虑将“阳马”补形为一个长、宽、高分别为、的长方体，易知长方体的外接球即“阳马”的外接球其直径，所以“阳马”的外接球的表面积为，正确综上可知，正确的个数为，故选D11某工人现欲用车床将一正方体铁块进行加工处理，加工后成品的三视图如图所示网格纸上小正方形的边长为，则加工后成品与去除部分几何体的体积比为（ ）ABCD【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为正方体中间挖去一个圆柱后所得，且正方体的棱长为，圆柱的底面半径为，高为，设正方体的体积为，圆柱的体积为，所以加工后成品的体积加工后成品与去除部分的体积比为故选C12某三棱锥的三视图如图
8、所示，其中小正方形的边长均为三棱锥上的点在俯视图上的对应点为，点在左视图上的对应点为，则线段长度的最大值为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据三视图，在棱长为的正方体中还原该几何体的直观图，为如图所示的三棱锥，则点即点在左视图上对应的点，点为线段上任意一点在底面上的投影，因为上的点到点距离的最大值为的长，故线段长度的最大值为二、填空题13已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为 【答案】【解析】由已知三视图得到几何体是棱长为的正方体挖去底面半径为的圆柱，正方体的棱长为，圆柱的体积为，所以几何体体积为14如图是某几何体的三视图，图中方格的单位长度为，则该几何体的表面积为 【答案】【解析】由三视图还原几何体如下图所示，可得三棱锥，计算可得，为等腰三角形，高为，则该几何体表面积为15一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为 【答案】【解析】由已知，半球的直径为，正四棱锥的底面边长为，高为，所以其体积为故答案为16某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 【答案】【解析】由题意可知几何体的直观图如图：所以几何体的体积为，故选C12