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2020届高三精准培优专练十六 圆锥曲线的几何性质(文) 教师版

1、精准培优专练2020届高三好教育精准培优专练培优点十六 圆锥曲线的几何性质一、定义的应用例1:椭圆上一点到焦点的距离为,是的中点,则( )ABCD【答案】B【解析】设椭圆的另一个焦点为,因为椭圆上点到焦点的距离为,即,且,所以,因为是的中点,是的中点,所以二、求双曲线的渐近线例2:设为坐标原点,是双曲线的焦点,若在双曲线上存在点,满足,则该双曲线的渐近线方程为( )ABCD【答案】D【解析】如下图可知:,令,则,因为为的中点,即,可得,即,在三角形中,由余弦定理可得,即,所以,即该双曲线的渐近线方程为三、求离心率的值例3:已知椭圆的左焦点为,与过原点的直线相交于,两点,连接,若,则的离心率 【

2、答案】【解析】设椭圆的右焦点为,在中,由余弦定理可解得,所以为直角三角形,又斜边的中点为,所以,连接,因为,关于原点对称,所以,所以,所以离心率四、求离心率的取值范围例4:椭圆的左、右焦点分别为,为椭圆上任一点,且的最大值的取值范围是,其中,则椭圆的离心率的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】由基本不等式得,又,所以,即,所以,此时,所以,得,所以,又,得五、抛物线的几何性质例5:过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于,两点,自,向准线作垂线,垂足分别为,则等于( )ABCD【答案】C【解析】由抛物线的定义,得,设准线与轴的交点为,而,即六、圆锥曲线的综合例6:若椭圆和双曲线有相同的左右焦点

3、,是两条曲线的一个交点,则的值是( )ABCD【答案】A【解析】在椭圆中,在双曲线中,联立解得,(不妨令),所以对点增分集训一、选择题1已知是双曲线的左,右焦点,过作直线交双曲线左支于点,若,则的周长为( )ABCD【答案】C【解析】,故选C2设,为椭圆的两个焦点,点在椭圆上,若线段的中点在轴上,则的值为( )ABCD【答案】C【解析】线段的中点在轴上,轴,3已知椭圆,点与椭圆的焦点不重合,且点不在椭圆上,若点关于椭圆的两个焦点的对称点分别为,点是使得线段的中点在椭圆上的点,则( )ABCD【答案】B【解析】设椭圆的两个焦点分别为,的中点为,连接,则点在椭圆上,因为关于,的对称点分别为,所以,

4、所以4已知椭圆与圆,若在椭圆上存在点,过作圆的切线,切点为,使得,则椭圆的离心率的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】当点为椭圆的一个长轴端点时,两切线形成的夹角最小,不妨设为,所以要使椭圆上存在满足条件的点,只需,易得,所以,又,解得,即,即,即,所以椭圆的离心率的取值范围是5若点在抛物线上,点在圆上,则的最小值是( )ABCD【答案】B【解析】设圆的圆心为,因为点在抛物线上,设,所以,即的最小值是6已知以原点为中心,焦点在轴上的双曲线,其一条渐近线的倾斜角为,为该双曲线的右焦点,位于第一象限内的点在双曲线上,且点是线段的中点,若,则双曲线的方程为( )ABCD【答案】D【解析】设双曲

5、线的方程为,点是该双曲线的左焦点,连接,因为点是线段的中点,所以线段是的中位线,则,即,所以,又双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则,所以,所以双曲线的方程为二、填空题7已知动点在椭圆上,为椭圆的右焦点,若点满足,且,则的最小值为 【答案】【解析】由题意,得,所以8若椭圆的离心率,则双曲线的焦距为 【答案】【解析】椭圆的离心率且,所以,得,双曲线的焦点为,即,所以该双曲线的焦距为9是椭圆的右焦点,为椭圆内的一定点,为椭圆上的一动点,则的最小值为 【答案】【解析】设椭圆的另一焦点为,则,连接,当是的延长线与椭圆的交点时,取得最小值为10抛物线上一点到点与到焦点的距离和最小,则点的坐标为 【答案】【解

6、析】过点作于点,当三点共线时,最小,此时点的纵坐标为1,代入到抛物线的方程可得到,于是点11已知双曲线的左,右焦点分别为,等边三角形与双曲线交于,两点,若,分别为线段,的中点,则该双曲线的离心率为 【答案】【解析】由题意可知,则,因为,则该双曲线的离心率为12直线与椭圆相交于,两点,该椭圆上点,使得面积等于,这样的点共有个 【答案】【解析】由题意,则的高为与直线平行且距离为的直线方程为(与椭圆相交)和(与椭圆相离),所以这样的点有个13一个等边三角形的两个顶点在抛物线上,第三个顶点在原点,则这个三角形的面积为 【答案】【解析】设此三角形为,设,由得:,即,则,关于轴对称,在直线上,联立直线方程

7、与抛物线方程可得到,是边长为的等边三角形,所以它的面积为三、解答题14设点是椭圆上的动点,是椭圆的两个焦点,求的最大值【答案】1【解析】由方程可知设,则有,得,的最大值为,即,当时,取得最大值为1,所以的最大值为115在平面直角坐标系中,已知点,直线,动直线垂直于点,线段的垂直平分线交于点,设点的轨迹为(1)求曲线的方程;(2)以曲线上的点为切点作曲线的切线,设分别为,轴交于,两点,且恰与以定点为圆心的圆相切,当圆的面积最小时,求与面积的比【答案】(1);(2)【解析】(1)由题意得,点到直线的距离等于它到定点的距离,点的轨迹是以的准线,为焦点的抛物线,点的轨迹的方程为(2)由,当时,以为切点的切线的斜率为,以为切点的切线方程为,即,整理得,令,则,;令,则,点到切线的距离(当且仅当时,取等号),当点的坐标为时,满足题意的圆的面积最小,此时,与面积之比为11