1、2019-2020学年四川省泸县第二中学高三开学考试数学（理）试题第I卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z满足，则z= A. B. C. D. 2.已知集合，则 A. B. C. D. 3.某校为了解高二的1553名同学对教师的教学意见，现决定用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，先在总体中随机剔除个个体，然后把剩下的个体按，编号并分成个组，则和应分别是A.53，50B.53，30C.3，50D.3，314.已知双曲线 的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D. 5.等比数列中，
2、则数列前3项和A. B. C. D. 6.设， 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是A. 若， ，则 B. 若， ，则C. 若， ，则 D. 若， ，则7.在矩形中， ，若向该矩形内随机投一点，那么使得与的面积都不小于2的概率为A. B. C. D. 8.已知函数为偶函数，且在上单调递减，则的解集为A. B. C. D. 9.下列三个数：，大小顺序正确的是 A. B. C. D.10.如图，在正方体ABCDABCD中,平面垂直于对角线AC,且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S,周长为l,则 A. S为定值,l不为定值 B. S不为定值,l为定值C.
3、S与l均为定值 D. S与l均不为定值11.已知函数在区间上是增函数,且在区间上存在唯一的使得,则的取值不可能为（ ）A. B. C. D. 12.已知函数定义域为，记的最大值为，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 第II卷（非选择题90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.平面向量与的夹角为60，则等于._14.某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有_种.15.若的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为，则直线与曲线所围成的封闭区域面积为 16.如
4、图所示，在平面四边形ABCD中，若，为正三角形，则面积的最大值为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（本大题满分12分）为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标)、推理能力(指标)、建模能力(指标)的相关性，将它们各自量化为1,2,3三个等级，再用综合指标的值评定学生的数学核心素养，若，则数学核心素养为一级；若，则数学核心素养为二级；若，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：学生编号来源
5、:学科网ZXXK(1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；(2)在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为，求随机变量的分布列及其数学期望.18.（本大题满分12分）如图，在中， ，点在线段上.（1）若,求的长；（2）若的面积为,求的值.19.（本大题满分12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，平面为的中点，（1）证明：平面；（2）如果二面角的正切值为2，求的值20.（本大题满分12分）如图所示，圆O：，D为圆O上任意一点，过D作圆O的切线分别交直线和于E，F两点，连AF，BE交于点G，若点G形成的轨迹为曲线C记
6、AF，BE斜率分别为，求的值并求曲线C的方程；设直线l：与曲线C有两个不同的交点P，Q，与直线交于点S，与直线交于点T，求的面积与面积的比值的最大值及取得最大值时m的值21.（本大题满分12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，证明不等式.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（10分）以直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为曲线的参数方程是（为参数）.（1）求直线和曲线的普通方程
7、；（2）设直线和曲线交于两点，求23.设函数（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集是非空的集合，求实数的取值范围2019-2020学年四川省泸县第二中学高三开学考试数学（理）试题答案1.C2.D3.C4.B5.B6.D7.D8.B9.A10.B11.A12.C13.14.12015.16.17.（1）由题可知:建模能力一级的学生是；建模能力二级的学生是；建模能力三级的学生是.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件，记“所取的两人的综合指标值相同”为事件.则 (2)由题可知，数学核心素养一级的学生为: ，非一级的学生为余下4人 的所有可能取值为0,1，2，3. 随机变量的分布列为：0123
8、 18.解析：（I）在三角形中，2分在中，由正弦定理得，又， ， 5分（II），又，7分， ，9分在中，由余弦定理得，12分19. （1）证明：由题意，ADC=45o，AD=AC =1,故DAC=90o即DAAC.又因为 PO平面ABCD,所以，DAPO，DA平面PAC 4分（2）法一：连结DO,作MGDO于G，作GHAO于H，因为M是PD中点，且MGDO，所以G为DO中点，且MG平面ABCD，显然，MHG即为二面角M-AC-D的平面角. 8分因为GHAO，且G为DO中点，所以，而，故，PO=2MG=2. 12分法二：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则,，设平面MAC的法向量为，则，所
9、以的一个取值为10分平面ACD的法向量为.设二面角的平面角为，因为，所以a=2 12分 20.解： （1）设（），易知过点的切线方程为，其中则，设，由 （）故曲线的方程为（）（2），设，则，由 且，直线与直线交于点，与直线交于点，令，且则当，即，时，取得最大值.21.解：（1）解 当时，从而，函数在上单调递减；当时，若，则，从而，若，则，从而，函数在上单调递减，在上单调递增（2）解 根据（1）函数的极值点是，若，则所以，即，由于，即令，则，可知为函数在内唯一的极小值点，也是最小值点，故，所以的最小值是，故只要即可，故的取值范围是（3）证明不等式构造函数，则，可知函数在上，即函数在上单调递增，由于，所以，所以，所以22.解：(1)因为所以由得因为消去得所以直线和曲线的普通方程分别为和(2)点的直角坐标为点在直线上，设直线的参数方程： （为参数），对应的参数为，. .23.（），令或，得，所以，不等式的解集是-6分（）在上递减，递增，所以，由于不等式的解集是非空的集合，所以，解之，或，即实数的取值范围是10