1、精准培优专练2020届高三好教育精准培优专练培优点九 线性规划一、求线性目标的最值例1：设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为 【答案】【解析】由约束条件，作出可行域如图，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值为二、求非线性目标的最值例2：若满足约束条件，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】作出约束条件所表示的的可行域如图：表示区域内的点与点连线的斜率，联立方程组，可解得，同理可得，当直线经过点时，斜率取最小值：；当直线经过点时，斜率取最大值，则的取值范围是，故选A三、线性规划的含参问题例3：已知，满足约束条件，若的最大值为，则（ ）ABCD【答案】B
2、【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）则，若过时取得最大值为，则，解得，此时，目标函数为，即，平移直线，当直线经过时，截距最大，此时最大为，满足条件，若过时取得最大值为，则，解得，此时，目标函数为，即，平移直线，当直线经过时，截距最大，此时最大为，不满足条件，故，故选B四、线性规划的实际应用例4：某高科技企业生产产品和产品需要甲、乙两种新型材料生产一件产品需要甲材料，乙材料，用个工时；生产一件产品需要甲材料，乙材料，用个工时，生产一件产品的利润为元，生产一件产品的利润为元该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过个工时的条件下，生产产品、产品的利润之和的最大值为 元【答案】【解析】设生
3、产产品、产品分别为、件，利润之和为元，那么，目标函数，二元一次不等式组等价于，作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图），即可行域将变形，得，平移直线，当直线经过点时，取得最大值，解方程组，得的坐标，所以当，时，元对点增分集训一、选择题1已知满足，若对任意都有成立，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】令，画出表示的可行域，由可行域知，目标函数过点时取最大值，由可得，可得时，的最大值为要使恒成立，只需使目标函数的最大值小于等于即可，的取值范围为故选D2已知变量，满足的不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则实数（ ）ABCD或【答案】D【解析】由约束条件作出可行域如图，直线过定点，不
4、等式组表示的平面区域是一个直角三角形，当时，平面区域为直角三角形及其内部区域；当时，平面区域为直角三角形及其内部区域的值应为或，故选D3若实数、满足，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】，满足，表示的可行域如图，它的几何意义是可行域内的点与点的距离的平方减去显然点到直线的距离最小，且最小值为，故选B4设，满足约束条件，则的最大值为（ ）ABCD【答案】C【解析】由根据题意画出对应的平面区域如图，区域为满足不等式组的所有点的集合，设，当直线过点时，取最小值，且；当直线过点时，取最大值，且；，则，故选C5如果点在平面区域上，则的最大值和最小值分别是（ ）A，B，C，D，【答案】B【解析】如
5、图，先作出点所在的平面区域：表示动点到定点距离的平方，当点在时，而点到直线的距离的平方为，的最小值为；当点在时，离最远，的最大值为故选B6设变量，满足约束条件，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】令，则，代入，得，作出可行域如图，化为分别联立方程组，解得，的范围为故选C7设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）ABCD【答案】C【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分，目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，由图可知目标函数在点处取得最大值由，点，所以，故选C8已知实数满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】由已知条件作出可行域如图所
6、示，其中，目标函数可化为，当直线过点时最大，所以，解得，故选C9已知实数满足，若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】画出可行域如下图所示，依题意可知，目标函数在点取得最大值，在点取得最小值由图可知，当时，；当时，实数的取值范围是，故选C10已知，满足约束条件，当目标函数（，）在该约束条件下取得最小值时，则的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】如下图，画出可行域，目标函数的斜率为，当目标函数过点时函数取得最小值，即，那么，等号成立的条件为故选C11某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要，三种主要原料生产车皮甲种肥料和生产车皮乙种肥料所需三种原料的吨数
7、如下表所示：已知生产车皮甲种肥料，产生的利润为万元；生产车皮乙种肥料，产生的利润为万元现有种原料吨，种原料吨，种原料吨，在此基础上生产甲乙两种肥料的最大利润为（ ）万元ABCD【答案】B【解析】设，表示生产甲、乙两种肥料的车皮数，利润为万元由已知，满足，该二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分目标函数是斜率为，随变化的一束平行直线，为直线在轴上的截距，当取最大值时，的值最大又因为，满足约束条件，所以由图可知，当直线经过可行域中的点时，截距的值最大，即的值最大，解方程组，得点的坐标为，故选B12设实数，满足约束条件，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】作出不等式组所表示的平面区域
8、如图：则，设，则，由图象可知直线经过点时，斜率取得最大值；经过点时，斜率取得最小值，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，可得故选A二、填空题13已知实数，满足，若的最大值为，则的最小值为 【答案】【解析】作出可行域如图，目标函数化简得：，故只可能在处取最大值联立，解得，联立，解得，联立，解得，若目标函数过点时，不符合题意，过时取得最大值，此时，解得，过点时，14已知变量，满足，则的取值范围是 【答案】【解析】由变量，满足，作出可行域如图：由，解得；由，解得，的几何意义为可行域内动点与定点连线的斜率，的取值范围是15某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱吨消耗一级子棉吨、二级子棉吨，
9、生产乙种棉纱吨消耗一级子棉吨、二级子棉吨，每吨甲种、乙种棉纱的利润分别是元和元，工厂在生产中要求消耗一级子棉不超过吨、二级子棉不超过吨，且甲种棉纱的产量不能超过乙种棉纱的产量吨在此条件下，生产甲、乙两种棉纱可以获得的最大利润为 元【答案】【解析】设生产甲、乙两种棉纱分别为吨、吨，利润总额为元，则有，目标函数为作出不等式组所表示的可行域，把变形为，其中是这条直线在轴上的截距，当直线经过可行域上点时，截距最大，即最大解方程组，得的坐标为，16太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿梁祝，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国、新加坡空军机徽太极图无不跃居其上这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组来表示，设是阴影部分中任意一点，则的最大值为 【答案】【解析】如图，作出直线，当直线往上平移至与阴影部分的圆的边界相切时，最大，此时圆心到直线的距离等于半径，即，解得17