1、精准培优专练2020届高三好教育精准培优专练培优点十九 几何概型一、与长度有关的几何概型例1：某公司的班车在，发车，小明在至之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过分钟的概率是_【答案】【解析】如图所示，画出时间轴小明到达的时间会随机的落在图中线段中，而当他的到达时间落在线段或上时，才能保证他等车的时间不超过分钟，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为例2：在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为_【答案】【解析】由，得，得由几何概型的概率计算公式可得所求概率为二、与面积有关的几何概型例3：在如图所示的扇形中，半圆切于点，与圆弧切于点，若随机向扇形内投一点
2、，则该点落在半圆外的概率为（ ）ABCD【答案】A【解析】连接，则，因为，所以，设半圆的半径为，则扇形的半径为，半圆的面积，扇形的面积为，则所求概率，故选A例4：圆内有一内接正三角形，向圆内随机投一点，则该点落在正三角形内的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题可得，设正三角形的边长为，则其面积为，其外接球的直径为，所以其半径为，所以面积为，由几何概型的概率计算公式可知所求概率为，故选C三、与体积有关的几何概型的求法例5：在棱长为的正方体中，点为底面的中心，在正方体内随机取一点，则点到点的距离大于的概率为_【答案】【解析】记“点到点的距离大于”为，例6：如图，在一个棱长为的正方体鱼缸内放入
3、一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是_【答案】【解析】鱼缸底面正方形的面积为，圆锥底面圆的面积为所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是四、与角度有关的几何概型的求法例7：如图，在矩形中，以为圆心、为半径作圆弧，点在线段上，在圆弧上任取一点，则直线与线段有公共点的概率是（ ）ABCD【答案】B【解析】连接交圆弧于点，在中，所以，即，要使直线与线段有公共点，则点必须在圆弧上，于是所求的概率为故选B例8：在中，过直角顶点作射线交线段于点，则的概率为_【答案】【
4、解析】设事件为“作射线，使”在上取点，使，因为是等腰三角形，所以，事件发生的区域，构成事件总的区域，所以对点增分集训一、选择题1在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】当时，由，得或，因此所求概率为故选C2在长为的线段上任取一点，并以线段为边作正方形，则这个正方形的面积介于与之间的概率为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为以线段为边的正方形的面积介于与之间，所以线段的长度介于与之间，满足条件的点对应的线段长，而线段总长为，故正方形的面积介于与之间的概率为，故选B3安徽黄山景区，每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时
5、间不多于分钟的概率为（ ）ABCD【答案】B【解析】此人在分到分或分到分之间的分钟内到达，等待时间不多于分钟，所以他等待时间不多于分钟的概率为故选B4在直角坐标系中，任取个满足的点，其中满足的点有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（ ）ABCD【答案】D【解析】画出可行域，如图所示，四边形的面积为，其中圆的面积为由几何概型的概率计算公式可得，则，故选D5三棱锥的侧棱两两垂直，为侧棱的中点，分别为棱，上一点，平面，若从三棱锥内部随机选取一点，则此点取自三棱锥内部的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为平面，平面，平面平面，所以，所以，即所求概率为故选C6甲乙两艘轮船都要在某个泊位停
6、靠小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（ ）ABCD【答案】D【解析】设甲船到达的时间为，乙船到达的时间为，则所有基本事件构成的区域满足，这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域，满足，作出对应的平面区域如图所示，则这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为故选D7阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马中，为阳马中最长的棱，若在阳马的外接球内部随机取一点，则该点落在阳马内的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据题意，的长等于其外接球的直径，因为，又平面，所以，
7、8函数，在其定义域内任取一点，使的概率是（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意，知，即，解得，所以由几何概型的概率计算公式可得概率为，故选C9九章算术中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意，直角三角形内切圆的半径，所以现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率为10已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于的概率为（ ）ABCD【答案】B【解析】已知实数，经过第一次循环，得到，
8、；经过第二次循环，得到，；经过第三次循环，得到，输出的值为，令，得，由几何概型的概率计算公式，得到输出的不小于的概率为，故选B11赵爽是我国古代的数学家、天文学家，大约在公元年，赵爽为周碑算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）ABCD【答案】A【解析】在中，由余弦定理得，所以故所求概率为故选A12剪纸艺术是中国最古老的民
9、间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受在如图所示的圆形图案中有个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）ABCD【答案】B【解析】设圆的半径为，如图所示，片树叶是由个相同的弓形组成，且弓形的面积为所求的概率为故选B二、填空题13一根绳子长为米，若将其任意剪为两段，则剪成的两段绳子的长度有一段大于米的概率为_【答案】【解析】由题意，将米长的绳子剪为两段，有一段大于米的概率为14为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷个点，已知恰有个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的
10、面积是_【答案】9【解析】根据题意，可设阴影部分的面积为则正方形的面积为，向正方形内随机投掷个点，已知恰有个点落在阴影部分内，则向正方形内随机投掷一点，则落到阴影部分的概率为，而，则，解得15中国古代钱币（如图）承继了礼器玉琮的观念，它全方位承载和涵盖了中华文明历史进程中的文化信息，表现为圆形方孔如图，圆形钱币的半径为，正方形边长为，在圆形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是_【答案】【解析】圆形钱币的半径为，则圆的面积为，正方形边长为，则正方形的面积为，在圆形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是16勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为_【答案】【解析】如图，设，以为圆心的扇形面积是，的面积是，所以勒洛三角形的面积为个扇形面积减去个正三角形面积，即，所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率是12